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O que \u00e9 Fun\u00e7\u00e3o Exponencial: defini\u00e7\u00e3o<\/h2>\n\n\n\n
Podemos escrever uma fun\u00e7\u00e3o exponencial qualquer usando a defini\u00e7\u00e3o geral:<\/strong>
<\/p>\n\n\n\n- f: R\u2192R tal que y = a\u02e3,<\/strong> sendo que a > 0 e a \u2260 1<\/li><\/ul>\n\n\n\n
Para facilitar, confira exemplos num\u00e9ricos de fun\u00e7\u00f5es exponenciais:<\/strong>
<\/p>\n\n\n\n- y = 2\u02e3 + 1<\/li>
- y = 0,3\u02e3<\/li>
- y = 5\u02e3<\/li><\/ul>\n\n\n\n
Como resolvemos essa conta? Calma l\u00e1!<\/strong>
<\/p>\n\n\n\nDizemos que uma fun\u00e7\u00e3o \u00e9 exponencial quando a vari\u00e1vel (x) encontra-se no <\/strong>expoente de uma base<\/a> (a).<\/strong> Essa base deve ser um n\u00famero real, maior que zero e diferente de um<\/strong>. Essa condi\u00e7\u00e3o pode n\u00e3o fazer sentido agora, mas explicaremos o porqu\u00ea no pr\u00f3ximo t\u00f3pico!<\/strong>
<\/p>\n\n\n\nPara avan\u00e7armos, \u00e9 preciso que voc\u00ea j\u00e1 tenha alguns conhecimentos sobre:<\/strong> fun\u00e7\u00f5es (1\u00b0 grau<\/a>, 2\u00b0 grau<\/a>, constante, afim\u2026), potencia\u00e7\u00e3o<\/a>, raiz quadrada<\/a> e equa\u00e7\u00f5es exponenciais!\u00a0
<\/p>\n\n\n\nN\u00e3o se esque\u00e7a<\/strong> destes detalhes:
<\/p>\n\n\n\n- Ser uma fun\u00e7\u00e3o significa ter depend\u00eancia<\/strong>, ou seja, o valor da fun\u00e7\u00e3o (y) se modifica \u00e0 medida que modificamos o valor de x<\/strong>, pois o resultado depende da conta que \u00e9 feito com o outro n\u00famero.<\/li><\/ul>\n\n\n\n
- Como se trata de uma fun\u00e7\u00e3o, um determinado valor de x produzir\u00e1 um valor de y, logo, devemos resolver as fun\u00e7\u00f5es pensando nos pares ordenados<\/strong> (x,y) que se adequam \u00e0quela regra. Assim, sempre ser\u00e1 dado o valor de um deles para que possamos chegar ao outro.<\/li><\/ul>\n\n\n\n
- Quando usamos a express\u00e3o \u201cf(x)\u201d estamos nos referindo ao valor final daquela fun\u00e7\u00e3o de acordo com o valor que colocamos em x, ou seja, referimo-nos ao valor de Y. Logo, Y = f(x).<\/strong><\/li><\/ul>\n\n\n\n
- Como voc\u00ea pode observar, somar um mesmo n\u00famero repetidas vezes com ele mesmo \u00e9 fazer a multiplica\u00e7\u00e3o: 2 + 2 + 2 = 2 x 3. Assim, multiplicar um n\u00famero por ele mesmo repetidas vezes \u00e9 fazer potencia\u00e7\u00e3o: <\/strong>2 x 2 x 2 = 2\u00b3.<\/li><\/ul>\n\n\n\n
Se na multiplica\u00e7\u00e3o o resultado cresce de forma linear<\/strong>, dizemos que na potencia\u00e7\u00e3o o resultado cresce de forma exponencial<\/strong>. Compare as sequ\u00eancias:
<\/p>\n\n\n\n![\"Fun\u00e7\u00e3o-exponencial-o-que-\u00e9-pot\u00eancia\u00e7\u00e3o-diferen\u00e7a-para-multiplica\u00e7\u00e3o.-Imagem-de-quadro-comparativo-mostrando-sequ\u00eancia-de-pot\u00eancias-e-gr\u00e1ficos-dos-resultados\"](\"https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/06\/Fun\u00e7\u00e3o-exponencial-o-que-\u00e9-pot\u00eancia\u00e7\u00e3o-diferen\u00e7a-para-multiplica\u00e7\u00e3o.-Imagem-de-quadro-comparativo-mostrando-sequ\u00eancia-de-pot\u00eancias-e-gr\u00e1ficos-dos-resultados.jpg\")
<\/figure><\/div>\n\n\n\nImport\u00e2ncia e aplicabilidade da fun\u00e7\u00e3o exponencial<\/h3>\n\n\n\n
Como voc\u00ea observou, as contas exponenciais apresentam resultados muito grandes em menos tempo. Por causa disso,<\/strong> \u00e9 considerada uma importante ferramenta da Matem\u00e1tica <\/strong>e est\u00e1 presente em situa\u00e7\u00f5es nos c\u00e1lculos que levariam muito mais tempo se fossem usadas outras opera\u00e7\u00f5es.<\/strong>
<\/p>\n\n\n\nNa \u00e1rea financeira serve para calcular uma aplica\u00e7\u00e3o \u00e0 taxa de juros compostos<\/strong>, na Qu\u00edmica calcula-se o decaimento radioativo<\/strong>, na Biologia calcula-se o crescimento de bact\u00e9rias<\/strong> em uma col\u00f4nia, na Geografia mede-se o crescimento populacional<\/strong>…<\/p>\n\n\n\n
Propriedades e condi\u00e7\u00f5es da Fun\u00e7\u00e3o Exponencial<\/h2>\n\n\n\n
Vejas as propriedades fundamentais e necess\u00e1rias para fazer os exerc\u00edcios em geral. S\u00e3o regras que n\u00e3o podem ser quebradas, ou a fun\u00e7\u00e3o deixar\u00e1 de ser exponencial e os resultados e gr\u00e1ficos dar\u00e3o errado.<\/p>\n\n\n\n
1\u00b0 Condi\u00e7\u00e3o geral: a base n\u00e3o pode ser negativa<\/h3>\n\n\n\n
Como estamos falando em exponencialidade, necessariamente falamos sobre potencia\u00e7\u00e3o. Assim, se pensarmos na f\u00f3rmula geral: y = a\u02e3 e quisermos colocar um n\u00famero negativo, <\/strong>veremos que n\u00e3o h\u00e1 resultado poss\u00edvel!<\/strong>
<\/p>\n\n\n\nExemplo:<\/strong> Vamos supor que o -9 esteja elevado a um n\u00famero fracionado, como quando o X vale \u00bd. Pelas regras da potencia\u00e7\u00e3o, elevar um n\u00famero a \u00bd \u00e9 fazer sua raiz quadrada. <\/strong>Contudo, \u00e9 imposs\u00edvel tirar a raiz de um n\u00famero negativo. <\/strong>Por este motivo a base n\u00e3o pode ser menor que zero.
<\/p>\n\n\n\n2\u00b0 condi\u00e7\u00e3o geral: a base deve ser diferente de 1<\/h3>\n\n\n\n
De acordo com as regras da potencia\u00e7\u00e3o, o n\u00famero 1 elevado a qualquer n\u00famero resulta sempre em 1. Portanto, n\u00e3o importa qual valor atribu\u00edmos ao X, o resultado Y sempre ser\u00e1 1<\/strong>. Dessa forma, teremos o gr\u00e1fico de uma fun\u00e7\u00e3o constante e n\u00e3o exponencial.<\/strong>
<\/p>\n\n\n\nExemplo:<\/strong><\/p>\n\n\n\n
![\"Diferen\u00e7a-entre-gr\u00e1fico-de-fun\u00e7\u00e3o-exponencial-a-esquerda-e-gr\u00e1fico-de-fun\u00e7\u00e3o-constante-a-direita\"](\"https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/06\/Diferen\u00e7a-entre-gr\u00e1fico-de-fun\u00e7\u00e3o-exponencial-a-esquerda-e-gr\u00e1fico-de-fun\u00e7\u00e3o-constante-a-direita.jpg\")
<\/figure><\/div>\n\n\n\n3\u00b0 condi\u00e7\u00e3o geral: a base n\u00e3o pode ser igual a 0<\/h3>\n\n\n\n
Novamente, resgatando os conceitos da potencia\u00e7\u00e3o, n\u00e3o existe resultado Real para a opera\u00e7\u00e3o de elevar 0 a algum expoente.<\/strong> Portanto, a base n\u00e3o pode ser 0.
<\/p>\n\n\n\n- 1\u00aa propriedade: se x = 0<\/strong>, ent\u00e3o f(x) = 1<\/li><\/ul>\n\n\n\n
As no\u00e7\u00f5es de potencia\u00e7\u00e3o nos apontam que qualquer n\u00famero elevado a 0 \u00e9 sempre igual a 1.
<\/p>\n\n\n\nExemplo:<\/strong> observe as fun\u00e7\u00f5es f(x) = 3\u02e3 e f(x) = 2\u02e3:
<\/p>\n\n\n\nf(x) = 3\u02e3 \u2192 f(0) = 3\u2070 \u2192 f(0) = 1 \u2192 Y = 1
<\/p>\n\n\n\nf(x) = 2\u02e3 \u2192 f(0) = 2\u2070 \u2192 f(0) = 1 \u2192 Y = 1
<\/p>\n\n\n\nAten\u00e7\u00e3o!<\/strong>
<\/p>\n\n\n\nCuidado para n\u00e3o confundir<\/strong> o fato de o n\u00famero 0 n\u00e3o poder estar na base mas poder ser a vari\u00e1vel (o expoente)!
<\/p>\n\n\n\n- 2\u00aa propriedade: se a > 1, a fun\u00e7\u00e3o ser\u00e1 crescente<\/li><\/ul>\n\n\n\n
Uma fun\u00e7\u00e3o tem valores crescentes sempre que a > 1, independente do valor de x. O que importa \u00e9 identificar que a\u02e3\u00b9 < a\u02e3\u00b2.
<\/p>\n\n\n\nExemplo:<\/strong> supondo a fun\u00e7\u00e3o f(x) = 3\u02e3, neste caso a = 3 e 3 > 1. Vamos atribuir ainda os valores x\u2081 = 1 e x\u2082 = 2 seguindo a ordem num\u00e9rica x\u2081 < x\u2082. Teremos:
<\/p>\n\n\n\nf(x\u2081) = 3\u02e3\u00b9 e f(x\u2082) = 3\u02e3\u00b2<\/p>\n\n\n\n
f(1) = 3\u00b9 e f(2) = 3\u00b2<\/p>\n\n\n\n
f(1) = 3 < f(2) = 9
<\/p>\n\n\n\nEnt\u00e3o a\u02e3\u00b9 < a\u02e3\u00b2 porque 3 < 9. Logo, f(x) \u00e9 uma exponencial crescente!
<\/p>\n\n\n\n- 3\u00aa propriedade: se 0 < a < 1, a fun\u00e7\u00e3o ser\u00e1 decrescente<\/li><\/ul>\n\n\n\n
J\u00e1 que a base (a) n\u00e3o pode ser negativa e nem 0 ou 1, o \u00fanico modo da fun\u00e7\u00e3o ser decrescente \u00e9 se (a) estiver entre 0 e 1!<\/strong> As condi\u00e7\u00f5es x\u2081 < x\u2082 e 0 < a < 1 tamb\u00e9m podem ser representadas por uma express\u00e3o \u00fanica: a\u02e3\u00b9 > a\u02e3\u00b2 \u00e9 t\u00edpico de uma fun\u00e7\u00e3o decrescente..
<\/p>\n\n\n\nExemplo: <\/strong>Vejamos a fun\u00e7\u00e3o f(x) = 0,5\u02e3, em que a = 0,5. Atribuindo os valores x\u2081 = 1 e x\u2082 = 2, teremos:
<\/p>\n\n\n\nf(x\u2081) = 0,5\u02e3\u00b9 e f(x\u2082) = 0,5\u02e3\u00b2<\/p>\n\n\n\n
f(1) = 0,5\u00b9 e f(2) = 0,5\u00b2<\/p>\n\n\n\n
f(1) = 0,5 > f(2) = 0,25
<\/p>\n\n\n\nEnt\u00e3o a\u02e3\u00b9 > a\u02e3\u00b2 porque 0,50 > 0,25. Logo, f(x) \u00e9 uma exponencial decrescente!
<\/p>\n\n\n\n- 4\u00aa propriedade: sempre que x\u2081 = x\u2082, a\u02e3\u00b9 = a\u02e3\u00b2<\/li><\/ul>\n\n\n\n
Todas as vezes que houver um sinal de igual entre as pot\u00eancias e tivermos a mesma base, as fun\u00e7\u00f5es devem apresentar o mesmo resultado, ou seja, est\u00e3o sobre o mesmo expoente.
<\/p>\n\n\n\nExemplo:<\/strong> Suponha que foi dada a fun\u00e7\u00e3o f(x) = 7\u02e3. Se o enunciado quiser saber quanto vale x\u2081 e x\u2082 e der a informa\u00e7\u00e3o de que f(x\u2081) = 49 e f(x\u2082) = 49, basta organizar e substituir os dados
<\/p>\n\n\n\nTeremos que: 49 = 7\u02e3\u00b9 e 49 = 7\u02e3\u00b2
<\/p>\n\n\n\nPela l\u00f3gica da potencia\u00e7\u00e3o, podemos concluir que x\u2081 = x\u2082 = 2,<\/strong> pois 7 s\u00f3 ser\u00e1 igual a 49 se estiver elevado a 2.<\/p>\n\n\n\n
Outras informa\u00e7\u00f5es importantes<\/h3>\n\n\n\n
- Juros compostos \u00e9 fun\u00e7\u00e3o exponencial!<\/li><\/ul>\n\n\n\n
- 4\u00aa propriedade: sempre que x\u2081 = x\u2082, a\u02e3\u00b9 = a\u02e3\u00b2<\/li><\/ul>\n\n\n\n
- 3\u00aa propriedade: se 0 < a < 1, a fun\u00e7\u00e3o ser\u00e1 decrescente<\/li><\/ul>\n\n\n\n
- 2\u00aa propriedade: se a > 1, a fun\u00e7\u00e3o ser\u00e1 crescente<\/li><\/ul>\n\n\n\n
- 1\u00aa propriedade: se x = 0<\/strong>, ent\u00e3o f(x) = 1<\/li><\/ul>\n\n\n\n
- Como voc\u00ea pode observar, somar um mesmo n\u00famero repetidas vezes com ele mesmo \u00e9 fazer a multiplica\u00e7\u00e3o: 2 + 2 + 2 = 2 x 3. Assim, multiplicar um n\u00famero por ele mesmo repetidas vezes \u00e9 fazer potencia\u00e7\u00e3o: <\/strong>2 x 2 x 2 = 2\u00b3.<\/li><\/ul>\n\n\n\n
- Quando usamos a express\u00e3o \u201cf(x)\u201d estamos nos referindo ao valor final daquela fun\u00e7\u00e3o de acordo com o valor que colocamos em x, ou seja, referimo-nos ao valor de Y. Logo, Y = f(x).<\/strong><\/li><\/ul>\n\n\n\n
- Como se trata de uma fun\u00e7\u00e3o, um determinado valor de x produzir\u00e1 um valor de y, logo, devemos resolver as fun\u00e7\u00f5es pensando nos pares ordenados<\/strong> (x,y) que se adequam \u00e0quela regra. Assim, sempre ser\u00e1 dado o valor de um deles para que possamos chegar ao outro.<\/li><\/ul>\n\n\n\n
- Ser uma fun\u00e7\u00e3o significa ter depend\u00eancia<\/strong>, ou seja, o valor da fun\u00e7\u00e3o (y) se modifica \u00e0 medida que modificamos o valor de x<\/strong>, pois o resultado depende da conta que \u00e9 feito com o outro n\u00famero.<\/li><\/ul>\n\n\n\n
- f: R\u2192R tal que y = a\u02e3,<\/strong> sendo que a > 0 e a \u2260 1<\/li><\/ul>\n\n\n\n
![\"Resolu\u00e7\u00e3o-do-exerc\u00edcio-de-constru\u00e7\u00e3o-do-gr\u00e1fico-de-fun\u00e7\u00e3o-exponencial.-a-direita-a-tabela-com-as-coordenadas-e-a-esqurdas-os-c\u00e1culos-da-equa\u00e7\u00e3o\"](\"https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/06\/Resolu\u00e7\u00e3o-do-exerc\u00edcio-de-constru\u00e7\u00e3o-do-gr\u00e1fico-de-fun\u00e7\u00e3o-exponencial.-a-direita-a-tabela-com-as-coordenadas-e-a-esqurdas-os-c\u00e1culos-da-equa\u00e7\u00e3o.jpg\")
<\/figure><\/div>\n\n\n\n![\"Resolu\u00e7\u00e3o-do-exerc\u00edcio-de-constru\u00e7\u00e3o-do-gr\u00e1fico-de-fun\u00e7\u00e3o-exponencial.-a-direita-a-tabela-com-as-coordenadas-e-a-esqureda-os-c\u00e1lculos-da-equa\u00e7\u00e3o\"](\"https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/06\/Resolu\u00e7\u00e3o-do-exerc\u00edcio-de-constru\u00e7\u00e3o-do-gr\u00e1fico-de-fun\u00e7\u00e3o-exponencial.-a-direita-a-tabela-com-as-coordenadas-e-a-esqureda-os-c\u00e1lculos-da-equa\u00e7\u00e3o.jpg\")
<\/figure><\/div>\n\n\n\n![\"Gr\u00e1ficos-da-fun\u00e7\u00e3o-exponencial-constru\u00eddos-no-exerc\u00edcio-anterior.-a-direita-gr\u00e1fico-da-fun\u00e7\u00e3o-exponencial-crescente-e-a-esquerda-gr\u00e1fico-da-fun\u00e7\u00e3o-exponencial-descrescente\"](\"https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/06\/Gr\u00e1ficos-da-fun\u00e7\u00e3o-exponencial-constru\u00eddos-no-exerc\u00edcio-anterior.-a-direita-gr\u00e1fico-da-fun\u00e7\u00e3o-exponencial-crescente-e-a-esquerda-gr\u00e1fico-da-fun\u00e7\u00e3o-exponencial-descrescente.jpg\")
<\/figure><\/div>\n\n\n\n