{"id":18313,"date":"2020-10-10T14:05:13","date_gmt":"2020-10-10T17:05:13","guid":{"rendered":"https:\/\/beduka.com\/blog\/?p=18313"},"modified":"2020-10-14T18:20:33","modified_gmt":"2020-10-14T21:20:33","slug":"relacoes-metricas-no-triangulo-retangulo-2","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/beduka.com\/blog\/materias\/matematica\/relacoes-metricas-no-triangulo-retangulo-2\/","title":{"rendered":"Descubra as Rela\u00e7\u00f5es m\u00e9tricas no Tri\u00e2ngulo Ret\u00e2ngulo e veja seus exemplos!"},"content":{"rendered":"\n<p>As rela\u00e7\u00f5es m\u00e9tricas no tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo s\u00e3o regras em forma de equa\u00e7\u00f5es que podem ser encontradas em qualquer tri\u00e2ngulo que tenha um \u00e2ngulo de 90\u00b0. Elas estabelecem padr\u00f5es entre as medidas e podem nos ajudar a achar alguma medida faltante. S\u00e3o 5 as rela\u00e7\u00f5es mais importantes!<br><\/p>\n\n\n\n<p><strong>Neste artigo sobre Rela\u00e7\u00f5es m\u00e9tricas no Tri\u00e2ngulo Ret\u00e2ngulo, voc\u00ea encontrar\u00e1:<\/strong><br><\/p>\n\n\n\n<ol><li>O que s\u00e3o Rela\u00e7\u00f5es m\u00e9tricas?<\/li><li>O que \u00e9 um Tri\u00e2ngulo Ret\u00e2ngulo e quais seus elementos?<\/li><li>Semelhan\u00e7a de tri\u00e2ngulos<\/li><li>Como resolver Rela\u00e7\u00f5es m\u00e9tricas no Tri\u00e2ngulo Ret\u00e2ngulo? Exemplos<\/li><\/ol>\n\n\n\n<ul><li>Estudando para as provas? Conhe\u00e7a nosso <a href=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/dicas\/enem-dicas\/simulados-para-enem-online-e-gratuito\/\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\" aria-label=\" (abre numa nova aba)\">Simulado gratuito<\/a>, que pode ser personalizado com as mat\u00e9rias que voc\u00ea mais precisa!<\/li><\/ul>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">O que s\u00e3o Rela\u00e7\u00f5es m\u00e9tricas? Para que servem?<\/h2>\n\n\n\n<p>As rela\u00e7\u00f5es m\u00e9tricas<strong> s\u00e3o leis que existem dentro de tri\u00e2ngulos, representadas por uma equa\u00e7\u00e3o<\/strong>. Voc\u00ea j\u00e1 deve ter ouvido falar que a soma dos \u00e2ngulos internos de todo tri\u00e2ngulo \u00e9 180\u00b0. Da mesma forma, <strong>os tri\u00e2ngulos ret\u00e2ngulos possuem algumas propriedades<\/strong> que s\u00e3o s\u00f3 deles, e<strong> s\u00e3o descritas por uma f\u00f3rmula matem\u00e1tica.<\/strong><br><\/p>\n\n\n\n<p>Saber essas rela\u00e7\u00f5es <strong>\u00e9 importante para resolver <\/strong><a href=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/exercicios\/matematica-exercicios\/exercicios-sobre-geometria-plana\/\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\" aria-label=\" (abre numa nova aba)\">exerc\u00edcios da Geometria Plana<\/a><strong>,<\/strong> porque voc\u00ea pode se deparar com uma quest\u00e3o em que <strong>h\u00e1 medidas das partes de um tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo que est\u00e3o faltando<\/strong>. <strong>Para descobr\u00ed-las, voc\u00ea precisa jogar os dados na equa\u00e7\u00e3o e resolver at\u00e9 achar o resultado!<\/strong><\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">O que \u00e9 um Tri\u00e2ngulo Ret\u00e2ngulo e quais s\u00e3o seus elementos?<\/h2>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" width=\"600\" height=\"300\" src=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/10\/tri\u00e2ngulo-ret\u00e2ngulo-e-suas-partes-ou-elementos-hipotenusa-altura-catetos-e-proje\u00e7\u00f5es-1.jpg\" alt=\"tri\u00e2ngulo-ret\u00e2ngulo-e-suas-partes-ou-elementos-hipotenusa-altura-catetos-e-proje\u00e7\u00f5es-1\" class=\"wp-image-18369\" srcset=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/10\/tri\u00e2ngulo-ret\u00e2ngulo-e-suas-partes-ou-elementos-hipotenusa-altura-catetos-e-proje\u00e7\u00f5es-1.jpg 600w, https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/10\/tri\u00e2ngulo-ret\u00e2ngulo-e-suas-partes-ou-elementos-hipotenusa-altura-catetos-e-proje\u00e7\u00f5es-1-300x150.jpg 300w, https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/10\/tri\u00e2ngulo-ret\u00e2ngulo-e-suas-partes-ou-elementos-hipotenusa-altura-catetos-e-proje\u00e7\u00f5es-1-320x160.jpg 320w\" sizes=\"(max-width: 600px) 100vw, 600px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p>Antes de lidarmos com as rela\u00e7\u00f5es, precisamos lembrar o que caracteriza um <a href=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/materias\/matematica\/trigonometria-no-triangulo-retangulo\/\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\" aria-label=\" (abre numa nova aba)\">tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo<\/a> e quais podem ser as partes faltosas. Observe a imagem e leia a legenda:<br><\/p>\n\n\n\n<ul><li><strong>Hipotenusa (a)<\/strong>: \u00e9 o maior lado de um tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo, sempre oposto ao <strong>\u00e2ngulo de 90\u00ba<\/strong>, que \u00e9 obrigat\u00f3rio existir para que seja considerado ret\u00e2ngulo.<\/li><li><strong>Catetos (c e b)<\/strong>: s\u00e3o os outros dois lados restantes.<\/li><li><strong>Altura (h)<\/strong>: todo segmento retil\u00edneo que parte de um ponto e forma um \u00e2ngulo reto (90\u00b0) com um lado. Neste caso, utilizamos a <strong>altura relativa \u00e0 hipotenusa<\/strong>.<\/li><li><strong>Proje\u00e7\u00f5es dos catetos na hipotenusa (m e n)<\/strong>: m \u00e9 a proje\u00e7\u00e3o do c e n \u00e9 a proje\u00e7\u00e3o do b.<\/li><\/ul>\n\n\n\n<p>Agora que voc\u00ea j\u00e1 conhece as partes dos tri\u00e2ngulos, saiba que \u00e9 com elas que iremos trabalhar para descobrir os valores!<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Semelhan\u00e7a de tri\u00e2ngulos<\/h3>\n\n\n\n<p>A \u00faltima coisa que precisamos para come\u00e7ar a p\u00f4r a m\u00e3o na massa, \u00e9 relembrar o que \u00e9 <a href=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/materias\/matematica\/semelhanca-de-triangulos\/\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\" aria-label=\" (abre numa nova aba)\">semelhan\u00e7a de tri\u00e2ngulos<\/a>. Voc\u00ea pode conferir o nosso artigo completo no link, mas aqui deixamos apenas um resumo.<br><\/p>\n\n\n\n<p>Existem tr\u00eas casos que nos permitem descobrir se dois tri\u00e2ngulos s\u00e3o semelhantes entre si ou n\u00e3o. Se forem, isso significa que <strong>s\u00e3o proporcionais<\/strong>. \u00c9 por esse motivo que s\u00f3 <strong>aplicamos as rela\u00e7\u00f5es m\u00e9tricas em tri\u00e2ngulos semelhantes,<\/strong> isso nos <strong>garante que aquelas f\u00f3rmulas sempre funcionar\u00e3o<\/strong> em qualquer um dos tri\u00e2ngulos envolvidos.<br><\/p>\n\n\n\n<p>Observe a decomposi\u00e7\u00e3o de um tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo em seus semelhantes, e aplique os casos (LAL, AAA, ALA) para comprovar se s\u00e3o mesmo!<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" width=\"600\" height=\"300\" src=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/10\/Decomposi\u00e7\u00e3o-do-tri\u00e2ngulo-ret\u00e2ngulo-em-seus-semelhantes-semelhan\u00e7a-de-tri\u00e2ngulos.jpg\" alt=\"Decomposi\u00e7\u00e3o-do-tri\u00e2ngulo-ret\u00e2ngulo-em-seus-semelhantes-semelhan\u00e7a-de-tri\u00e2ngulos\" class=\"wp-image-18316\" srcset=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/10\/Decomposi\u00e7\u00e3o-do-tri\u00e2ngulo-ret\u00e2ngulo-em-seus-semelhantes-semelhan\u00e7a-de-tri\u00e2ngulos.jpg 600w, https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/10\/Decomposi\u00e7\u00e3o-do-tri\u00e2ngulo-ret\u00e2ngulo-em-seus-semelhantes-semelhan\u00e7a-de-tri\u00e2ngulos-300x150.jpg 300w, https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/10\/Decomposi\u00e7\u00e3o-do-tri\u00e2ngulo-ret\u00e2ngulo-em-seus-semelhantes-semelhan\u00e7a-de-tri\u00e2ngulos-320x160.jpg 320w\" sizes=\"(max-width: 600px) 100vw, 600px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p>Seguindo a defini\u00e7\u00e3o \u201cDois ou mais tri\u00e2ngulos s\u00e3o considerados semelhantes quando seus <strong>\u00e2ngulos correspondentes s\u00e3o congruentes e os lados hom\u00f3logos s\u00e3o proporcionais<\/strong>\u201d, podemos observar que <strong>as rela\u00e7\u00f5es m\u00e9tricas vieram dessas an\u00e1lises!<\/strong><br><\/p>\n\n\n\n<p>Vamos conhec\u00ea-las logo:<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Como resolver Rela\u00e7\u00f5es m\u00e9tricas no Tri\u00e2ngulo Ret\u00e2ngulo? Exemplos<\/h2>\n\n\n\n<p>Existem <strong>5 rela\u00e7\u00f5es<\/strong> fundamentais que precisamos ter em mente para estarmos preparados para qualquer quest\u00e3o!<br><\/p>\n\n\n\n<p>Veja:<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Primeira rela\u00e7\u00e3o m\u00e9trica: Teorema de Pit\u00e1goras!<\/h3>\n\n\n\n<p>Se voc\u00ea j\u00e1 conhece o Teorema de Pit\u00e1goras pode passar para a pr\u00f3xima, mas saiba que ele \u00e9 sim <strong>a primeira e a mais importante rela\u00e7\u00e3o m\u00e9trica!<\/strong><br><\/p>\n\n\n\n<p>Vamos entender: a regra\/f\u00f3rmula do <strong>Teorema de Pit\u00e1goras diz que em todo tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo podemos observar a seguinte equa\u00e7\u00e3o:<\/strong><br><\/p>\n\n\n\n<ul><li>cateto\u00b2 + cateto\u00b2 = hipotenusa\u00b2<\/li><\/ul>\n\n\n\n<p>Ou, simplesmente:<br><\/p>\n\n\n\n<ul><li>cat\u00b2 + cat\u00b2 = hip\u00b2<\/li><\/ul>\n\n\n\n<p><strong>Exemplo:<\/strong><br><\/p>\n\n\n\n<p>Qual \u00e9 a medida da diagonal de um ret\u00e2ngulo cujo lado maior mede 60 cm e o lado menor mede 30 cm?<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" width=\"600\" height=\"300\" src=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/10\/Qual-\u00e9-a-medida-da-diagonal-de-um-ret\u00e2ngulo-cujo-lado-maior-mede-60-cm-e-o-lado-menor-mede-30-cm.jpg\" alt=\"Qual-\u00e9-a-medida-da-diagonal-de-um-ret\u00e2ngulo-cujo-lado-maior-mede-60-cm-e-o-lado-menor-mede-30-cm\" class=\"wp-image-18317\" srcset=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/10\/Qual-\u00e9-a-medida-da-diagonal-de-um-ret\u00e2ngulo-cujo-lado-maior-mede-60-cm-e-o-lado-menor-mede-30-cm.jpg 600w, https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/10\/Qual-\u00e9-a-medida-da-diagonal-de-um-ret\u00e2ngulo-cujo-lado-maior-mede-60-cm-e-o-lado-menor-mede-30-cm-300x150.jpg 300w, https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/10\/Qual-\u00e9-a-medida-da-diagonal-de-um-ret\u00e2ngulo-cujo-lado-maior-mede-60-cm-e-o-lado-menor-mede-30-cm-320x160.jpg 320w\" sizes=\"(max-width: 600px) 100vw, 600px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p><strong>Solu\u00e7\u00e3o:<\/strong><br><\/p>\n\n\n\n<p>A diagonal de um ret\u00e2ngulo divide-o em dois tri\u00e2ngulos ret\u00e2ngulos iguais, sendo que essa diagonal mede exatamente a hipotenusa do tri\u00e2ngulo formado.<br><\/p>\n\n\n\n<p>Como j\u00e1 temos o valor dos catetos, basta aplicar a regra do Teorema de Pit\u00e1goras para descobrir quanto vale a hipotenusa\/diagonal:<br><\/p>\n\n\n\n<p><strong>a\u00b2 = b\u00b2 + c\u00b2 ou hip\u00b2 = cat\u00b2 + cat\u00b2<\/strong><br><\/p>\n\n\n\n<p>a\u00b2 =&nbsp; 30\u00b2 + 60\u00b2<br><\/p>\n\n\n\n<p>a\u00b2 = 900 + 3600<br><\/p>\n\n\n\n<p>a\u00b2 = 4500<br><\/p>\n\n\n\n<p>a = \u221a4500<br><\/p>\n\n\n\n<p>a\/d =&nbsp; 67,08 (aproximadamente).<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Segunda rela\u00e7\u00e3o m\u00e9trica<\/h3>\n\n\n\n<p>A segunda rela\u00e7\u00e3o m\u00e9trica n\u00e3o tem um nome espec\u00edfico, mas ela diz que: \u201c<strong>a hipotenusa do tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo \u00e9 igual \u00e0 soma das proje\u00e7\u00f5es de seus catetos<\/strong> sobre a hipotenusa\u201d. Traduzindo para uma f\u00f3rmula matem\u00e1tica, temos:<br><\/p>\n\n\n\n<ul><li><strong>a = m + n<\/strong><\/li><\/ul>\n\n\n\n<p><strong>Exemplo:<\/strong><br><\/p>\n\n\n\n<p>Imagine um tri\u00e2ngulo ABC com a altura h dividindo a hipotenusa nas proje\u00e7\u00f5es m e n. Supondo que os valores das proje\u00e7\u00f5es sejam 2 e 4, descubra o valor da hipotenusa do tri\u00e2ngulo ABC.<br><\/p>\n\n\n\n<p><strong>Solu\u00e7\u00e3o:&nbsp;<\/strong><br><\/p>\n\n\n\n<p>Para descobrir quanto vale o lado AB, basta somar m e n, pois no desenho vemos perfeitamente que eles juntos equivalem ao lado da hipotenusa do tri\u00e2ngulo geral. Logo:<br><\/p>\n\n\n\n<p>2 + 4 = 6, ent\u00e3o a hipotenusa do tri\u00e2ngulo ABC vale 6.<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Terceira rela\u00e7\u00e3o m\u00e9trica<\/h3>\n\n\n\n<p>A terceira rela\u00e7\u00e3o m\u00e9trica, como as demais que se seguem, n\u00e3o tem nome. Mas, ela diz: \u201co <strong>quadrado da altura da hipotenusa de um tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo \u00e9 igual ao produto das proje\u00e7\u00f5es de seus catetos<\/strong> sobre a hipotenusa\u201d.&nbsp; Em linguagem num\u00e9rica temos:<br><\/p>\n\n\n\n<ul><li><strong>h\u00b2 = m\u00b7n<\/strong><\/li><\/ul>\n\n\n\n<p><strong>Exemplo:<\/strong><br><\/p>\n\n\n\n<p>Um tri\u00e2ngulo ABC possui proje\u00e7\u00f5es dos catetos sobre a hipotenusa medindo 100 e 400 cent\u00edmetros, qual \u00e9 a sua altura?<br><\/p>\n\n\n\n<p><strong>Solu\u00e7\u00e3o:<\/strong><br><\/p>\n\n\n\n<p>h\u00b2 = m\u00b7n<br><\/p>\n\n\n\n<p>h\u00b2 = 10\u00b740<br><\/p>\n\n\n\n<p>h\u00b2 = 40000<br><\/p>\n\n\n\n<p>h = \u221a40000<br><\/p>\n\n\n\n<p>h = 200 cent\u00edmetros.<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Quarta rela\u00e7\u00e3o m\u00e9trica<\/h3>\n\n\n\n<p>Essa rela\u00e7\u00e3o diz que: \u201co produto entre a hipotenusa a e a altura relativa \u00e0 hipotenusa h \u00e9 exatamente igual ao produto entre catetos b e c\u201d. Traduzindo para as f\u00f3rmulas, teremos:<br><\/p>\n\n\n\n<ul><li><strong>a . h = b . c<\/strong><\/li><\/ul>\n\n\n\n<p><strong>Exemplo:<\/strong><br><\/p>\n\n\n\n<p>Um tri\u00e2ngulo ABC possui altura valendo 5cm , um dos catetos vale 8 e sua hipotenusa vale 10. Descubra quanto vale o outro cateto.<br><\/p>\n\n\n\n<p><strong>Solu\u00e7\u00e3o<\/strong>:<br><\/p>\n\n\n\n<p>a . h = b . c<br><\/p>\n\n\n\n<p>5 . 10 = 8 . x<br><\/p>\n\n\n\n<p>50 = 8x<br><\/p>\n\n\n\n<p>50\/8 = x<br><\/p>\n\n\n\n<p>x = 6,25 cm<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Quinta rela\u00e7\u00e3o m\u00e9trica<\/h3>\n\n\n\n<p>Esta \u00faltima rela\u00e7\u00e3o diz que: \u201co <strong>quadrado da medida de um cateto \u00e9 sempre igual ao produto entre a sua proje\u00e7\u00e3o sobre a hipotenusa e a pr\u00f3pria hipotenusa<\/strong>\u201d. Traduzindo:<br><\/p>\n\n\n\n<ul><li><strong>c\u00b2 = m . a<\/strong> ou <strong>b\u00b2 = n . a<\/strong><\/li><\/ul>\n\n\n\n<p><strong>Exemplo:<\/strong><br><\/p>\n\n\n\n<p>Um tri\u00e2ngulo ABC possui hipotenusa valendo 10cm. se a proje\u00e7\u00e3o do cateto c vale 4cm, descubra quanto vale este cateto.<br><\/p>\n\n\n\n<p><strong>Solu\u00e7\u00e3o:<\/strong><br><\/p>\n\n\n\n<p>c\u00b2 = m . a<br><\/p>\n\n\n\n<p>c\u00b2 = 4 . 10<br><\/p>\n\n\n\n<p>c\u00b2 = 40<br><\/p>\n\n\n\n<p>c = \u221a40<br><\/p>\n\n\n\n<p>c = 6,32 cm(aproximadamente)<br><\/p>\n\n\n\n<p>Gostou do nosso artigo sobre Rela\u00e7\u00f5es m\u00e9tricas no Tri\u00e2ngulo Ret\u00e2ngulo? Confira <strong>outros artigos <\/strong>do nosso blog e <strong>se prepare para o Enem<\/strong> da melhor maneira! 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