{"id":18437,"date":"2020-10-19T17:53:41","date_gmt":"2020-10-19T20:53:41","guid":{"rendered":"https:\/\/beduka.com\/blog\/?p=18437"},"modified":"2020-11-07T17:48:46","modified_gmt":"2020-11-07T20:48:46","slug":"o-que-sao-numeros-complexos","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/beduka.com\/blog\/materias\/matematica\/o-que-sao-numeros-complexos\/","title":{"rendered":"Entenda logo o que s\u00e3o n\u00fameros complexos!"},"content":{"rendered":"\n<p>N\u00fameros Complexos s\u00e3o aqueles que est\u00e3o al\u00e9m do conjunto dos N\u00fameros Reais. Eles foram desenvolvidos para ajudar no c\u00e1lculo de ra\u00edzes de n\u00fameros negativos, como na resolu\u00e7\u00e3o de uma equa\u00e7\u00e3o de segundo grau. Eles podem ser representados pela forma polar, geom\u00e9trica ou alg\u00e9brica que possui a unidade imagin\u00e1ria \u201ci\u201d de valor <strong>\u221a<\/strong>-1.<br><\/p>\n\n\n\n<p><strong>Neste artigo sobre o que s\u00e3o n\u00fameros complexos, voc\u00ea encontrar\u00e1:<\/strong><br><\/p>\n\n\n\n<ol><li>O que s\u00e3o n\u00fameros complexos &#8211; Exemplos<\/li><li>Para que servem os n\u00fameros complexos<\/li><li>Hist\u00f3ria do conjunto dos n\u00fameros complexos<\/li><li>Opera\u00e7\u00f5es com os n\u00fameros complexos: soma, subtra\u00e7\u00e3o, divis\u00e3o e multiplica\u00e7\u00e3o<\/li><\/ol>\n\n\n\n<ul><li>Depois de ler o artigo, treine com os <a href=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/exercicios\/exercicios-sobre-numeros-complexos\/\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\" aria-label=\"exerc\u00edcios de n\u00fameros complexos! (abre numa nova aba)\">exerc\u00edcios de n\u00fameros complexos!<\/a><\/li><li>Estudando para as provas? Conhe\u00e7a nosso <a rel=\"noreferrer noopener\" aria-label=\" (abre numa nova aba)\" href=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/dicas\/enem-dicas\/simulados-para-enem-online-e-gratuito\/\" target=\"_blank\">Simulado gratuito<\/a>, que pode ser personalizado com as mat\u00e9rias que voc\u00ea mais precisa!<\/li><\/ul>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">O que s\u00e3o n\u00fameros complexos &#8211; Exemplos<\/h2>\n\n\n\n<p>Os n\u00fameros Complexos fazem parte de um dos <a href=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/materias\/matematica\/resumo-de-conjuntos-numericos\/\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\" aria-label=\" (abre numa nova aba)\">conjuntos num\u00e9ricos<\/a>, caracterizados por&nbsp; <strong>exceder os dos n\u00fameros Reais.&nbsp;<\/strong><br><\/p>\n\n\n\n<p>Pode ser um pouco dif\u00edcil tentar compreender isso, pois na escola crescemos utilizando apenas os n\u00fameros Naturais (1,2,3\u2026), os Inteiros (-1, -2, 4, 5\u2026), os Racionais&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>(\u00bd , 0.75\u2026) e os Irracionais ( \u03c0, e, \u2026).&nbsp;<br><\/p>\n\n\n\n<p>Todos os citados acima fazem parte dos n\u00fameros Reais, ent\u00e3o, o que seriam os Complexos?&nbsp;<br><\/p>\n\n\n\n<p>Eles costumam ser definidos pela forma alg\u00e9brica <strong>z = a + bi<\/strong>. Vamos entend\u00ea-la:<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Forma alg\u00e9brica<\/h3>\n\n\n\n<p>Os n\u00fameros complexos s\u00e3o expressos pelo <strong>s\u00edmbolo \u201cz\u201d<\/strong> que \u00e9, na verdade, uma <strong>express\u00e3o alg\u00e9brica:<\/strong><br><\/p>\n\n\n\n<ul><li><strong>z = a + bi<\/strong><\/li><\/ul>\n\n\n\n<p>Sendo assim, temos:<br><\/p>\n\n\n\n<ul><li><strong>a <\/strong>\u2192 \u00e9 a <strong>parte real<\/strong> porque cont\u00e9m um <strong>n\u00famero Real sozinho<\/strong>, assim \u00e9 simbolizada por&nbsp; \u201ca = Re(z)\u201d<\/li><li><strong>b <\/strong>\u2192 \u00e9 um <strong>elemento da parte imagin\u00e1ria<\/strong> porque o b \u00e9 <strong>n\u00famero Real que multiplica o \u201ci\u201d<\/strong>, sendo indicada por \u201cIm(z)\u201d<\/li><li><strong>i <\/strong>\u2192 chama-se <strong>unidade imagin\u00e1ria<\/strong>, um recurso que foi criado para resolu\u00e7\u00e3o de c\u00e1lculos. <strong>O seu valor \u00e9 i = \u221a\u2013 1.&nbsp;<\/strong><\/li><\/ul>\n\n\n\n<p><strong>Exemplos <\/strong>num\u00e9ricos:<br><\/p>\n\n\n\n<ul><li>2 + 3i<\/li><li>-1 + 4i<\/li><li>5 \u2013 0,2i<\/li><li>-1 \u2013 3i<\/li><\/ul>\n\n\n\n<p>Quando a parte real \u00e9 nula, o n\u00famero \u00e9 conhecido como <strong>imagin\u00e1rio puro<\/strong>.&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>Exemplos: \u20135i,&nbsp; 3i e 7,8i.&nbsp;<br><\/p>\n\n\n\n<p>Mas, quando a parte imagin\u00e1ria \u00e9 nula, o n\u00famero Complexo \u00e9 tamb\u00e9m um n\u00famero Real.<\/p>\n\n\n\n<p>Exemplo: 5 , que veio de \u201c5 + 0.i\u201d.<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Forma geom\u00e9trica (plano cartesiano)<\/h3>\n\n\n\n<p>Na matem\u00e1tica existem diversas formas de expressar quantidade, seja pela \u00e1lgebra ou pela geometria. Aqui iremos representar a mesma coisa que foi dita anteriormente, mas em uma <strong>linguagem traduzida para o plano cartesiano.<\/strong><br><\/p>\n\n\n\n<p>Como a e b s\u00e3o n\u00fameros reais, eles j\u00e1 eram considerados pontos de um plano cartesiano. Neste caso \u00e9 conhecido como <strong>plano de Argand-Gauss<\/strong>, pois expressa quantidades que est\u00e3o al\u00e9m dos Reais, como o \u201ci\u201d que \u00e9 dos Complexos.<br><\/p>\n\n\n\n<p>O plano cartesiano \u00e9 definido por <strong>duas retas ortogonais<\/strong>, ou seja, que fazem um \u00e2ngulo reto (90\u00b0) entre si. Essas retas s\u00e3o conhecidas como eixos x (horizontal, abscissas) e y (vertical, ordenadas).&nbsp;<br><\/p>\n\n\n\n<p>Os n\u00fameros <strong>Reais s\u00e3o representados<\/strong> de forma que nas <strong>retas colocamos os n\u00fameros Racionais<\/strong> e os <strong>espa\u00e7os restantes entre os pontos das retas s\u00e3o preenchidos com os Irracionais.<\/strong>&nbsp;<br><\/p>\n\n\n\n<p>Assim,<strong> todos os outros pontos pertencentes a esse plano, e que n\u00e3o est\u00e3o nas retas, s\u00e3o a diferen\u00e7a entre os n\u00fameros Complexos<\/strong> e os Reais.&nbsp;<br><\/p>\n\n\n\n<p>Por isso fica evidente que o conjunto dos n\u00fameros Reais est\u00e1 contido no conjunto dos n\u00fameros Complexos, bem como os dos Naturais est\u00e1 contido nos dos Inteiros, ainda que mantenham suas diferen\u00e7as.<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Forma trigonom\u00e9trica ou polar<\/h3>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" width=\"600\" height=\"300\" src=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/10\/forma-trigonom\u00e9trica-ou-polar-dos-n\u00fameros-complexos.jpg\" alt=\"forma-trigonom\u00e9trica-ou-polar-dos-n\u00fameros-complexos\" class=\"wp-image-18439\" srcset=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/10\/forma-trigonom\u00e9trica-ou-polar-dos-n\u00fameros-complexos.jpg 600w, https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/10\/forma-trigonom\u00e9trica-ou-polar-dos-n\u00fameros-complexos-300x150.jpg 300w, https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/10\/forma-trigonom\u00e9trica-ou-polar-dos-n\u00fameros-complexos-320x160.jpg 320w\" sizes=\"(max-width: 600px) 100vw, 600px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p>Essa terceira forma de representar os n\u00fameros Complexos <strong>utiliza o m\u00f3dulo<\/strong>, ou seja, quando um n\u00famero \u00e9<strong> representado entre duas barras<\/strong> e tem como resultado sempre o \u201cpositivo\u201d desse n\u00famero.&nbsp;<br><\/p>\n\n\n\n<p>Na realidade, ele expressa o <strong>valor absoluto<\/strong>, a quantia em si, sendo <strong>a dist\u00e2ncia entre o n\u00famero posicionado e a origem<\/strong> (0).&nbsp;<br><\/p>\n\n\n\n<p>Exemplo: |5| = 5 e&nbsp; |-5| = 5 .<br><\/p>\n\n\n\n<p>Como no plano cartesiano o n\u00famero Complexo Z n\u00e3o faz parte da reta, a sua dist\u00e2ncia at\u00e9 o centro (para obter o m\u00f3dulo) ser\u00e1 <strong>calculado pelo \u00e2ngulo da reta <\/strong>que<strong> liga a localiza\u00e7\u00e3o do ponto Z \u00e0 origem.<\/strong><br><\/p>\n\n\n\n<p>Por esse motivo, o n\u00famero complexo Z pode ser <strong>representado com a forma polar por:<\/strong><br><\/p>\n\n\n\n<ul><li>Z = |Z|\u00b7(cos\u03b8 + icos\u03b8)<\/li><\/ul>\n\n\n\n<p>Esqueceu o que \u00e9 \u201ccos\u201d? Confira a nossa mat\u00e9ria de <a href=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/materias\/matematica\/trigonometria-no-triangulo-retangulo\/\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\" aria-label=\" (abre numa nova aba)\">trigonometria<\/a>!<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Hist\u00f3ria do conjunto dos n\u00fameros complexos<\/h2>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" width=\"600\" height=\"300\" src=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/10\/atem\u00e1ticos-dos-n\u00fameros-complexos-bombelli-e.jpg\" alt=\"atem\u00e1ticos-dos-n\u00fameros-complexos-bombelli-e-gauss\" class=\"wp-image-18440\" srcset=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/10\/atem\u00e1ticos-dos-n\u00fameros-complexos-bombelli-e.jpg 600w, https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/10\/atem\u00e1ticos-dos-n\u00fameros-complexos-bombelli-e-300x150.jpg 300w, https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/10\/atem\u00e1ticos-dos-n\u00fameros-complexos-bombelli-e-320x160.jpg 320w\" sizes=\"(max-width: 600px) 100vw, 600px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p>Mas de onde surgiu tudo isso? Bem, em 1572 Rafael Bombelli tentava resolver algumas <a href=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/materias\/matematica\/equacao-do-segundo-grau-2\/\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\" aria-label=\" (abre numa nova aba)\">equa\u00e7\u00f5es de segundo grau<\/a> e se deparou com uma em que <strong>o discriminante era negativo<\/strong>.&nbsp;<br><\/p>\n\n\n\n<p>Ele viu que <strong>n\u00e3o fazia sentido calcular a raiz quadrada de um n\u00famero negativo<\/strong>, pois a sua conta oposta \u00e9 a <a href=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/materias\/matematica\/potenciacao\/\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\" aria-label=\" (abre numa nova aba)\">exponencia\u00e7\u00e3o<\/a> ao quadrado e, independe do sinal da base, ter um expoente par sempre resulta positivo. Veja:&nbsp;<br><\/p>\n\n\n\n<p>(-2)\u00b2 = 4&nbsp; (-2 . -2)&nbsp; &nbsp; e&nbsp; &nbsp; 2\u00b2 = 4 (2 . 2)<br><\/p>\n\n\n\n<p>Ent\u00e3o \u221a4 = 2 ou -2.&nbsp;<br><\/p>\n\n\n\n<p>A <strong>\u00fanica forma de obter um resultado negativo ao multiplicar dois n\u00fameros, \u00e9 se eles forem opostos<\/strong>, como \u201c-2\u201d e \u201c2\u201d. Mas a\u00ed j\u00e1<strong> n\u00e3o cabe no conceito de exponencia\u00e7\u00e3o e ra\u00edz<\/strong>, pois eles levam em conta a multiplica\u00e7\u00e3o de um n\u00famero por ele mesmo.&nbsp;<br><\/p>\n\n\n\n<p>Por isso,&nbsp; teve a ideia de supor que \u221a\u2013 121 poderia ser representado como \u221a(\u2013 11\u00b711), decompondo o n\u00famero. Continuando a conta utilizando a ideia de fator comum, teremos 11\u00b7\u221a\u2013 1.<br><\/p>\n\n\n\n<p><strong>&nbsp;Esse tipo de opera\u00e7\u00e3o deveria receber um novo nome<\/strong> porque n\u00e3o se enquadrava em nada visto antes e era uma forma de&nbsp; \u201craiz n\u00e3o real\u201d. Se continuarmos aplicando essa t\u00e9cnica em outras ra\u00edzes, sempre restar\u00e1 a sua raiz real seguida pela multiplica\u00e7\u00e3o do \u201c\u221a\u2013 1\u201d, veja:<br><\/p>\n\n\n\n<p>\u221a-100 = \u221a -10 . 10 = <strong>10 \u221a-1<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>\u221a-25 = \u221a -5 . 5 = <strong>5 \u221a-1<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>\u221a-625 = \u221a -25 . 25 = <strong>25 \u221a-1<\/strong><br><\/p>\n\n\n\n<p><strong>Por isso, decidiram chamar o \u221a\u2013 1 de \u201ci\u201d. <\/strong>Dessa forma <strong>chegamos \u00e0 f\u00f3rmula alg\u00e9brica<\/strong> j\u00e1 estudada : z = a + bi. Nos casos acima o \u201ca\u201d vale 0, o \u201cb\u201d seria o resultado da raiz real e o \u201ci\u201d indica que na verdade veio de uma ra\u00edz n\u00e3o real, negativa.<br><\/p>\n\n\n\n<p>Somente no final do s\u00e9culo XVIII que Gauss chamou esse conjunto de n\u00fameros como \u201cN\u00fameros Complexos\u201d.&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Para que servem os n\u00fameros complexos?<\/h3>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" width=\"600\" height=\"300\" src=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/10\/Para-que-servem-os-numeros-complexos-equa\u00e7\u00e3o-de-segundo-grau-com-discrimente-delta-negativo.jpg\" alt=\"Para-que-servem-os-numeros-complexos-equa\u00e7\u00e3o-de-segundo-grau-com-discrimente-delta-negativo\" class=\"wp-image-18441\" srcset=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/10\/Para-que-servem-os-numeros-complexos-equa\u00e7\u00e3o-de-segundo-grau-com-discrimente-delta-negativo.jpg 600w, https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/10\/Para-que-servem-os-numeros-complexos-equa\u00e7\u00e3o-de-segundo-grau-com-discrimente-delta-negativo-300x150.jpg 300w, https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/10\/Para-que-servem-os-numeros-complexos-equa\u00e7\u00e3o-de-segundo-grau-com-discrimente-delta-negativo-320x160.jpg 320w\" sizes=\"(max-width: 600px) 100vw, 600px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p>Com base em toda essa explica\u00e7\u00e3o, voc\u00ea j\u00e1 deve ter entendido que os n\u00fameros complexos <strong>servem para auxiliar na resolu\u00e7\u00e3o de <\/strong><a href=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/materias\/matematica\/equacao-do-segundo-grau-2\/\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\" aria-label=\" (abre numa nova aba)\">equa\u00e7\u00f5es de segundo grau<\/a><strong> cujo determinante resulta&nbsp; negativo.<\/strong><br><\/p>\n\n\n\n<p>At\u00e9 meados do s\u00e9culo XVI, equa\u00e7\u00f5es como x2 \u2013 6x + 10 = 0 eram consideradas como \u201csem solu\u00e7\u00e3o\u201d. Agora \u00e9 poss\u00edvel ter uma no\u00e7\u00e3o de algo pr\u00f3ximo ao resultado, ainda que n\u00e3o seja Real.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Opera\u00e7\u00f5es com os n\u00fameros complexos<\/h2>\n\n\n\n<p>Como estamos trabalhando com um conjunto num\u00e9rico, os n\u00fameros complexos tamb\u00e9m possuem as<strong> 4 opera\u00e7\u00f5es b\u00e1sicas bem definidas<\/strong>: adi\u00e7\u00e3o, subtra\u00e7\u00e3o, multiplica\u00e7\u00e3o, divis\u00e3o.&nbsp;<br><\/p>\n\n\n\n<p>Agora que voc\u00ea j\u00e1 sabe o que s\u00e3o n\u00fameros complexos, vamos entender as opera\u00e7\u00f5es!<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Adi\u00e7\u00e3o de n\u00fameros complexos<\/h3>\n\n\n\n<p>Para realizarmos a adi\u00e7\u00e3o de dois n\u00fameros complexos Z1 e Z2, basta fazer a <strong>soma da parte real<\/strong> e <strong>depois a soma da parte imagin\u00e1ria<\/strong>.<br><\/p>\n\n\n\n<ul><li>Exemplo alg\u00e9brico:<\/li><\/ul>\n\n\n\n<p>Seja Z1 = a + bi e Z2 = c + di<br><\/p>\n\n\n\n<p>Teremos que Z1 + Z2 = (a + c) + (b + d)i<br><\/p>\n\n\n\n<ul><li>Exemplo num\u00e9rico:<\/li><\/ul>\n\n\n\n<p>Seja Z1 = 2 + 3i e Z2 = 1 + 2i<br><\/p>\n\n\n\n<p>Teremos que Z1 + Z2 = (2 + 1) + (3 + 2)i<br><\/p>\n\n\n\n<p>Ent\u00e3o = 3 + 5i<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Subtra\u00e7\u00e3o de n\u00fameros complexos<\/h3>\n\n\n\n<p>Antes, precisamos ter em mente que o <strong>inverso de z <\/strong>\u00e9 representado por \u2013Z, ou seja, \u2013Z = \u2013a \u2013 bi.<br><\/p>\n\n\n\n<p>Para realizarmos a subtra\u00e7\u00e3o entre Z1 e Z2, faremos a subtra\u00e7\u00e3o entre as partes reais e as imagin\u00e1rias separadamente. Por\u00e9m, \u00e9 necess\u00e1rio compreender que<strong> \u2013Z2 \u00e9 o inverso<\/strong> de um n\u00famero complexo, o que torna necess\u00e1rio a <strong>realiza\u00e7\u00e3o de um jogo de sinal.<\/strong><br><\/p>\n\n\n\n<ul><li>Exemplo num\u00e9rico<\/li><\/ul>\n\n\n\n<p>Seja Z1 = 2 + 3i e Z2 = 1 + 2i<br><\/p>\n\n\n\n<p>Teremos que Z1 &#8211; Z2 = (2 &#8211; 1) + ( 3 &#8211; 2)i<br><\/p>\n\n\n\n<p>Ent\u00e3o Z1 \u2013 Z2 = 1 + 1i , ou seja, <strong>1+ i<\/strong><\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Divis\u00e3o de n\u00fameros complexos<\/h3>\n\n\n\n<p>Antes de falarmos de divis\u00e3o, precisamos saber o que \u00e9 conjugado de um n\u00famero. O conceito \u00e9 simples: <strong>para encontrar o conjugado basta trocar o sinal da parte imagin\u00e1ria.<\/strong><br><\/p>\n\n\n\n<p><strong>Divis\u00e3o de n\u00fameros complexos<\/strong><br><\/p>\n\n\n\n<p>Para realizar a divis\u00e3o de n\u00fameros complexos, <strong>multiplique numerador e denominador pelo conjugado do denominador.<\/strong> Assim fica bem definido o que \u00e9 a parte real e o que \u00e9 a parte imagin\u00e1ria.<br><\/p>\n\n\n\n<ul><li>Exemplo num\u00e9rico<\/li><\/ul>\n\n\n\n<p>Se (6 &#8211; 4i) : (4 + 2i)<br><\/p>\n\n\n\n<p>Ent\u00e3o (6 &#8211; 4i)(4 &#8211; 2i)\/ (4 + 2i)(4 &#8211; 2i)<br><\/p>\n\n\n\n<p>24 &#8211; 12i &#8211; 16i +8i\u00b2 \/ 16 -8i +8i -4i\u00b2<br><\/p>\n\n\n\n<p>Sabendo que i\u00b2 = -1, ent\u00e3o 24 -38i &#8211; 8 \/ 16 +4<br><\/p>\n\n\n\n<p>16 &#8211; 38i \/ 20<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Multiplica\u00e7\u00e3o de n\u00fameros complexos<\/h3>\n\n\n\n<p><strong>Antes de falarmos da multiplica\u00e7\u00e3o,<\/strong> precisamos entender que as<strong> pot\u00eancias da unidade imagin\u00e1ria comportam-se de forma c\u00edclica<\/strong>. Veja:<br><\/p>\n\n\n\n<p>i^4 = i^2 \u00b7 i^2 = (\u20131) . (\u20131) = 1<br><\/p>\n\n\n\n<p>i^5 = i 2 \u00b7 i 3 = (\u20131) (\u2013i) = i<br><\/p>\n\n\n\n<p>Se voc\u00ea continuar calculando as pot\u00eancias, as respostas sempre ser\u00e3o elementos do conjunto {i, 1, \u2013i,\u20131}, de forma alternada.<br><\/p>\n\n\n\n<p>Por causa desses ciclos, para encontrarmos uma pot\u00eancia de base \u201ci\u201d,<strong> basta dividir o n\u00famero do expoente por 4<\/strong> (s\u00f3 h\u00e1 4 resultados poss\u00edveis). <strong>O resto<\/strong> dessa divis\u00e3o <strong>ser\u00e1 o novo expoente<\/strong> de i.<br><\/p>\n\n\n\n<ul><li>Exemplo num\u00e9rico<\/li><\/ul>\n\n\n\n<p>Para saber quanto \u00e9 i^25 basta fazer 25\/4. O resto \u00e9 1, logo, i^25 = i^1. Sabemos que todo n\u00famero elevado a 1 \u00e9 ele mesmo, ent\u00e3o i^25 = i.<br><\/p>\n\n\n\n<p>Para saber quanto \u00e9 i^403 basta fazer 403\/4. O resto \u00e9 3, logo, i^403 = i^3. Assim, temos que i^3 = -i.<br><\/p>\n\n\n\n<p><strong>Multiplica\u00e7\u00e3o de n\u00fameros complexos<\/strong><br><\/p>\n\n\n\n<p>Para realizarmos a multiplica\u00e7\u00e3o de dois n\u00fameros complexos, vamos <strong>aplicar a propriedade distributiva<\/strong>.&nbsp;<br><\/p>\n\n\n\n<ul><li>Exemplo alg\u00e9brico<\/li><\/ul>\n\n\n\n<p>Seja Z1 = a + bi e Z2 = c +di<br><\/p>\n\n\n\n<p>Ent\u00e3o o produto Z1 \u00b7 Z2 = (a + bi) (c + di)<br><\/p>\n\n\n\n<p>Aplicando a propriedade distributiva temos Z1 \u00b7 Z2 = ac + adi + cbi + bd.i\u00b2<br><\/p>\n\n\n\n<p>Como vimos nas pot\u00eancias, i \u00b2 = -1, ent\u00e3o: Z1 \u00b7 Z2 = ac + adi + cbi \u2013 bd<br><\/p>\n\n\n\n<p>Utilizando fato comum chegamos \u00e0 Z1 \u00b7 Z2 = (ac \u2013 bd) + (ad + cb)i<br><\/p>\n\n\n\n<p>Se voc\u00ea decorar apenas essa \u00faltima f\u00f3rmula, conseguir\u00e1 encontrar o produto de qualquer n\u00famero complexo. Mas, de modo geral, ela n\u00e3o precisa ser decorada porque <strong>basta aplicarmos a propriedade distributiva e o fator comum!<\/strong><br><\/p>\n\n\n\n<ul><li>Exemplo num\u00e9rico<\/li><\/ul>\n\n\n\n<p>C\u00e1lculo do produto de (2+3i) (1 \u2013 4i) = 2 \u2013 8i + 3i \u2013 12i \u00b2<br><\/p>\n\n\n\n<p>Lembrando que i\u00b2 = -1, teremos (2 + 3i) (1 \u2013 4i) = 2 \u2013 8i + 3i + 12<br><\/p>\n\n\n\n<p>(2 + 3i) (1 \u2013 4i) = (2 + 12) + (\u2013 8 + 3)i<br><\/p>\n\n\n\n<p>(2+3i) (1 \u2013 4i) = <strong>14 \u2013 5i<\/strong><br><\/p>\n\n\n\n<p>Gostou do nosso artigo sobre o que s\u00e3o n\u00fameros complexos? Confira <strong>outros artigos <\/strong>do nosso blog e <strong>se prepare para o Enem<\/strong> da melhor maneira! 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