{"id":19512,"date":"2021-01-07T18:32:11","date_gmt":"2021-01-07T21:32:11","guid":{"rendered":"https:\/\/beduka.com\/blog\/?p=19512"},"modified":"2023-09-05T17:08:35","modified_gmt":"2023-09-05T20:08:35","slug":"matriz","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/beduka.com\/blog\/materias\/matematica\/matriz\/","title":{"rendered":"Matriz: entenda o que \u00e9, como resolver e seus tipos!"},"content":{"rendered":"\n<p>Matriz \u00e9 o nome que damos a uma <strong>representa\u00e7\u00e3o matem\u00e1tica das tabelas<\/strong>, assim, uma tabela desenhada pode ser estruturada usando uma express\u00e3o matem\u00e1tica. Portanto, uma matriz A (mxn) indica que ela possui \u201cm\u201d linhas e \u201cn\u201d colunas.<\/p>\n\n\n\n<p><strong>Neste artigo, voc\u00ea encontrar\u00e1:<\/strong><\/p>\n\n\n\n<ol>\n<li>O que \u00e9 e para qu\u00ea serve<\/li>\n\n\n\n<li>Representa\u00e7\u00e3o daz matrizes, elementos e leitura<\/li>\n\n\n\n<li>Quais s\u00e3o os tipos de matrizes: nula, quadrada, inversa, oposta, transposta, identidade<\/li>\n\n\n\n<li>Opera\u00e7\u00f5es com matrizes: adi\u00e7\u00e3o, subtra\u00e7\u00e3o e multiplica\u00e7\u00e3o<\/li>\n<\/ol>\n\n\n\n<ul>\n<li><strong>Estudando para as provas?<\/strong> Conhe\u00e7a <a href=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/dicas\/enem-dicas\/simulados-para-enem-online-e-gratuito\/\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\" aria-label=\" (abre numa nova aba)\">O melhor Simulado do Brasil!<\/a> Ele pode ser personalizado com as mat\u00e9rias que voc\u00ea mais precisa!<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">O que \u00e9 uma matriz?<\/h2>\n\n\n\n<p>Matriz \u00e9 o nome que damos a uma <strong>representa\u00e7\u00e3o matem\u00e1tica das tabelas<\/strong>. Isso significa que uma tabela desenhada pode ser estruturada de forma mais simples, usando uma express\u00e3o matem\u00e1tica.<\/p>\n\n\n\n<p>Portanto, as matrizes s\u00e3o <strong>organizadas em linhas no formato m x n<\/strong>. Assim, \u201c<strong>m<\/strong>\u201d indica o n\u00famero de <strong>linhas <\/strong>(horizontal) e<strong> \u201cn<\/strong>\u201d indica o n\u00famero de <strong>colunas <\/strong>(vertical).&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>Muitos alunos a temem, mas ela \u00e9 apenas uma tabela em que as pr\u00f3prias posi\u00e7\u00f5es transmitem informa\u00e7\u00f5es. Para saber ler suas &#8220;entrelinhas&#8221;, precisamos estudar seus elementos! Veremos tudo isso nos t\u00f3picos adiante!<\/p>\n\n\n\n<ul>\n<li><strong>Voc\u00ea \u00e9 uma daquelas pessoas que tem fome de conhecimento? <\/strong>Ent\u00e3o siga o <a href=\"https:\/\/www.instagram.com\/beduka_oficial\/\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\" aria-label=\" (abre numa nova aba)\">Beduka no Instagram<\/a> para conte\u00fados di\u00e1rios.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Para que servem as matrizes?<\/h3>\n\n\n\n<p>Muito <strong>al\u00e9m da matem\u00e1tica alg\u00e9brica<\/strong>, a matriz \u00e9 utilizada no mundo das <a rel=\"noreferrer noopener\" aria-label=\" (abre numa nova aba)\" href=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/materias\/matematica\/juros-simples-e-composto\/\" target=\"_blank\">finan\u00e7as<\/a> e economias, na engenharia, na f\u00edsica e at\u00e9 mesmo na geometria anal\u00edtica! Inclusive, podemos <strong>us\u00e1-la para a resolver<\/strong> <a href=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/materias\/matematica\/sistema-de-equacoes\/\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\" aria-label=\" (abre numa nova aba)\">sistemas de equa\u00e7\u00f5es lineares<\/a>.<\/p>\n\n\n\n<p>Se voc\u00ea souber como us\u00e1-la, ela pode se tornar um grande atalho nas diversas situa\u00e7\u00f5es da vida.&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>Al\u00e9m disso, <strong>se voc\u00ea \u00e9 aluno<\/strong>, \u00e9 importante conhecer tudo o que colocamos neste artigo! Isso porque essa mat\u00e9ria <strong>\u00e9 cobrada no Ensino M\u00e9dio e nos<\/strong> <a href=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/dicas\/vestibulares\/como-e-uma-prova-de-vestibular\/\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\" aria-label=\" (abre numa nova aba)\">vestibulares<\/a>!<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Representa\u00e7\u00e3o das matrizes<\/h2>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" width=\"600\" height=\"300\" src=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/tabela-representada-em-uma-matriz-e-o-s\u00edmbolo-deka.jpg\" alt=\"tabela-representada-em-uma-matriz-e-o-s\u00edmbolo-deka\" class=\"wp-image-19513\" srcset=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/tabela-representada-em-uma-matriz-e-o-s\u00edmbolo-deka.jpg 600w, https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/tabela-representada-em-uma-matriz-e-o-s\u00edmbolo-deka-300x150.jpg 300w, https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/tabela-representada-em-uma-matriz-e-o-s\u00edmbolo-deka-320x160.jpg 320w\" sizes=\"(max-width: 600px) 100vw, 600px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p>As matrizes <strong>s\u00e3o sempre representadas por letras mai\u00fasculas<\/strong> (A, B, C\u2026).&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>Essas letras <strong>s\u00e3o acompanhadas por \u00edndices (m e n)<\/strong>, que cont\u00e9m uma informa\u00e7\u00e3o: <strong>o primeiro n\u00famero (m) indica a quantidade total de linhas<\/strong> e <strong>o segundo (n) indica o n\u00famero total de colunas<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n<p>Por isso, uma matriz qualquer \u00e9 descrita como<strong> A (mxn).<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>Os n\u00fameros colocados dentro dela podem estar entre par\u00eantesis ( ), colchetes [&nbsp; ], chaves { } ou barras duplas II II.&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p><strong>Exemplo:&nbsp;<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>Na imagem acima, h\u00e1 uma tabela com os valores arrecadados na venda de bolos no primeiro bimestre do ano.&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>Essa tabela apresenta dados em duas linhas (tipos de bolo) e duas colunas (meses do ano) e, por isso, trata-se de uma matriz A(2&#215;2).<\/p>\n\n\n\n<p><strong>Cuidado!<\/strong>&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>Se os n\u00fameros representados estiverem <strong>entre barras \u00fanicas<\/strong> I I, trata-se do  <strong><a href=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/materias\/matematica\/determinante\/\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\" aria-label=\" (abre numa nova aba)\">determinante<\/a>!<\/strong><\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Como fazer matrizes? (elementos e leitura)<\/h2>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" width=\"600\" height=\"300\" src=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/tabelas-representada-nos-elementos-das-matrizes-aij.jpg\" alt=\"tabelas-representada-nos-elementos-das-matrizes-aij\" class=\"wp-image-19514\" srcset=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/tabelas-representada-nos-elementos-das-matrizes-aij.jpg 600w, https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/tabelas-representada-nos-elementos-das-matrizes-aij-300x150.jpg 300w, https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/tabelas-representada-nos-elementos-das-matrizes-aij-320x160.jpg 320w\" sizes=\"(max-width: 600px) 100vw, 600px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p>N\u00f3s dissemos acima que precisamos saber ler as matrizes. Isso porque as matrizes <strong>s\u00e3o organizadas de maneira <\/strong><a href=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/materias\/filosofia\/o-que-e-logica\/\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\" aria-label=\" (abre numa nova aba)\">l\u00f3gica <\/a>para facilitar a consulta das informa\u00e7\u00f5es.<\/p>\n\n\n\n<p>Cada elemento de uma matriz \u00e9 chamado genericamente de \u201ca ij\u201d. Nesse caso, \u201c<strong>i\u201d representa em qual linha est\u00e1<\/strong> e o \u201c<strong>j\u201d representa em qual coluna se localiza.&nbsp;<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>Com essas duas informa\u00e7\u00f5es, localizamos qual a posi\u00e7\u00e3o do elemento na tabela.<\/p>\n\n\n\n<p>Supondo que n\u00f3s <strong>apenas olhamos a A(2&#215;2) <\/strong>do t\u00f3pico anterior, sem ter visto a tabela. Mas lemos que ela se refere \u00e0 venda de bolos de chocolate e morango no primeiro bimestre.<\/p>\n\n\n\n<p><strong>S\u00f3 com essas informa\u00e7\u00f5es e observando a posi\u00e7\u00e3o dos n\u00fameros<\/strong>, poder\u00edamos afirmar que o n\u00famero \u201c450\u201d se refere aos bolos de morango vendidos em janeiro.<\/p>\n\n\n\n<p>Isso porque o \u201c450\u201d est\u00e1 na posi\u00e7\u00e3o do elemento aij = a21. Ou seja, segunda linha (morango) e primeira coluna (janeiro).<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Exemplo resolvido com lei de forma\u00e7\u00e3o<\/h3>\n\n\n\n<ol>\n<li>Determine A = [a<sub>ij<\/sub> ]<sub>2&#215;2,<\/sub> que possui a seguinte lei de forma\u00e7\u00e3o a<sub>ij<\/sub> = j<sup>2<\/sup> \u2013 2i.&nbsp;<\/li>\n<\/ol>\n\n\n\n<p><strong>Resolu\u00e7\u00e3o:<\/strong><\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" width=\"600\" height=\"300\" src=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/resolu\u00e7\u00e3o-da-lei-de-forma\u00e7ao-de-uma-matriz.jpg\" alt=\"resolu\u00e7\u00e3o-da-lei-de-forma\u00e7ao-de-uma-matriz\" class=\"wp-image-19515\" srcset=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/resolu\u00e7\u00e3o-da-lei-de-forma\u00e7ao-de-uma-matriz.jpg 600w, https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/resolu\u00e7\u00e3o-da-lei-de-forma\u00e7ao-de-uma-matriz-300x150.jpg 300w, https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/resolu\u00e7\u00e3o-da-lei-de-forma\u00e7ao-de-uma-matriz-320x160.jpg 320w\" sizes=\"(max-width: 600px) 100vw, 600px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p><strong>Passo 1:<\/strong> Dos dados do enunciado, temos que a matriz A \u00e9 de ordem dois por dois, ou seja, possui duas linhas e duas colunas, logo chegamos a primeira imagem acima.<\/p>\n\n\n\n<p><strong>Passo 2: <\/strong>Al\u00e9m disso, foi dada a lei de forma\u00e7\u00e3o da matriz, ou seja, a cada elemento satisfaz-se a rela\u00e7\u00e3o a<sub>ij<\/sub> = j<sup>2<\/sup> \u2013 2i. Substituindo os valores de i e j na f\u00f3rmula, temos:<\/p>\n\n\n\n<p><strong>a<\/strong><strong><sub>11<\/sub><\/strong><strong> = <\/strong>(1)<sup>2<\/sup> &#8211; 2(1) = -1<\/p>\n\n\n\n<p><strong>a<\/strong><strong><sub>12<\/sub><\/strong><strong> = <\/strong>(2)<sup>2<\/sup> &#8211; 2(1) = 2<\/p>\n\n\n\n<p><strong>a<\/strong><strong><sub>21<\/sub><\/strong><strong> = <\/strong>(1)<sup>2<\/sup> &#8211; 2(2) = -3<\/p>\n\n\n\n<p><strong>a<sub>22 <\/sub>= <\/strong>(2)<sup>2<\/sup> &#8211; 2(2) = 0<\/p>\n\n\n\n<p>Portanto, a matriz <strong>A<\/strong> corresponde \u00e0 segunda imagem acima.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Quais s\u00e3o as matrizes? (Tipos)<\/h2>\n\n\n\n<p>Precisamos entender que existem <strong>tipos de matrizes dependendo da quantidade de colunas, linhas e dos elementos<\/strong> que as comp\u00f5em. Portanto, as matrizes podem ser classificadas em:<\/p>\n\n\n\n<ul>\n<li>Matriz linha<\/li>\n\n\n\n<li>Matriz coluna<\/li>\n\n\n\n<li>Matriz nula<\/li>\n\n\n\n<li>Matriz quadrada<\/li>\n\n\n\n<li>Matriz transposta<\/li>\n\n\n\n<li>Matriz oposta<\/li>\n\n\n\n<li>Matriz identidade<\/li>\n\n\n\n<li>Matriz sim\u00e9trica<\/li>\n\n\n\n<li>Matriz inversa<\/li>\n\n\n\n<li>Matriz igual<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p>Vamos entender cada um desses tipos:<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Matriz linha e Matriz coluna<\/h3>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" width=\"600\" height=\"300\" src=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/exemplo-de-matriz-linha-e-matriz-coluna.jpg\" alt=\"exemplo-de-matriz-linha-e-matriz-coluna\" class=\"wp-image-19516\" srcset=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/exemplo-de-matriz-linha-e-matriz-coluna.jpg 600w, https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/exemplo-de-matriz-linha-e-matriz-coluna-300x150.jpg 300w, https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/exemplo-de-matriz-linha-e-matriz-coluna-320x160.jpg 320w\" sizes=\"(max-width: 600px) 100vw, 600px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<ul>\n<li>A <strong>matriz linha <\/strong>\u00e9 aquela que <strong>sempre possui apenas 1 linha.<\/strong> Isso significa que ela ser\u00e1 do tipo <strong>A(1xn) <\/strong>e seus elementos<strong> a1j.<\/strong><\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<ul>\n<li>A <strong>matriz coluna<\/strong> \u00e9 aquela que <strong>sempre possui apenas 1 coluna.<\/strong> Isso significa que ela ser\u00e1 do tipo <strong>A(mx1) <\/strong>e seus elementos<strong> ai1.<\/strong><\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Matrizes nulas<\/h3>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" width=\"600\" height=\"300\" src=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/exemplo-de-matrizes-nulas.jpg\" alt=\"exemplo-de-matrizes-nulas\" class=\"wp-image-19517\" srcset=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/exemplo-de-matrizes-nulas.jpg 600w, https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/exemplo-de-matrizes-nulas-300x150.jpg 300w, https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/exemplo-de-matrizes-nulas-320x160.jpg 320w\" sizes=\"(max-width: 600px) 100vw, 600px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p>A matriz nula pode possuir quantos n\u00fameros forem de colunas e linhas. O que determina sua caracter\u00edstica \u00e9 possuir <strong>todos os elementos valendo 0.<\/strong>&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>Portanto, ela \u00e9 do tipo <strong>A(mxn)<\/strong> com todos os elementos <strong>aij = 0<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Matrizes quadradas<\/h3>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" width=\"600\" height=\"300\" src=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/exemplo-de-matrizes-quadradas.jpg\" alt=\"exemplo-de-matrizes-quadradas\" class=\"wp-image-19518\" srcset=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/exemplo-de-matrizes-quadradas.jpg 600w, https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/exemplo-de-matrizes-quadradas-300x150.jpg 300w, https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/exemplo-de-matrizes-quadradas-320x160.jpg 320w\" sizes=\"(max-width: 600px) 100vw, 600px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p>Dizemos que uma matriz \u00e9 do tipo quadrada quando seu <strong>n\u00famero de linhas \u00e9 igual ao n\u00famero de colunas. <\/strong>Portanto, ela \u00e9 definida genericamente como <strong>A(mxm)<\/strong> ou <strong>A(nxn)<\/strong>.&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>Isso n\u00e3o interfere na representa\u00e7\u00e3o dos elementos aij.<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Igualdade de Matrizes<\/h3>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" width=\"600\" height=\"300\" src=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/exemplo-de-matrizes-iguais.jpg\" alt=\"exemplo-de-matrizes-iguais\" class=\"wp-image-19519\" srcset=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/exemplo-de-matrizes-iguais.jpg 600w, https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/exemplo-de-matrizes-iguais-300x150.jpg 300w, https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/exemplo-de-matrizes-iguais-320x160.jpg 320w\" sizes=\"(max-width: 600px) 100vw, 600px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p>Dizemos que duas matrizes s\u00e3o iguais quando <strong>s\u00e3o do mesmo tipo e possuem os mesmos&nbsp; elementos.&nbsp;<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>Isso ocorre quando uma \u00e9 uma r\u00e9plica da outra, e nos ajuda a achar elementos faltantes.<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Matriz identidade<\/h3>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" width=\"600\" height=\"300\" src=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/exemplo-de-matrizes-identidade.jpg\" alt=\"exemplo-de-matrizes-identidade\" class=\"wp-image-19520\" srcset=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/exemplo-de-matrizes-identidade.jpg 600w, https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/exemplo-de-matrizes-identidade-300x150.jpg 300w, https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/exemplo-de-matrizes-identidade-320x160.jpg 320w\" sizes=\"(max-width: 600px) 100vw, 600px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p>A matriz identidade <strong>\u00e9 sempre do tipo quadrada<\/strong> e tamb\u00e9m \u00e9 aquela em que a <strong>diagonal principal <\/strong>\u00e9 <strong>toda formada por elementos que valem 1<\/strong>. <strong>Os demais n\u00fameros s\u00e3o sempre nulos 0<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n<p>A matriz identidade \u00e9 indicado por <strong>In<\/strong>, onde o \u201cn\u201d corresponde a <strong>ordem<\/strong>, ou seja, seu n\u00famero de colunas e linhas. Portanto, se ela tiver quatro linhas e 4 colunas, ser\u00e1 chamada de matriz identidade de ordem 4.<\/p>\n\n\n\n<p>A <strong>diagonal principal <\/strong>\u00e9 formada por <strong>elementos que possuem \u00edndices iguais<\/strong> (todo elemento aij com i = j). A diagonal secund\u00e1ria \u00e9 formada por elementos aij com i + j = n +1, em que n \u00e9 ordem.<\/p>\n\n\n\n<p><strong>Propriedade:<\/strong><\/p>\n\n\n\n<ul>\n<li>A matriz identidade<strong> \u00e9 neutra, <\/strong>ou seja, qualquer matriz multiplicada pela identidade resulta na inicial: A . In = 1 . A = A.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Matrizes transpostas<\/h3>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" width=\"600\" height=\"300\" src=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/exemplo-de-matrizes-tranpostas-1.jpg\" alt=\"exemplo-de-matrizes-tranpostas-1\" class=\"wp-image-19640\" srcset=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/exemplo-de-matrizes-tranpostas-1.jpg 600w, https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/exemplo-de-matrizes-tranpostas-1-300x150.jpg 300w, https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/exemplo-de-matrizes-tranpostas-1-320x160.jpg 320w\" sizes=\"(max-width: 600px) 100vw, 600px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p>A <strong>transposta (t)<\/strong> de uma matriz A \u00e9 uma matriz At que apresenta os mesmos elementos de A, s\u00f3 que colocados em uma posi\u00e7\u00e3o diferente. <strong>Se A(mxn) ent\u00e3o At = (nxm).<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>A Transposta \u00e9 aquela que obtemos quando fazemos uma <strong>troca ordenada, transportando os elementos das linhas de A para as colunas da transposta At.<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p><strong>Exemplo<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>Para enxergar o que estamos dizendo, voc\u00ea precisa ter uma boa <a href=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/materias\/matematica\/visao-espacial-matematica\/\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\" aria-label=\" (abre numa nova aba)\">vis\u00e3o espacial!<\/a>&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p><strong>Propriedades:<\/strong><\/p>\n\n\n\n<ul>\n<li><strong>(At)t = A: <\/strong>essa propriedade indica que a transposta de uma  transposta \u00e9 a original.<\/li>\n\n\n\n<li><strong>(A + B)t = At + Bt:<\/strong> a transposta da soma duas matrizes \u00e9 igual a soma da transposta de cada uma delas.<\/li>\n\n\n\n<li><strong>(A . B)t = Bt . At: <\/strong>a transposta da multiplica\u00e7\u00e3o de duas matrizes \u00e9 igual ao produto das transpostas de cada uma delas, em ordem inversa.<\/li>\n\n\n\n<li><strong>det(M) = det(Mt):<\/strong> o determinante da transposta \u00e9 igual ao determinante da original.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Matriz sim\u00e9trica<\/h3>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" width=\"600\" height=\"300\" src=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/exemplo-de-matrizes-simetricas.jpg\" alt=\"exemplo-de-matrizes-simetricas\" class=\"wp-image-19522\" srcset=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/exemplo-de-matrizes-simetricas.jpg 600w, https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/exemplo-de-matrizes-simetricas-300x150.jpg 300w, https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/exemplo-de-matrizes-simetricas-320x160.jpg 320w\" sizes=\"(max-width: 600px) 100vw, 600px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p>Uma matriz \u00e9 chamada de sim\u00e9trica <strong>quando fazemos a sua transposta e o resultado \u00e9 igual \u00e0 matriz original<\/strong>!&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>Assim, a igualdade aij = aji \u00e9 verdadeira se compararmos qualquer elemento das matrizes A e At, pois A = At.<\/p>\n\n\n\n<p><strong>Isso s\u00f3 ocorre em matrizes quadrada<\/strong>s.<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Matrizes opostas<\/h3>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" width=\"600\" height=\"300\" src=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/exemplo-de-matrizes-opostas.jpg\" alt=\"exemplo-de-matriz-oposta\" class=\"wp-image-19523\" srcset=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/exemplo-de-matrizes-opostas.jpg 600w, https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/exemplo-de-matrizes-opostas-300x150.jpg 300w, https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/exemplo-de-matrizes-opostas-320x160.jpg 320w\" sizes=\"(max-width: 600px) 100vw, 600px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p>A matriz oposta \u00e9 aquela que <strong>obtemos ao trocar os sinais dos elementos<\/strong> de uma matriz inicial.<\/p>\n\n\n\n<p><strong>Propriedade:<\/strong><\/p>\n\n\n\n<ul>\n<li>A soma de uma matriz com a sua oposta resulta em uma matriz nula.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Matrizes inversas<\/h3>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" width=\"600\" height=\"300\" src=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/exemplo-de-matrizes-iversas.jpg\" alt=\"exemplo-de-matriz-iversa\" class=\"wp-image-19524\" srcset=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/exemplo-de-matrizes-iversas.jpg 600w, https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/exemplo-de-matrizes-iversas-300x150.jpg 300w, https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/exemplo-de-matrizes-iversas-320x160.jpg 320w\" sizes=\"(max-width: 600px) 100vw, 600px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p>S\u00f3 podemos falar em matrizes inversas quando estamos <strong>analisando 2 matrizes quadradas de mesma ordem<\/strong> (A e B).&nbsp;Quando as multiplicamos, <strong> gera uma matriz identidade.<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>Ou seja: <strong>A . B<\/strong> = B . A =<strong> In<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>Embora a multiplica\u00e7\u00e3o ocorra entre duas matrizes diferentes (A e B), costumamos usar a nota\u00e7\u00e3o <strong>B<\/strong> e <strong>B-1<\/strong> para evidenciar que s\u00e3o inversas.<\/p>\n\n\n\n<p><strong>No \u00faltimo t\u00f3pico deste artigo explicamos como realizar opera\u00e7\u00f5es com matrizes.<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p><strong>Propriedades:<\/strong><\/p>\n\n\n\n<ul>\n<li>Existe somente uma inversa para cada matriz<\/li>\n\n\n\n<li>Nem todas as matrizes possuem uma inversa. S\u00f3 ter\u00e1 quando os produtos de matrizes quadradas resultam na identidade (In)<\/li>\n\n\n\n<li>A matriz inversa de uma inversa corresponde \u00e0 pr\u00f3pria matriz: A = (A-1)-1<\/li>\n\n\n\n<li>A matriz transposta de uma inversa tamb\u00e9m \u00e9 inversa: (At) -1 = (A-1)t<\/li>\n\n\n\n<li>A matriz inversa de uma transposta corresponde \u00e0 transposta da inversa: (A-1 At)-1<\/li>\n\n\n\n<li>A matriz inversa de uma matriz identidade \u00e9 igual \u00e0 matriz identidade: I-1 = I<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Como realizar opera\u00e7\u00f5es com matrizes?<\/h2>\n\n\n\n<p>\u00c9 isso mesmo! Assim como quase tudo na matem\u00e1tica, tamb\u00e9m podemos <strong>realizar as 4 opera\u00e7\u00f5es fundamentais com as matrizes <\/strong>(adi\u00e7\u00e3o, subtra\u00e7\u00e3o, multiplica\u00e7\u00e3o e divis\u00e3o)<strong>!<\/strong>&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>Fique atento \u00e0s explica\u00e7\u00f5es a seguir para entender como fazer isso:<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Adi\u00e7\u00e3o de matrizes<\/h3>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" width=\"600\" height=\"300\" src=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/adi\u00e7\u00e3o-de-matrizes.jpg\" alt=\"adi\u00e7\u00e3o-de-matrizes\" class=\"wp-image-19525\" srcset=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/adi\u00e7\u00e3o-de-matrizes.jpg 600w, https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/adi\u00e7\u00e3o-de-matrizes-300x150.jpg 300w, https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/adi\u00e7\u00e3o-de-matrizes-320x160.jpg 320w\" sizes=\"(max-width: 600px) 100vw, 600px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p>Para realizar a soma \u00e9 muito simples: <strong>somamos os elementos de mesma posi\u00e7\u00e3o e colocamos o resultado final tamb\u00e9m na mesma posi\u00e7\u00e3o.<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>Observe a imagem acima para ver o exemplo num\u00e9rico!&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p><strong>Propriedades<\/strong><\/p>\n\n\n\n<ul>\n<li><strong>Comutativa<\/strong>: trocar a ordem dos fatores n\u00e3o altera o resultado. A + B = B + A<\/li>\n\n\n\n<li><strong>Associativa:<\/strong> trocar a ordem das somas n\u00e3o altera o resultado. A + (B + C) = (A + B) + C&nbsp;<\/li>\n\n\n\n<li><strong>Elemento oposto<\/strong>: somar matrizes opostas resulta em matrizes nulas. A + (-A) = 0<\/li>\n\n\n\n<li><strong>Elemento neutro: <\/strong>somar matrizes com um elemento neutro resulta nas pr\u00f3prias matrizes iniciais. A + 0 = A<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Subtra\u00e7\u00e3o de matrizes<\/h3>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" width=\"600\" height=\"300\" src=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/subtra\u00e7\u00e3o-de-matrizes.jpg\" alt=\"subtra\u00e7\u00e3o-de-matrizes\" class=\"wp-image-19526\" srcset=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/subtra\u00e7\u00e3o-de-matrizes.jpg 600w, https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/subtra\u00e7\u00e3o-de-matrizes-300x150.jpg 300w, https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/subtra\u00e7\u00e3o-de-matrizes-320x160.jpg 320w\" sizes=\"(max-width: 600px) 100vw, 600px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p>Na matem\u00e1tica que voc\u00ea j\u00e1 conhece, sabe muito bem que <strong>realizar uma subtra\u00e7\u00e3o \u00e9 a mesma coisa que realizar uma soma com o oposto do n\u00famero.<\/strong> Assim: 4 &#8211; 2 = 4 + (-2).&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>N\u00f3s usamos o mesmo princ\u00edpio para fazer a subtra\u00e7\u00e3o entre matrizes. <strong>Primeiro voc\u00ea encontra a matriz oposta da segunda e depois realiza a soma entre elas.<\/strong><\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Multiplica\u00e7\u00e3o de matrizes<\/h3>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" width=\"609\" height=\"342\" src=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2023\/02\/Imagens-1.png\" alt=\"multiplica\u00e7\u00e3o de matrizes\" class=\"wp-image-28547\"\/><\/figure><\/div>\n\n\n<p>A <strong>multiplica\u00e7\u00e3o entre duas matrizes<\/strong> A e B <strong>s\u00f3 \u00e9 poss\u00edvel quando o n\u00famero de colunas de A for igual ao n\u00famero de linhas de B. <\/strong>Isso acontece porque o m\u00e9todo de multiplica\u00e7\u00e3o exige isso:<\/p>\n\n\n\n<p>Para efetuar a multiplica\u00e7\u00e3o entre as matrizes, devemos <strong>multiplicar cada uma das linhas por todas as colunas<\/strong>.&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>Assim, o primeiro elemento de A \u00e9 multiplicado pelo primeiro elemento de B e, em seguida, somado ao segundo elemento de A&nbsp; multiplicado pelo segundo elemento de B. Assim prosseguimos sucessivamente.<\/p>\n\n\n\n<p><strong>Observe a imagem acima atentamente, guiando-se pelas cores!<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p><strong>Multiplica\u00e7\u00e3o por um n\u00famero real: <\/strong>Se multiplicarmos uma matriz por um n\u00famero, basta realizar a multiplica\u00e7\u00e3o de cada elemento da matriz por esse mesmo n\u00famero: <strong>A . 2 ser\u00e1 cada aij . 2!<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p><strong>Propriedades<\/strong><\/p>\n\n\n\n<ul>\n<li><strong>Associativa<\/strong>: em multiplica\u00e7\u00f5es sucessivas, alterar a ordem n\u00e3o interfere no resultado. A . (C . B) = (A . B) . C<\/li>\n\n\n\n<li><strong>Distributiva: <\/strong>A . (B + C) = A . B + A . C<\/li>\n\n\n\n<li><strong>Elemento neutro: <\/strong>Multiplicar por uma matriz identidade \u00e9 o mesmo que multiplicar por 1: A . In = A<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p>Gostou do nosso artigo? Confira <strong>outros artigos <\/strong>do nosso blog e <strong>se prepare para o Enem<\/strong> da melhor maneira! Voc\u00ea tamb\u00e9m pode se organizar com o nosso <a aria-label=\" (abre numa nova aba)\" href=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/dicas\/enem-dicas\/plano-de-estudos-gratuito\/\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">plano de estudos<\/a>, o mais completo da internet.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Matriz \u00e9 o nome que damos a uma representa\u00e7\u00e3o matem\u00e1tica das tabelas, assim, uma tabela desenhada pode ser estruturada usando uma express\u00e3o matem\u00e1tica. Portanto, uma matriz A (mxn) indica que ela possui \u201cm\u201d linhas e \u201cn\u201d colunas. Neste artigo, voc\u00ea encontrar\u00e1: O que \u00e9 uma matriz? 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