{"id":19534,"date":"2021-01-08T12:41:41","date_gmt":"2021-01-08T15:41:41","guid":{"rendered":"https:\/\/beduka.com\/blog\/?p=19534"},"modified":"2023-09-05T17:13:28","modified_gmt":"2023-09-05T20:13:28","slug":"geometria-analitica","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/beduka.com\/blog\/materias\/matematica\/geometria-analitica\/","title":{"rendered":"Geometria Anal\u00edtica:  f\u00f3rmulas e explica\u00e7\u00f5es com exemplos!"},"content":{"rendered":"\n<blockquote class=\"wp-block-quote\">\n<p><em style=\"font-weight: bold;\">Apesar de <strong><em>intimidar alguns, com <\/em><\/strong>explica\u00e7\u00f5es simples voc\u00ea \u00e9 capaz de aprender Geometria Anal\u00edtica!<\/em> E<strong><em>la<\/em><\/strong> <strong><em>\u00e9 a \u00e1rea que representa as figuras planas por meio de equa\u00e7\u00f5es, ent\u00e3o aprendemos a calcular dist\u00e2ncia entre pontos, circunfer\u00eancias e retas.<\/em><\/strong> <strong><em>Conhe\u00e7a as f\u00f3rmulas e veja os exemplos!<\/em><\/strong><\/p>\n<\/blockquote>\n\n\n\n<p><strong>Neste artigo sobre Geometria Anal\u00edtica, voc\u00ea encontrar\u00e1:<\/strong><\/p>\n\n\n\n<ol>\n<li><a href=\"#1\">O que a Geometria Anal\u00edtica estuda?<\/a><\/li>\n\n\n\n<li><a href=\"#2\">Como e quando ela surgiu?<\/a><\/li>\n\n\n\n<li><a href=\"#3\">Onde ela \u00e9 usada?<\/a><\/li>\n\n\n\n<li><a href=\"#4\">O que eu preciso saber para aprend\u00ea-la?<\/a><\/li>\n\n\n\n<li><a href=\"#5\">Estudo dos pontos: dist\u00e2ncia entre dois pontos, ponto m\u00e9dio, condi\u00e7\u00e3o de alinhamento.<\/a><\/li>\n\n\n\n<li><a href=\"#6\">Estudo da reta: equa\u00e7\u00e3o geral e reduzida, casos de interse\u00e7\u00e3o e dist\u00e2ncia entre ponto e reta.<\/a><\/li>\n\n\n\n<li><a href=\"#7\">Estudo da circunfer\u00eancia: equa\u00e7\u00e3o reduzida, ponto e circunfer\u00eancia, reta e circunfer\u00eancia, rela\u00e7\u00e3o entre duas circunfer\u00eancias.<\/a><\/li>\n<\/ol>\n\n\n\n<ul>\n<li><strong>Estudando para as provas?<\/strong> Conhe\u00e7a <a href=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/dicas\/enem-dicas\/simulados-para-enem-online-e-gratuito\/\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\" aria-label=\" (abre numa nova aba)\">O <\/a><strong><a href=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/dicas\/enem-dicas\/simulados-para-enem-online-e-gratuito\/\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\" aria-label=\" (abre numa nova aba)\">melhor<\/a><\/strong><a href=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/dicas\/enem-dicas\/simulados-para-enem-online-e-gratuito\/\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\" aria-label=\" (abre numa nova aba)\"> Simulado do Brasil!<\/a> Ele pode ser personalizado com as mat\u00e9rias que voc\u00ea mais precisa!<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"1\">O que estuda a geometria anal\u00edtica?<\/h2>\n\n\n\n<p>A Geometria anal\u00edtica \u00e9 a \u00e1rea da matem\u00e1tica que <strong>estuda as figuras da geometria plana usando express\u00f5es alg\u00e9bricas.<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>Isso significa que as rela\u00e7\u00f5es entre ponto, reta e circunfer\u00eancia podem ser dadas por <strong>equa\u00e7\u00f5es e pares de coordenadas<\/strong> no <a rel=\"noreferrer noopener\" aria-label=\" (abre numa nova aba)\" href=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/materias\/matematica\/plano-cartesiano\/\" target=\"_blank\">plano cartesiano<\/a>!<\/p>\n\n\n\n<p>Por isso mesmo, ela tamb\u00e9m pode ser chamada de geometria de coordenadas ou geometria cartesiana.<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"2\">Como e quando surgiu a geometria anal\u00edtica?<\/h3>\n\n\n\n<p>A Geometria Anal\u00edtica <strong>surgiu com Ren\u00e9 Descartes<\/strong> em <strong>1637<\/strong>, o mesmo matem\u00e1tico e fil\u00f3sofo que criou o sistema de coordenadas no plano cartesiano. O seu lema de vida era que o pensamento matem\u00e1tico poderia trazer o conhecimento de qualquer \u00e1rea.<\/p>\n\n\n\n<p>No s\u00e9culo XVII, Descartes relacionou a \u00e1lgebra com a geometria, <strong>traduzindo a linguagem das formas para a das contas<\/strong>! Assim, criou princ\u00edpios matem\u00e1ticos que foram a conclus\u00e3o de seu trabalho.<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"3\">Onde \u00e9 utilizada a geometria anal\u00edtica?<\/h3>\n\n\n\n<p>A geometria anal\u00edtica \u00e9 muito utilizada na <strong>f\u00edsica e na engenharia<\/strong>, ou seja, \u00e9 utilizada na computa\u00e7\u00e3o, nos assuntos espaciais, nas constru\u00e7\u00f5es civis e mec\u00e2nicas.<\/p>\n\n\n\n<p>Essa matem\u00e1tica \u00e9 muito importante na vida de um estudante do <strong>Ensino M\u00e9dio<\/strong> e de um <a rel=\"noreferrer noopener\" aria-label=\" (abre numa nova aba)\" href=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/dicas\/vestibulares\/como-e-uma-prova-de-vestibular\/\" target=\"_blank\">vestibulando<\/a>. Isso porque \u00e9 uma mat\u00e9ria que <strong>cai nas provas<\/strong> de matem\u00e1tica e nos ajuda a compreender a f\u00edsica<strong> <\/strong>que trata dos <a rel=\"noreferrer noopener\" aria-label=\" (abre numa nova aba)\" href=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/exercicios\/fisica-exercicios\/exercicios-de-vetores-com-gabarito-resumo-da-materia\/\" target=\"_blank\">vetores<\/a>.<\/p>\n\n\n\n<p>Os grandes cientistas<strong> Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz<\/strong> foram <strong>estudantes ass\u00edduos da Geometria Anal\u00edtica! <\/strong>Ela deu a base te\u00f3rica e pr\u00e1tica para o surgimento do C\u00e1lculo Diferencial e Integral, muito utilizado atualmente na Engenharia.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"4\">O que eu preciso saber para aprender geometria anal\u00edtica?<\/h2>\n\n\n\n<p>Antes de estudarmos os conceitos da Geometria anal\u00edtica, <strong>\u00e9 preciso j\u00e1 saber os conceitos da <\/strong><a rel=\"noreferrer noopener\" aria-label=\" (abre numa nova aba)\" href=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/materias\/matematica\/geometria-plana\/\" target=\"_blank\">geometria plana<\/a>. Os principais s\u00e3o a defini\u00e7\u00e3o de<strong> <\/strong><a href=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/materias\/pontos-na-matematica\/\" data-type=\"post\" data-id=\"21781\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">ponto<\/a><strong>, <\/strong><a href=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/materias\/resumo-sobre-retas\/\" data-type=\"post\" data-id=\"21740\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">reta<\/a><strong>, <\/strong><a href=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/materias\/matematica\/ponto-reta-e-plano\/\" data-type=\"post\" data-id=\"19988\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">plano<\/a><strong>, tri\u00e2ngulos, quadril\u00e1teros e circunfer\u00eancias.<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>Al\u00e9m disso, vamos utilizar conceitos que se aplicam a v\u00e1rias \u00e1reas da matem\u00e1tica. O significado de \u201c<strong>paralelo<\/strong>\u201d (perfeitamente alinhados, n\u00e3o se cruza), \u201c<strong>perpendicular<\/strong>\u201d (forma \u00e2ngulo reto), \u201c<strong>congruente<\/strong>\u201d (mesmo valor), s\u00e3o exemplos!<\/p>\n\n\n\n<p>Por fim, \u00e9 essencial conhecer a <a rel=\"noreferrer noopener\" aria-label=\" (abre numa nova aba)\" href=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/materias\/matematica\/equacao-do-primeiro-grau\/\" target=\"_blank\">equa\u00e7\u00e3o do primeiro grau<\/a> e os elementos que comp\u00f5em o <a rel=\"noreferrer noopener\" aria-label=\" (abre numa nova aba)\" href=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/materias\/matematica\/plano-cartesiano\/\" target=\"_blank\">plano cartesiano e sistema de coordenadas<\/a>.<\/p>\n\n\n\n<ul>\n<li>Portanto, <strong>leia esses artigos antes de continuar! <\/strong>Aproveite para<strong> seguir<\/strong> o <a href=\"https:\/\/www.instagram.com\/beduka_oficial\/\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\" aria-label=\" (abre numa nova aba)\">Beduka no Instagram<\/a> para conte\u00fados di\u00e1rios.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Conceitos importantes da geometria anal\u00edtica<\/h2>\n\n\n\n<p>Listamos abaixo os t\u00f3picos que veremos na geometria anal\u00edtica, para voc\u00ea ter no\u00e7\u00e3o do que trataremos. <strong>Nos pr\u00f3ximos t\u00f3picos, explicaremos cada conceito separadamente<\/strong>, com imagens e f\u00f3rmulas!<\/p>\n\n\n\n<p><strong>Estudo dos Pontos<\/strong><\/p>\n\n\n\n<ul>\n<li>Dist\u00e2ncia entre dois pontos;<\/li>\n\n\n\n<li>Ponto m\u00e9dio de um segmento;<\/li>\n\n\n\n<li>Condi\u00e7\u00e3o de alinhamento de tr\u00eas pontos.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p><strong>Estudo da<\/strong> <strong>Reta<\/strong><\/p>\n\n\n\n<ul>\n<li>Equa\u00e7\u00e3o geral e reduzida da reta;<\/li>\n\n\n\n<li>Intersec\u00e7\u00e3o entre retas;<\/li>\n\n\n\n<li>Dist\u00e2ncia entre ponto e reta.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p><strong>Estudo da<\/strong> <strong>Circunfer\u00eancia<\/strong><\/p>\n\n\n\n<ul>\n<li>Equa\u00e7\u00e3o reduzida da circunfer\u00eancia;<\/li>\n\n\n\n<li>Posi\u00e7\u00f5es relativas entre ponto e circunfer\u00eancia;<\/li>\n\n\n\n<li>Posi\u00e7\u00f5es relativas entre reta e circunfer\u00eancia;<\/li>\n\n\n\n<li>Posi\u00e7\u00f5es relativas entre circunfer\u00eancias.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"5\">Estudo dos pontos<\/h2>\n\n\n\n<p>Segundo a geometria plana, o ponto \u00e9 definido como algo que \u201c<strong>n\u00e3o tem partes<\/strong>\u201d.&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>Ele possui apenas uma dimens\u00e3o, ou seja, <strong>\u00e9 literalmente um pontinho<\/strong>! Exatamente como o ponto final ou quando voc\u00ea faz um ponto com a caneta sobre uma folha!<\/p>\n\n\n\n<p>Ele \u00e9 usado apenas como uma <strong>refer\u00eancia de posi\u00e7\u00e3o<\/strong> no espa\u00e7o e <strong>\u00e9 representado por letras mai\u00fasculas.<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>Agora, vamos <strong>ver como isso se relaciona com a \u00e1lgebra:<\/strong><\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Dist\u00e2ncia entre dois pontos<\/h3>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" width=\"600\" height=\"300\" src=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/Dist\u00e2ncia-entre-dois-pontos-f\u00f3rmula-e-grafico-desenho-no-plano-cartesiano.jpg\" alt=\"Dist\u00e2ncia-entre-dois-pontos-f\u00f3rmula-e-grafico-desenho-no-plano-cartesiano\" class=\"wp-image-19536\" srcset=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/Dist\u00e2ncia-entre-dois-pontos-f\u00f3rmula-e-grafico-desenho-no-plano-cartesiano.jpg 600w, https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/Dist\u00e2ncia-entre-dois-pontos-f\u00f3rmula-e-grafico-desenho-no-plano-cartesiano-300x150.jpg 300w, https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/Dist\u00e2ncia-entre-dois-pontos-f\u00f3rmula-e-grafico-desenho-no-plano-cartesiano-320x160.jpg 320w\" sizes=\"(max-width: 600px) 100vw, 600px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p>Na geometria anal\u00edtica, n\u00f3s aprendemos como <strong>calcular a dist\u00e2ncia entre os pontos.&nbsp;<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>Se tivermos como base os<strong> pontos<\/strong> <strong>A (xa, ya) e B (xb, yb), <\/strong>a <strong>dist\u00e2ncia<\/strong> <strong>\u00e9 representada pelo segmento de reta AB<\/strong> (dAB).&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>Note que a dist\u00e2ncia entre os pontos A e B \u00e9 a <a href=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/materias\/matematica\/relacoes-metricas-no-triangulo-retangulo-2\/\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\" aria-label=\" (abre numa nova aba)\">hipotenusa do tri\u00e2ngulo<\/a>. Portanto, vamos utilizar o <a rel=\"noreferrer noopener\" aria-label=\" (abre numa nova aba)\" href=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/exercicios\/matematica-exercicios\/exercicios-sobre-o-teorema-de-pitagoras\/\" target=\"_blank\">teorema de Pit\u00e1goras<\/a><strong> para definir uma f\u00f3rmula gen\u00e9rica.&nbsp;<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>Tudo isso foi representado<strong> na imagem acima!<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>Observe que <strong>fizemos \u201cxb &#8211; xa\u201d para achar a medida do cateto<\/strong> (lado) do tri\u00e2ngulo que \u00e9 paralelo ao eixo x. O mesmo foi feito com a opera\u00e7\u00e3o \u201cyb &#8211; yb\u201d para achar a medida do cateto paralelo ao eixo y.&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>Com essas medidas podemos aplicar o teorema e encontrar a hipotenusa!<\/p>\n\n\n\n<ul>\n<li><strong>Exemplo<\/strong><\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p>Calcule a dist\u00e2ncia entre os pontos A (0, 0) e B (4, 2).<\/p>\n\n\n\n<p>Resolu\u00e7\u00e3o:<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" width=\"600\" height=\"300\" src=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/resolu\u00e7\u00e3o-do-exerc\u00edcios-de-geoemtria-anal\u00edtica-dist\u00e2ncia-entre-dois-pontos.jpg\" alt=\"resolu\u00e7\u00e3o-do-exerc\u00edcios-de-geoemtria-anal\u00edtica-dist\u00e2ncia-entre-dois-pontos\" class=\"wp-image-19537\" srcset=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/resolu\u00e7\u00e3o-do-exerc\u00edcios-de-geoemtria-anal\u00edtica-dist\u00e2ncia-entre-dois-pontos.jpg 600w, https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/resolu\u00e7\u00e3o-do-exerc\u00edcios-de-geoemtria-anal\u00edtica-dist\u00e2ncia-entre-dois-pontos-300x150.jpg 300w, https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/resolu\u00e7\u00e3o-do-exerc\u00edcios-de-geoemtria-anal\u00edtica-dist\u00e2ncia-entre-dois-pontos-320x160.jpg 320w\" sizes=\"(max-width: 600px) 100vw, 600px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Coordenadas do ponto m\u00e9dio<\/h3>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" width=\"600\" height=\"300\" src=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/ponto-medio-na-geometria-analitica-mais-formula.jpg\" alt=\"ponto-medio-na-geometria-analitica-mais-formula\" class=\"wp-image-19538\" srcset=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/ponto-medio-na-geometria-analitica-mais-formula.jpg 600w, https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/ponto-medio-na-geometria-analitica-mais-formula-300x150.jpg 300w, https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/ponto-medio-na-geometria-analitica-mais-formula-320x160.jpg 320w\" sizes=\"(max-width: 600px) 100vw, 600px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p>Na geometria plana, o <strong>conceito de ponto m\u00e9dio<\/strong> (M) \u00e9 aquele que <strong>divide um segmento ao meio exato<\/strong>, ou seja, <strong>em duas partes iguais<\/strong>.&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>Na geometria anal\u00edtica, podemos <strong>calcular as coordenadas do ponto m\u00e9dio<\/strong> com a <strong>f\u00f3rmula na imagem acima<\/strong>!<\/p>\n\n\n\n<ul>\n<li><strong>Exemplo<\/strong><\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p>Determine o ponto m\u00e9dio do segmento AB, sabendo que A (2, 1) e B (6, 5).<\/p>\n\n\n\n<p>Resolu\u00e7\u00e3o:<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" width=\"600\" height=\"300\" src=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/resolu\u00e7ao-do-exercicios-do-calculo-do-ponto-medio.jpg\" alt=\"resolu\u00e7ao-do-exercicios-do-calculo-do-ponto-medio\" class=\"wp-image-19539\" srcset=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/resolu\u00e7ao-do-exercicios-do-calculo-do-ponto-medio.jpg 600w, https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/resolu\u00e7ao-do-exercicios-do-calculo-do-ponto-medio-300x150.jpg 300w, https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/resolu\u00e7ao-do-exercicios-do-calculo-do-ponto-medio-320x160.jpg 320w\" sizes=\"(max-width: 600px) 100vw, 600px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Condi\u00e7\u00e3o de alinhamento de tr\u00eas pontos<\/h3>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" width=\"600\" height=\"300\" src=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/condi\u00e7ao-de-alinhamento-de-tres-pontos-e-determinante-nulo-1.jpg\" alt=\"condi\u00e7ao-de-alinhamento-de-tres-pontos-e-determinante-nulo-1\" class=\"wp-image-19577\" srcset=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/condi\u00e7ao-de-alinhamento-de-tres-pontos-e-determinante-nulo-1.jpg 600w, https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/condi\u00e7ao-de-alinhamento-de-tres-pontos-e-determinante-nulo-1-300x150.jpg 300w, https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/condi\u00e7ao-de-alinhamento-de-tres-pontos-e-determinante-nulo-1-320x160.jpg 320w\" sizes=\"(max-width: 600px) 100vw, 600px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p>Imagine que voc\u00ea precise <strong>saber se tr\u00eas pontos est\u00e3o alinhados<\/strong> (na mesma reta) ou n\u00e3o, <strong>sem ter um desenho do plano<\/strong> para ver&#8230;<\/p>\n\n\n\n<p>Pois \u00e9, <strong>\u00e9 poss\u00edvel saber <\/strong>com certeza <strong>por meio da \u00e1lgebra<\/strong> desde que <strong>tenhamos seus pares de coordenadas<\/strong>!<\/p>\n\n\n\n<p>Considere <strong>tr\u00eas pontos gen\u00e9ricos:<\/strong> A (xa, ya), B (xb, yb) e C (xc, yc). Dizemos que os <strong>pontos s\u00e3o colineares<\/strong> se o <a href=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/materias\/matematica\/determinante\/\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\" aria-label=\"determinante (abre numa nova aba)\">determinante<\/a><strong> entre eles for nulo (igual a zero)<\/strong>.&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p><strong>Lembre-se<\/strong>: determinante \u00e9 uma fun\u00e7\u00e3o que vem da matriz, sempre sinalizada pelos dois tra\u00e7os ao lado dela! Ele transforma aquela matriz, resumindo suas informa\u00e7\u00f5es em um \u00fanico n\u00famero final!<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"6\">Estudo da Reta<\/h2>\n\n\n\n<p>Segundo a geometria plana, a reta <strong>\u00e9 formada por infinitos pontos<\/strong> seguidos. Ela tem uma dimens\u00e3o, ou seja, <strong>\u00e9 uma \u201clinha\u201d com comprimento e sem largura<\/strong>.&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>Ela costuma ser <strong>representada por uma letra min\u00fascula<\/strong>.&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>\u00c9 importante definir que \u00e9 preciso no m\u00ednimo<strong> dois pontos para tra\u00e7ar uma reta. <\/strong>Assim, a reta \u00e9<strong> infinita, n\u00e3o tem come\u00e7o ou fim,<\/strong> embora n\u00f3s s\u00f3 representemos uma parte.<\/p>\n\n\n\n<p>Dizemos que h\u00e1 apenas uma reta que passa por dois pontos espec\u00edficos. Mas, por um ponto qualquer e sozinho, podem passar infinitas retas porque s\u00e3o v\u00e1rias as possibilidades de ele se agrupar com outro ponto!<\/p>\n\n\n\n<p>Agora, vamos <strong>ver como isso se relaciona com a \u00e1lgebra:<\/strong><\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Equa\u00e7\u00e3o geral da reta<\/h3>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" width=\"600\" height=\"300\" src=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/equa\u00e7\u00e3o-geral-da-reta-como-encontrar.jpg\" alt=\"equa\u00e7\u00e3o-geral-da-reta-como-encontrar\" class=\"wp-image-19541\" srcset=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/equa\u00e7\u00e3o-geral-da-reta-como-encontrar.jpg 600w, https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/equa\u00e7\u00e3o-geral-da-reta-como-encontrar-300x150.jpg 300w, https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/equa\u00e7\u00e3o-geral-da-reta-como-encontrar-320x160.jpg 320w\" sizes=\"(max-width: 600px) 100vw, 600px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p>A <strong>equa\u00e7\u00e3o geral das retas<\/strong> \u00e9 definida genericamente por:<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\">&nbsp;<strong>ax + by + c = 0<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>Isso significa que <strong>todas as equa\u00e7\u00f5es das retas seguem esse molde<\/strong>, s\u00f3 mudam os n\u00fameros que ir\u00e3o diferenciar a posi\u00e7\u00e3o dessas retas.<\/p>\n\n\n\n<p>Nesta f\u00f3rmula, os n\u00fameros dos pontos que a comp\u00f5em s\u00e3o colocados no lugar de \u201cx\u201d e \u201cy\u201d, referindo as coordenadas. \u201ca\u201d, \u201cb\u201d e \u201cc\u201d s\u00e3o coeficientes que determinam outras caracter\u00edsticas, como inclina\u00e7\u00e3o.<\/p>\n\n\n\n<p>Na realidade, n\u00f3s temos o costume de usar mais a f\u00f3rmula reduzida (aprenderemos em seguida). Ent\u00e3o, o importante aqui \u00e9 voc\u00ea <strong>saber como achar a equa\u00e7\u00e3o geral <\/strong>de uma reta <strong>a partir de pares ordenados!<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>Para determinarmos a equa\u00e7\u00e3o geral de uma reta, precisamos <strong>aplicar a <\/strong><a href=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/materias\/matematica\/determinante\/\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\" aria-label=\" (abre numa nova aba)\">regra de Sarrus<\/a><strong> no determinante dos pontos que estar\u00e3o alinhados para formar a reta.&nbsp;<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>Ela tamb\u00e9m envolve <a rel=\"noreferrer noopener\" aria-label=\"matrizes (abre numa nova aba)\" href=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/materias\/matematica\/matriz\/\" target=\"_blank\">matrizes<\/a> e <a href=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/materias\/matematica\/determinante\/\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\" aria-label=\"determinantes (abre numa nova aba)\">determinantes<\/a>, e <strong>precisamos de<\/strong> no m\u00ednimo <strong>dois pares ordenados que perten\u00e7am \u00e0 reta!<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p><strong>Na matriz, colocamos os pares ordenados<\/strong> que devem ser informados: (x1, y1) e (x2, y2) e um <strong>ponto gen\u00e9rico representado por (x, y)<\/strong>. Esse \u00faltimo \u00e9 o que comp\u00f5e a f\u00f3rmula gen\u00e9rica.<\/p>\n\n\n\n<p><strong>Observe que a 3\u00ba coluna da matriz \u00e9 completada com o algarismo 1<\/strong>, pois s\u00f3 conseguimos fazer contas com uma matriz quadrada, ou seja, sim\u00e9trica (3&#215;3).&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>Assim, completando a coluna faltante com o n\u00famero 1, n\u00e3o alteraremos o resultado e teremos como prosseguir <strong>calculando o determinante!<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>A regra de Sarrus nos indica<\/p>\n\n\n\n<ul>\n<li>1\u00ba passo: repetir a 1\u00ba e a 2\u00ba coluna da matriz.<\/li>\n\n\n\n<li>2\u00ba passo: somar os produtos dos termos da diagonal principal.<\/li>\n\n\n\n<li>3\u00ba passo: somar os produtos dos termos da diagonal secund\u00e1ria.<\/li>\n\n\n\n<li>4\u00ba passo: subtrair a soma total dos termos da diagonal principal dos termos da diagonal secund\u00e1ria.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<ul>\n<li><strong>Exemplo<\/strong><\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p>Encontre a equa\u00e7\u00e3o geral da reta que passa pelos pontos A(1, 2) e B(3,8):<\/p>\n\n\n\n<p>Ponto A: x1 = 1 e y1 = 2<\/p>\n\n\n\n<p>Ponto B: x2 = 3 e y2 = 8<\/p>\n\n\n\n<p>Ponto gen\u00e9rico C (x, y) <\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" width=\"600\" height=\"300\" src=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/resolu\u00e7ao-do-exemplo-de-como-encontrar-a-equa\u00e7ao-geral-da-reta.jpg\" alt=\"resolu\u00e7ao-do-exemplo-de-como-encontrar-a-equa\u00e7ao-geral-da-reta\" class=\"wp-image-19542\" srcset=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/resolu\u00e7ao-do-exemplo-de-como-encontrar-a-equa\u00e7ao-geral-da-reta.jpg 600w, https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/resolu\u00e7ao-do-exemplo-de-como-encontrar-a-equa\u00e7ao-geral-da-reta-300x150.jpg 300w, https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/resolu\u00e7ao-do-exemplo-de-como-encontrar-a-equa\u00e7ao-geral-da-reta-320x160.jpg 320w\" sizes=\"(max-width: 600px) 100vw, 600px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p>Portanto, os pontos A(1, 2) e B(3,8) pertencem a seguinte equa\u00e7\u00e3o geral da reta: \u20136x + 2y + 2 = 0.<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Equa\u00e7\u00e3o reduzida da reta<\/h3>\n\n\n\n<p>A <strong>equa\u00e7\u00e3o reduzida da reta <\/strong>\u00e9 dada por:<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\"><strong>y = mx + n<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>A essa altura, voc\u00ea deve ter notado a influ\u00eancia dessa f\u00f3rmula na composi\u00e7\u00e3o da nossa famosa \u201cf(x) = ax + b\u201d, n\u00e3o \u00e9?<\/p>\n\n\n\n<p>Realmente, a <a href=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/materias\/matematica\/funcao-de-1-grau\/\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\" aria-label=\" (abre numa nova aba)\">fun\u00e7\u00e3o de primeira grau<\/a> possui um gr\u00e1fico cujo desenho \u00e9 uma reta! Ent\u00e3o, leia esse artigo antes de continuar, porque usaremos alguns conceitos adiante (<strong>m \u00e9 o coeficiente angular <\/strong>e <strong>n \u00e9 o coeficiente linear<\/strong>)!<\/p>\n\n\n\n<p><strong>Para encontrar a equa\u00e7\u00e3o reduzida de uma reta<\/strong>, \u00e9 necess\u00e1rio <strong>descobrir os valores do coeficientes<\/strong> e montar a equa\u00e7\u00e3o final!&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>H\u00e1 ainda a possibilidade de encontrar o valor do coeficiente angular e conhecer um ponto. S\u00f3 \u00e9 preciso duas informa\u00e7\u00f5es para encontrar o resto!<\/p>\n\n\n\n<p>O <strong>coeficiente linear (n ou b)<\/strong> \u00e9 simples: basta saber que ele \u00e9 o valor da ordenada (y) quando x = 0. Isso significa que n <strong>\u00e9 onde a reta corta o eixo y,<\/strong> o ponto (0,n).<\/p>\n\n\n\n<p><strong>Para calcular o coeficiente angular (m ou a)<\/strong>da reta, existem <strong>duas possibilidades:<\/strong>&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<ul>\n<li>Saber que ele \u00e9 igual \u00e0 <a href=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/materias\/matematica\/o-que-e-seno-cosseno-e-tangente\/\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\" aria-label=\" (abre numa nova aba)\">tangente<\/a> do \u00e2ngulo \u03b1:<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\"><strong>m = tg \u03b1&nbsp;<\/strong><\/p>\n\n\n\n<ul>\n<li>Usar a <strong>f\u00f3rmula <\/strong>quando se tem <strong>dois pontos coordenados<\/strong> da reta:<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p>Seja A(x1,y1) e B (x2,y2), ent\u00e3o o coeficiente angular pode ser calculado por:<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\"><strong>m = y2 &#8211; y1 \/ x2 = x1<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>Para tomar a decis\u00e3o sobre qual m\u00e9todo utilizar para calcular o coeficiente angular da reta, primeiro \u00e9 necess\u00e1rio analisar quais s\u00e3o as informa\u00e7\u00f5es que temos.<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Intersec\u00e7\u00e3o entre retas<\/h3>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" width=\"600\" height=\"300\" src=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/intersec\u00e7\u00e3o-entre-retas-transversais-e-paralelas-e-seus-angulos.jpg\" alt=\"intersec\u00e7\u00e3o-entre-retas-transversais-e-paralelas-e-seus-angulos\" class=\"wp-image-19543\" srcset=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/intersec\u00e7\u00e3o-entre-retas-transversais-e-paralelas-e-seus-angulos.jpg 600w, https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/intersec\u00e7\u00e3o-entre-retas-transversais-e-paralelas-e-seus-angulos-300x150.jpg 300w, https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/intersec\u00e7\u00e3o-entre-retas-transversais-e-paralelas-e-seus-angulos-320x160.jpg 320w\" sizes=\"(max-width: 600px) 100vw, 600px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p>Chegamos \u00e0 uma parte mais te\u00f3rica da mat\u00e9ria, sem f\u00f3rmulas!&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>Imagine que temos retas que se interceptam de forma <a href=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/materias\/matematica\/teorema-de-tales\/\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\" aria-label=\" (abre numa nova aba)\">transversal<\/a> ou <a rel=\"noreferrer noopener\" aria-label=\" (abre numa nova aba)\" href=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/materias\/matematica\/o-que-sao-retas-perpendiculares\/\" target=\"_blank\">perpendicular<\/a>.<\/p>\n\n\n\n<p>\u00c9 importante notar que <strong>todos os \u00e2ngulo<\/strong>s formados <strong>por um cruzamento perpendicular s\u00e3o de 90\u00b0.&nbsp;<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>Contudo, no caso de <strong>retas paralelas e transversais<\/strong>, temos <strong>diferentes \u00e2ngulos <\/strong>como <strong>esquematizado na imagem acima!<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>Observe que as retas r e s s\u00e3o paralelas (r\/\/s), n\u00e3o possuem ponto em comum. A reta t \u00e9 transversal \u00e0s retas r e s, formando quatro \u00e2ngulos com a reta s e quatro \u00e2ngulos com a reta t.<\/p>\n\n\n\n<p>Esses 8 \u00e2ngulos recebem <strong>nomes de acordo com a posi\u00e7\u00e3o:<\/strong><\/p>\n\n\n\n<ul>\n<li><strong>\u00c2ngulos correspondentes:<\/strong> a, b, c, d, e, f, g, h.&nbsp;<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p>Isso significa que cada um tem um par <a href=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/materias\/matematica\/o-que-sao-angulos-congruentes\/\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\" aria-label=\" (abre numa nova aba)\">congruente <\/a>(mesmo valor), porque ocupa uma mesma posi\u00e7\u00e3o relativa, an\u00e1loga: a = e, b = f, c = g, d = h<\/p>\n\n\n\n<ul>\n<li><strong>\u00c2ngulos colaterais externos:<\/strong> a, b, h, g.&nbsp;<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p>Isso significa que est\u00e3o do mesmo lado em rela\u00e7\u00e3o a reta t e externos \u00e0s retas paralelas (mais distantes, nas extremidades). Eles acabam sendo suplementares: a + h = 180\u00ba e b + g = 180\u00ba<\/p>\n\n\n\n<ul>\n<li><strong>\u00c2ngulos alternos externos:<\/strong> a, b, g, h.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p>Isso significa que est\u00e3o em lados opostos da reta t, mas externos em rela\u00e7\u00e3o \u00e0s retas paralelas: a e g, b e h.<\/p>\n\n\n\n<ul>\n<li><strong>\u00c2ngulos alternos internos: <\/strong>c, e,d,f.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p>Significa que est\u00e3o em lados opostos mas na regi\u00e3o de dentro formado entre as retas paralelas:c e e , d e f. Eles tamb\u00e9m s\u00e3o congruentes!<\/p>\n\n\n\n<ul>\n<li><strong>\u00c2ngulos colaterais internos:<\/strong> c,f,d,e.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p>S\u00e3o aqueles que est\u00e3o no mesmo lado em rela\u00e7\u00e3o \u00e0 reta t e na \u00e1rea interna das retas paralelas: c e f, d e e. Eles s\u00e3o suplementares!<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Dist\u00e2ncia entre ponto e reta<\/h3>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" width=\"600\" height=\"300\" src=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/dist\u00e2ncia-entre-ponto-e-reta-formula-da-geometria-analitica.jpg\" alt=\"dist\u00e2ncia-entre-ponto-e-reta-formula-da-geometria-analitica\" class=\"wp-image-19544\" srcset=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/dist\u00e2ncia-entre-ponto-e-reta-formula-da-geometria-analitica.jpg 600w, https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/dist\u00e2ncia-entre-ponto-e-reta-formula-da-geometria-analitica-300x150.jpg 300w, https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/dist\u00e2ncia-entre-ponto-e-reta-formula-da-geometria-analitica-320x160.jpg 320w\" sizes=\"(max-width: 600px) 100vw, 600px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p>Pode acontecer de voc\u00ea se deparar com um ponto aleat\u00f3rio no meio do plano, que n\u00e3o passa por sua reta.&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>Neste caso voc\u00ea precisar\u00e1 calcular a <strong>dist\u00e2ncia entre esses elementos<\/strong>. A dist\u00e2ncia<strong> <\/strong>entre um ponto e uma reta <strong>\u00e9 representada por um segmento<\/strong> que une eles, formando um <strong>\u00e2ngulo reto (90\u00b0) no encontro<\/strong>.&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>Antes de iniciar os c\u00e1lculos, <strong>precisamos ter a equa\u00e7\u00e3o geral da reta<\/strong> (ax + by + c = 0) e a <strong>coordenada do ponto <\/strong>(x0,y0)<strong>. <\/strong>\u00c9 por meio desses dois elementos que os matem\u00e1ticos criaram a <strong>f\u00f3rmula <\/strong>que nos dar\u00e1 a dist\u00e2ncia:<\/p>\n\n\n\n<ul>\n<li><strong>Exemplo<\/strong><\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p>Dado o ponto A(3, -6), estabele\u00e7a a dist\u00e2ncia entre o ponto e a reta r: 4x + 6y + 2 = 0.<\/p>\n\n\n\n<p>Resolu\u00e7\u00e3o:<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" width=\"600\" height=\"300\" src=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/resolu\u00e7ao-da-distancia-entre-ponto-e-reta.jpg\" alt=\"resolu\u00e7ao-da-distancia-entre-ponto-e-reta\" class=\"wp-image-19546\" srcset=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/resolu\u00e7ao-da-distancia-entre-ponto-e-reta.jpg 600w, https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/resolu\u00e7ao-da-distancia-entre-ponto-e-reta-300x150.jpg 300w, https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/resolu\u00e7ao-da-distancia-entre-ponto-e-reta-320x160.jpg 320w\" sizes=\"(max-width: 600px) 100vw, 600px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"7\">Estudo da Circunfer\u00eancia<\/h2>\n\n\n\n<p>Segundo a geometria plana, a circunfer\u00eancia <strong>\u00e9 uma linha <\/strong>(n\u00e3o reta)<strong> formada por todos os pontos <\/strong>que est\u00e3o <strong>a uma mesma dist\u00e2ncia<\/strong> de um <strong>ponto central<\/strong>. Essa dist\u00e2ncia \u00e9 chamada de <strong>raio (r).<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>Ent\u00e3o, a circunfer\u00eancia (C) \u00e9 o contorno que delimita o c\u00edrculo e o <strong>c\u00edrculo <\/strong>\u00e9 a regi\u00e3o que fica limitada pela circunfer\u00eancia.<\/p>\n\n\n\n<p>Agora, vamos <strong>ver como isso se relaciona com a \u00e1lgebra:<\/strong><\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Equa\u00e7\u00e3o reduzida da circunfer\u00eancia<\/h3>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" width=\"600\" height=\"300\" src=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/equa\u00e7ao-reduzida-da-circunferencia-e-imagem-no-plano-cartesiano.jpg\" alt=\"equa\u00e7ao-reduzida-da-circunferencia-e-imagem-no-plano-cartesiano\" class=\"wp-image-19547\" srcset=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/equa\u00e7ao-reduzida-da-circunferencia-e-imagem-no-plano-cartesiano.jpg 600w, https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/equa\u00e7ao-reduzida-da-circunferencia-e-imagem-no-plano-cartesiano-300x150.jpg 300w, https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/equa\u00e7ao-reduzida-da-circunferencia-e-imagem-no-plano-cartesiano-320x160.jpg 320w\" sizes=\"(max-width: 600px) 100vw, 600px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p>Assim como para as reta, \u00e9 poss\u00edvel determinar a <strong>equa\u00e7\u00e3o de uma circunfer\u00eancia<\/strong>. Para isso, \u00e9 necess\u00e1rio <strong>conhecer as coordenadas do seu centro<\/strong> e a <strong>medida do seu raio<\/strong>!<\/p>\n\n\n\n<p>Essa equa\u00e7\u00e3o \u00e9 t\u00e3o importante que tem muita aplica\u00e7\u00e3o no nosso dia a dia. Exemplo disso \u00e9 o funcionamento dos radares a\u00e9reos, marinhos e terrestres!<\/p>\n\n\n\n<p>Na realidade, existe mais de uma forma alg\u00e9brica de representarmos uma circunfer\u00eancia. Mas, a que voc\u00ea precisa saber \u00e9 a <strong>equa\u00e7\u00e3o reduzida<\/strong> <strong>indicada na imagem acima.<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>Para <strong>conferirmos se realmente se trata de uma circunfer\u00eancia<\/strong>, \u00e9 preciso que a <strong>dist\u00e2ncia entre o centro e um ponto qualquer da superf\u00edcie seja exatamente o valor do raio<\/strong>. Ou seja:<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\"><strong>dPC = r<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>Assim, basta pegar a <strong>f\u00f3rmula da dist\u00e2ncia entre dois pontos e igualar com o raio<\/strong>. Desenvolvendo o c\u00e1lculo, chegamos a <strong>f\u00f3rmula reduzida<\/strong> da circunfer\u00eancia <strong>apresentada na imagem acima!<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p><strong>Aten\u00e7\u00e3o: <\/strong>Note que se nos for dada uma f\u00f3rmula nesse estilo, j\u00e1 batemos o olho e identificamos a posi\u00e7\u00e3o do centro e at\u00e9 o valor do raio.&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>Basta notar que <strong>os sinais<\/strong> anteriores aos pontos s\u00e3o negativos, portanto <strong>o ponto ser\u00e1 o inverso<\/strong>. O valor que representa o raio est\u00e1 <a rel=\"noreferrer noopener\" aria-label=\" (abre numa nova aba)\" href=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/materias\/matematica\/potenciacao\/\" target=\"_blank\">elevado ao quadrado<\/a>, portanto basta <a href=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/materias\/matematica\/radiciacao\/\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\" aria-label=\" (abre numa nova aba)\">tirar a raiz<\/a> do n\u00famero.<\/p>\n\n\n\n<ul>\n<li>Exemplo:<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p>A equa\u00e7\u00e3o (x <strong>\u2013 3<\/strong>)2 + (y <strong>\u2013 4<\/strong>)2 = <strong>169<\/strong> representa uma circunfer\u00eancia de centro C (<strong>3, 4<\/strong>) e raio r2 = 169, ou seja, <strong>r = 13<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n<p>A equa\u00e7\u00e3o x2 + y2 = 4 representa uma circunfer\u00eancia centrada na origem do sistema (0,0) e <strong>raio 2<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Posi\u00e7\u00f5es relativas entre ponto e circunfer\u00eancia<\/h3>\n\n\n\n<p>Quando <strong>comparamos as posi\u00e7\u00f5es que um ponto tem em rela\u00e7\u00e3o ao raio<\/strong>, podemos ter <strong>3 diferentes fen\u00f4menos<\/strong> acontecendo. Veja:<\/p>\n\n\n\n<ul>\n<li><strong>Ponto interno \u00e0 circunfer\u00eancia: <\/strong>a dist\u00e2ncia do ponto P at\u00e9 o centro \u00e9 menor do que o raio da circunfer\u00eancia.&nbsp;<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<ul>\n<li><strong>Ponto externo \u00e0 circunfer\u00eancia: <\/strong>a dist\u00e2ncia do ponto P at\u00e9 o centro \u00e9 maior do que o raio.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<ul>\n<li><strong>Ponto pertence \u00e0 circunfer\u00eancia:<\/strong> a dist\u00e2ncia do ponto P ao centro \u00e9 igual ao raio.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p>Para identificarmos se a dist\u00e2ncia do ponto \u00e9 maior ou menor que raio, precisamos <strong>usar a f\u00f3rmula da dist\u00e2ncia entre dois pontos<\/strong>, vista nos t\u00f3picos anteriores.<\/p>\n\n\n\n<ul>\n<li><strong>Exemplo:<\/strong><\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p>Analise as posi\u00e7\u00f5es relativas entre os pontos A(-2,2). B (-4,1), D(1,1), E(-4,-1) e a circunfer\u00eancia c: (x+1)2 + (y+1)2 = 9.<\/p>\n\n\n\n<p>Resolu\u00e7\u00e3o:<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" width=\"600\" height=\"300\" src=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/geometria-analittica-rela\u00e7ao-entre-ponto-e-circunferencia-formula-e-resolu\u00e7ao.jpg\" alt=\"geometria-analittica-rela\u00e7ao-entre-ponto-e-circunferencia-formula-e-resolu\u00e7ao\" class=\"wp-image-19548\" srcset=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/geometria-analittica-rela\u00e7ao-entre-ponto-e-circunferencia-formula-e-resolu\u00e7ao.jpg 600w, https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/geometria-analittica-rela\u00e7ao-entre-ponto-e-circunferencia-formula-e-resolu\u00e7ao-300x150.jpg 300w, https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/geometria-analittica-rela\u00e7ao-entre-ponto-e-circunferencia-formula-e-resolu\u00e7ao-320x160.jpg 320w\" sizes=\"(max-width: 600px) 100vw, 600px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Posi\u00e7\u00f5es relativas entre reta e circunfer\u00eancia<\/h3>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" width=\"600\" height=\"300\" src=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/posi\u00e7ao-relativa-entre-reta-e-circunferencia.jpg\" alt=\"posi\u00e7ao-relativa-entre-reta-e-circunferencia-externa-tengente-secante\" class=\"wp-image-19549\" srcset=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/posi\u00e7ao-relativa-entre-reta-e-circunferencia.jpg 600w, https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/posi\u00e7ao-relativa-entre-reta-e-circunferencia-300x150.jpg 300w, https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/posi\u00e7ao-relativa-entre-reta-e-circunferencia-320x160.jpg 320w\" sizes=\"(max-width: 600px) 100vw, 600px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p>Quando <strong>comparamos uma reta com a circunfer\u00eancia<\/strong>, tamb\u00e9m h\u00e1 <strong>3 poss\u00edveis posi\u00e7\u00f5es<\/strong> que recebem nomes espec\u00edficos <strong>dependendo da intersec\u00e7\u00e3o<\/strong> que h\u00e1 entre elas:<\/p>\n\n\n\n<ul>\n<li><strong>Reta externa \u00e0 circunfer\u00eancia: <\/strong>\u00e9 aquela reta que <strong>n\u00e3o possui nenhum ponto em comum<\/strong> com a circunfer\u00eancia. Assim, a dist\u00e2ncia do centro da circunfer\u00eancia at\u00e9 o ponto mais pr\u00f3ximo da reta s \u00e9 maior que o raio da circunfer\u00eancia: D &gt; r.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<ul>\n<li><strong>Reta tangente \u00e0 circunfer\u00eancia: <\/strong>\u00e9 aquela<strong> <\/strong>que<strong> possui 1 \u00fanico ponto de intersec\u00e7\u00e3o. <\/strong>Assim, a dist\u00e2ncia do centro O at\u00e9 o ponto mais pr\u00f3ximo da reta s possui a mesma medida do raio: D = r. Lembre-se que o segmento que liga o centro \u00e0 reta forma um \u00e2ngulo reto no encontro!<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<ul>\n<li><strong>Reta secante \u00e0 circunfer\u00eancia: <\/strong>\u00e9 aquela que <strong>possui 2 pontos de intersec\u00e7\u00e3o<\/strong>. Assim, a dist\u00e2ncia do centro da circunfer\u00eancia at\u00e9 o ponto mais pr\u00f3ximo da reta \u00e9 menor que o raio da circunfer\u00eancia: D &lt; r.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Posi\u00e7\u00f5es relativas entre duas circunfer\u00eancias<\/h3>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" width=\"600\" height=\"300\" src=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/posi\u00e7ao-relativa-entre-circunferencias-secantes-tangente-externas-e-internas-concentricas-1.jpg\" alt=\"posi\u00e7ao-relativa-entre-circunferencias-secantes-tangente-externas-e-internas-concentricas\" class=\"wp-image-19575\" srcset=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/posi\u00e7ao-relativa-entre-circunferencias-secantes-tangente-externas-e-internas-concentricas-1.jpg 600w, https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/posi\u00e7ao-relativa-entre-circunferencias-secantes-tangente-externas-e-internas-concentricas-1-300x150.jpg 300w, https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/posi\u00e7ao-relativa-entre-circunferencias-secantes-tangente-externas-e-internas-concentricas-1-320x160.jpg 320w\" sizes=\"(max-width: 600px) 100vw, 600px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p>Por fim, podemos dizer que, ao comparar duas circunfer\u00eancias, tamb\u00e9m h\u00e1 nomes pr\u00f3prios para as posi\u00e7\u00f5es que elas assumem!<\/p>\n\n\n\n<ul>\n<li><strong>N\u00e3o possuem pontos em comum<\/strong><\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p>Quando elas n\u00e3o possuem pontos em comum, podem estar dispostas <strong>uma dentro da outra ou completamente do lado de fora<\/strong>. (Observe a imagem acima)<\/p>\n\n\n\n<p>No primeiro caso, dizemos que s\u00e3o <strong>internas <\/strong>e a dist\u00e2ncia entre elas \u00e9 dada por <strong>D &lt; r1 \u2013 r2.<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>No segundo caso, dizemos que s\u00e3o <strong>externas <\/strong>e a rela\u00e7\u00e3o \u00e9 dada por <strong>D &gt; r1 + r2.<\/strong><\/p>\n\n\n\n<ul>\n<li><strong>Possuem 1 ponto em comum (Tangentes)<\/strong><\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p>Quando elas possuem 1 ponto de intersec\u00e7\u00e3o, tamb\u00e9m podem estar dispostas <strong>uma dentro da outra ou do lado de fora<\/strong>. (Observe a imagem acima)<\/p>\n\n\n\n<p>No primeiro caso, dizemos que s\u00e3o <strong>tangentes<\/strong> <strong>internas <\/strong>e a dist\u00e2ncia entre elas \u00e9 dada por <strong>D = r1 \u2013 r2.<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>No segundo caso, dizemos que s\u00e3o <strong>tangentes externas <\/strong>e a rela\u00e7\u00e3o \u00e9 dada por <strong>D = r1 + r2.<\/strong><\/p>\n\n\n\n<ul>\n<li><strong>Possuem 2 pontos em comum (Secantes)<\/strong><\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p>Quando elas possuem 2 pontos de intersec\u00e7\u00e3o, s\u00f3 podem estar <strong>dispostas de uma forma<\/strong>. (Observe a imagem acima)<\/p>\n\n\n\n<p>A rela\u00e7\u00e3o de serem <strong>secantes <\/strong>\u00e9 representada por <strong>r1 \u2013 r2 &lt; D &lt; r1 + r2.<\/strong><\/p>\n\n\n\n<ul>\n<li><strong>O que s\u00e3o Circunfer\u00eancias conc\u00eantricas?<\/strong><\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p>Chamamos de circunfer\u00eancias conc\u00eantricas aquelas que t\u00eam <strong>o centro ocupando o mesmo ponto<\/strong>, <strong>independente do tamanho de seus raios<\/strong>. Nesse caso, a <strong>dist\u00e2ncia entre os centos \u00e9 nula: <\/strong>D = 0.<\/p>\n\n\n\n<p>Gostou do nosso artigo sobre Geometria Anal\u00edtica? Confira <strong>outros artigos <\/strong>do nosso blog e <strong>se prepare para o Enem<\/strong> da melhor maneira! Voc\u00ea tamb\u00e9m pode se organizar com o nosso <a aria-label=\" (abre numa nova aba)\" href=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/dicas\/enem-dicas\/plano-de-estudos-gratuito\/\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">plano de estudos<\/a>, o mais completo da internet.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Apesar de intimidar alguns, com explica\u00e7\u00f5es simples voc\u00ea \u00e9 capaz de aprender Geometria Anal\u00edtica! Ela \u00e9 a \u00e1rea que representa as figuras planas por meio de equa\u00e7\u00f5es, ent\u00e3o aprendemos a calcular dist\u00e2ncia entre pontos, circunfer\u00eancias e retas. Conhe\u00e7a as f\u00f3rmulas e veja os exemplos! Neste artigo sobre Geometria Anal\u00edtica, voc\u00ea encontrar\u00e1: O que estuda a [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":19535,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_mi_skip_tracking":false,"_monsterinsights_sitenote_active":false,"_monsterinsights_sitenote_note":"","_monsterinsights_sitenote_category":0},"categories":[487],"tags":[],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v20.10 - https:\/\/yoast.com\/wordpress\/plugins\/seo\/ -->\n<title>Entenda a Geometria Anal\u00edtica: conceitos e f\u00f3rmulas com exemplos!<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Geometria anal\u00edtica \u00e9 a matem\u00e1tica que estuda as figuras planas usando equa\u00e7\u00f5es. 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