- \n
- Qual a defini\u00e7\u00e3o de ponto, reta e plano<\/li>\n\n\n\n
- Como podemos indic\u00e1-los<\/li>\n\n\n\n
- Quais s\u00e3os suas propriedades e caracter\u00edsticas (de cada um)<\/li>\n\n\n\n
- Diferen\u00e7a entre plano e espa\u00e7o<\/li>\n\n\n\n
- Outros assuntos matem\u00e1ticos que precisam dessa mat\u00e9ria<\/li>\n<\/ol>\n\n\n\n
- \n
- Estudando para as provas?<\/strong> Conhe\u00e7a O melhor Simulado do Brasil!<\/a> Ele pode ser personalizado com as mat\u00e9rias que voc\u00ea mais precisa!<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n
Qual a defini\u00e7\u00e3o de espa\u00e7o, ponto, reta e plano?<\/h2>\n\n\n\n
Ponto, reta, plano e espa\u00e7o s\u00e3o no\u00e7\u00f5es da Geometria que n\u00e3o possuem uma defini\u00e7\u00e3o sistem\u00e1tica<\/strong> (certinha). Podemos reconhec\u00ea-los por meio de suas caracter\u00edsticas<\/strong> e postulados, al\u00e9m de precisarmos deles para formar todos os outros conceitos geom\u00e9tricos.<\/p>\n\n\n\n
Esses elementos s\u00e3o a base da <\/strong>Geometria Plana<\/a>,<\/strong> ent\u00e3o s\u00e3o conhecidos como entes primitivos<\/strong> (as coisas que vieram primeiro).<\/p>\n\n\n\n
A Geometria Plana tamb\u00e9m pode ser chamada de Euclidiana, pois foi o matem\u00e1tico grego Euclides quem a descobriu. Desde a \u00e9poca, os matem\u00e1ticos notaram que n\u00e3o conseguimos definir de maneira formal esses elementos, pois os percebemos usando a nossa intui\u00e7\u00e3o<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n
Mesmo pela intui\u00e7\u00e3o, podemos confiar que esses elementos s\u00e3o verdadeiros porque, com base neles, formulamos outras defini\u00e7\u00f5es verdadeiras. Al\u00e9m disso, elas v\u00eam das caracter\u00edsticas ou das consequ\u00eancias dessas ideias. <\/p>\n\n\n\n
A isso damos o nome de postulados ou axiomas<\/strong>. S\u00e3o algumas verdades que sustentam todo o sistema geom\u00e9trico-matem\u00e1tico.<\/p>\n\n\n\n
Essa foi apenas uma introdu\u00e7\u00e3o, continue lendo esse artigo para entender as caracter\u00edsticas importantes de cada um deles!<\/strong><\/p>\n\n\n\n
Como devemos indicar um ponto, uma reta e um plano?<\/h3>\n\n\n
\n![\"como](\"https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/02\/como-representar-ponto-reta-e-plano-1.jpg\")
<\/figure><\/div>\n\n\nPara indicar, se referir ou representar um ponto, reta e plano; precisamos conhecer o s\u00edmbolo usado para cada um deles:<\/p>\n\n\n\n
- \n
- O ponto <\/strong>\u00e9 representado por qualquer letra mai\u00fascula<\/strong> do alfabeto latino (o normal, que usamos no dia a dia).<\/li>\n\n\n\n
- A reta <\/strong>\u00e9 indicada por qualquer letra min\u00fascula<\/strong> do alfabeto latino.<\/li>\n\n\n\n
- O plano <\/strong>\u00e9 referido por alguma letra min\u00fascula <\/strong>do alfabeto grego<\/strong>.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n
A seguir, vamos descrever os postulados de cada conceito <\/strong>(ponto, reta e plano) para voc\u00ea entender melhor o que s\u00e3o eles:<\/p>\n\n\n\n
O que \u00e9 o ponto? (caracter\u00edsticas)<\/h2>\n\n\n
\n![\"o-que-\u00e9-um-ponto\"](\"https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/01\/o-que-\u00e9-um-ponto.jpg\")
<\/figure><\/div>\n\n\nO ponto \u00e9 o \u00fanico ente geom\u00e9trico que realmente n\u00e3o pode ser definido. O que sabemos sobre ele s\u00e3o suas caracter\u00edsticas, ou seja, aquilo que podemos perceber e que os axiomas nos garantem:<\/p>\n\n\n\n
- \n
- \u00c9 a no\u00e7\u00e3o geom\u00e9trica mais primitiva<\/strong> de todas.<\/li>\n\n\n\n
- N\u00e3o possui dimens\u00e3o (adimensional)<\/strong> e nem formato.<\/li>\n\n\n\n
- Usamos para indicar localiza\u00e7\u00e3o<\/strong>, pois s\u00e3o mais precisos (se fosse um tri\u00e2ngulo, por exemplo, n\u00e3o saber\u00edamos em qual parte da figura o local indicado se encontra).<\/li>\n\n\n\n
- O ponto \u00e9 dito como algo que \u201cn\u00e3o tem partes<\/strong>\u201d. <\/li>\n\n\n\n
- Ele \u00e9 literalmente um pontinho, como o ponto final ou quando voc\u00ea faz um ponto com a caneta sobre uma folha.<\/li>\n\n\n\n
- \u00c9 representado por uma letra mai\u00fascula latina.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n
O que \u00e9 uma Reta? (Defini\u00e7\u00e3o)<\/h2>\n\n\n\n
![\"o](\"https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/02\/o-que-e-uma-reta-definicao.jpg\")
<\/figure>\n\n\n\nApesar de n\u00e3o existir uma defini\u00e7\u00e3o sistem\u00e1tica, podemos dizer que uma reta \u00e9 um conjunto de pontos alinhados<\/strong>, ou seja, n\u00e3o fazem curvas<\/strong>. Outras caracter\u00edsticas que nos ajudam a identific\u00e1-la s\u00e3o:<\/p>\n\n\n\n
- \n
- \u00c9 preciso, no m\u00ednimo, dois pontos para se tra\u00e7ar uma reta.<\/li>\n\n\n\n
- Elas s\u00e3o infinitas <\/strong>nas duas dire\u00e7\u00f5es (nas duas pontas), porque os pontos s\u00e3o infinitos e espalhados \u201cpor a\u00ed\u201d.<\/li>\n\n\n\n
- Uma reta n\u00e3o tem origem ou extremidade<\/strong>.<\/li>\n\n\n\n
- N\u00e3o conseguimos determinar o seu comprimento (\u00e9 ilimitada).<\/li>\n\n\n\n
- Os pontos que a comp\u00f5e n\u00e3o s\u00e3o coincidentes, ou seja, n\u00e3o est\u00e3o em um mesmo lugar (uns sobre os outros).<\/li>\n\n\n\n
- Por isso, \u00e9 poss\u00edvel medir a dist\u00e2ncia <\/strong>entre os pontos ou medir uma parte da reta.<\/li>\n\n\n\n
- A reta possui apenas uma dimens\u00e3o (unidimensional<\/strong>), porque os pontos s\u00e3o adimensionais, ent\u00e3o n\u00e3o podemos medir sua altura ou largura. S\u00f3 podemos medir o seu comprimento (dist\u00e2ncia).<\/li>\n\n\n\n
- Cada reta \u00e9 indicada por uma letra min\u00fascula latina.<\/li>\n\n\n\n
- Podemos dizer que \u00e9 uma \u201clinha\u201d reta, sem curva.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n
Quando paramos para analisar partes das retas<\/strong>, podemos falar sobre os segmentos de retas <\/strong>(tem in\u00edcio e fim bem definidos) ou as semirretas<\/strong> (tem in\u00edcio mas segue infinito ao longo da reta).<\/p>\n\n\n\n
Os segmentos s\u00e3o aqueles que comp\u00f5em os lados ou arestas das figuras geom\u00e9tricas e s\u00e3o indicados assim: AB. Isso significa que o segmento come\u00e7a no ponto A da reta e termina no ponto B.<\/p>\n\n\n\n
As retas podem aparecer em 3 posi\u00e7\u00f5es: horizontal, vertical ou inclinada<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n
Posi\u00e7\u00e3o relativa entre retas<\/h3>\n\n\n
\n![\"tipos](\"https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/02\/tipos-de-retas-posicao-relativa.jpg\")
<\/figure><\/div>\n\n\nQuando estamos analisando diferentes retas ao mesmo tempo, dependendo da forma que elas se cruzam, podemos dar nomes a esses fen\u00f4menos:<\/p>\n\n\n\n
- \n
- Retas paralelas:<\/strong> quando elas n\u00e3o possuem nenhum ponto em comum, est\u00e3o perfeitamente alinhadas lado a lado. O s\u00edmbolo usado para representar \u00e9: c \/\/ b , ou seja, a reta c \u00e9 paralela a b.<\/li>\n\n\n\n
- Retas concorrentes:<\/strong> quando as retas possuem um \u00fanico ponto em comum, ou seja, se cruzam em um \u00fanico lugar. Dependendo do \u00e2ngulo que formam quando se cruzam, ainda podem ser classificadas em perpendiculares<\/a> (formam \u00e2ngulo de 90\u00b0) ou transversais<\/a> (formam outros \u00e2ngulos).<\/li>\n\n\n\n
- Retas coincidentes:<\/strong> s\u00e3o retas que est\u00e3o sobrepostas, ou seja, possuem todos os pontos em comum. Nesse caso, elas s\u00e3o iguais.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n
O que \u00e9 o Plano?<\/h2>\n\n\n
\n![\"o](\"https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/02\/o-que-e-um-plano-conceito-e-exemplos-e-carcateristicas.jpg\")
<\/figure><\/div>\n\n\nDizemos que o plano \u00e9 um conjunto de retas alinhadas<\/strong>, coladinhas<\/strong> umas nas outras. Pela consequ\u00eancia da defini\u00e7\u00e3o da reta, podemos dizer que o plano tamb\u00e9m \u00e9 um conjunto de pontos. <\/p>\n\n\n\n
A \u00e1rea formada por esse alinhamento de retas e pontos \u00e9 uma superf\u00edcie plan<\/strong>a, ent\u00e3o chamada de Plano. Outras caracter\u00edsticas s\u00e3o:<\/p>\n\n\n\n
- \n
- O plano \u00e9 uma superf\u00edcie reta, n\u00e3o faz curva.<\/li>\n\n\n\n
- O plano \u00e9 bidimensional<\/strong> (podemos medir sua altura e largura, como uma folha de papel).<\/li>\n\n\n\n
- \u00c9 poss\u00edvel desenhar figuras<\/strong> sobre o plano. <\/li>\n\n\n\n
- Um plano pode ser formado por 3 pontos n\u00e3o colineares<\/strong> (imagine um tri\u00e2ngulo, ele \u00e9 uma regi\u00e3o plana com 3 v\u00e9rtices).<\/li>\n\n\n\n
- Tamb\u00e9m pode ser formado por<\/strong> 1 reta mais um ponto fora dela<\/strong>.<\/li>\n\n\n\n
- \u00c9 representado por letras gregas min\u00fasculas, como \u03b1, \u03b2, etc.<\/li>\n\n\n\n
- Um plano pode ser formado por duas retas<\/strong> concorrentes ou paralelas<\/strong> distintas.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n
Alguns matem\u00e1ticos, como Descartes, fizeram o esquema de planos com elementos destacados. Estamos falando daquele que tem 2 retas em sentidos diferentes e alguns de seus pontos s\u00e3o representados por n\u00fameros. <\/p>\n\n\n\n
\u00c9 isso mesmo, estamos falando do Plano Cartesiano!<\/a> \u00c9 essencial saber seus elementos e como us\u00e1-lo, n\u00e3o deixe de ler o artigo!<\/p>\n\n\n\n
Outros postulados importantes que envolvem ponto, reta e plano<\/h2>\n\n\n
\n![\"postulados](\"https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/02\/postulados-da-geometria-euclidiana-que-envolem-os-conceitos-de-ponto-reta-e-plano.jpg\")
<\/figure><\/div>\n\n\nAgora que voc\u00ea j\u00e1 entendeu o que caracteriza cada um, podemos relacion\u00e1-los uns com os outros. J\u00e1 falamos de postulados ao longo do texto at\u00e9 aqui, mas vamos acrescentar mais alguns que s\u00e3o importantes de gravar, pois te ajudam na hora de resolver exerc\u00edcios:<\/p>\n\n\n\n
\n
\u201cPor um \u00fanico ponto no espa\u00e7o, passam infinitas retas.\u201d <\/p>\n<\/blockquote>\n\n\n\n
Isso significa que uma reta \u00e9 formada por pontos n\u00e3o exclusivos. Ou seja, eu posso ter uma reta r que passa pelos pontos A e B, mas tamb\u00e9m ter uma reta s que passa pelos pontos A e C.<\/p>\n\n\n\n
\n
\u201cTodo ponto que pertence a uma reta divide-a em duas semirretas, das quais o ponto \u00e9 a origem.\u201d<\/p>\n<\/blockquote>\n\n\n\n
Esse postulado \u00e9 explicado quando lembramos do conceito de semirreta (come\u00e7a em um ponto definido e n\u00e3o tem fim, percorrendo o restante da reta).<\/p>\n\n\n\n
\n
\u201cExistem infinitos pontos dentro e fora de uma reta.\u201d<\/p>\n<\/blockquote>\n\n\n\n
Quando analisamos toda a regi\u00e3o ao redor desses entes, vemos que podemos tomar quantos pontos quisermos dentro de uma reta e outros tantos ficar\u00e3o fora dela.<\/p>\n\n\n\n
Como consequ\u00eancia disso e seguindo o mesmo racioc\u00ednio, podemos definir outros dois postulados:<\/p>\n\n\n\n
\n
\u201cExistem infinitos pontos dentro e fora de um plano.\u201d e \u201cExistem infinitas retas dentro e fora de um plano\u201d.<\/p>\n<\/blockquote>\n\n\n\n
\n
\u201cSe dois pontos distintos de uma reta forem pontos de um plano, ent\u00e3o a reta tamb\u00e9m \u00e9 parte desse plano.\u201d<\/p>\n<\/blockquote>\n\n\n\n
Esse \u00e9 chamado de postulado da inclus\u00e3o. S\u00e3o aquelas afirma\u00e7\u00f5es l\u00f3gicas<\/a> que vamos deduzindo.<\/p>\n\n\n\n
- \n
- Posi\u00e7\u00e3o relativa entre retas e pontos<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n
Quando estamos analisando os pontos ao redor de uma reta, podemos dar nomes a esses fen\u00f4menos dependendo da forma que se relacionam:<\/p>\n\n\n\n
\u2192 Pontos pertencentes:<\/strong> o ponto est\u00e1 localizado sobre a reta ou \u00e9 um dos que formam a reta.<\/p>\n\n\n\n
\u2192 Pontos que n\u00e3o pertencem:<\/strong> est\u00e3o ao redor da reta, mas a reta n\u00e3o passa por eles.<\/p>\n\n\n\n
\u00c9 na Geometria Anal\u00edtica<\/a> que aprendemos a fazer os c\u00e1lculos que medem essas dist\u00e2ncias!<\/p>\n\n\n\n
Quais os s\u00edmbolos que indicam pertencimento e conten\u00e7\u00e3o?<\/h3>\n\n\n
\n![\"simbolos](\"https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/02\/simbolos-e-significados-matematicoo-pertence-nao-pertence-contem-nao-contem-esta-contido-nao-esta-contido.jpg\")
<\/figure><\/div>\n\n\n- \n
- Quando queremos dizer que um ponto pertence <\/strong>a uma reta ou uma reta pertence a um plano, usamos o s\u00edmbolo \u2208. Se for para afirmar que algo n\u00e3o pertence, usamos o \u2209<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n
Exemplo: \u201cO ponto K pertence \u00e0 reta s\u201d seria indicado como \u201cK \u2208 s\u201d.<\/p>\n\n\n\n
- \n
- Se queremos dizer que um ponto\/reta est\u00e1 contido<\/strong> em um plano, o s\u00edmbolo usado \u00e9 o \u2282. Quando n\u00e3o est\u00e1 contido, usamos o \u2284.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n
Exemplo: \u201cA reta r est\u00e1 contida no plano \u03b2\u201d seria indicado como \u201cr \u2282 \u03b2\u201d.<\/p>\n\n\n\n
- \n
- Para dizer que um plano cont\u00e9m <\/strong>uma reta\/ponto, o s\u00edmbolo usado \u00e9 o \u2283. Quando n\u00e3o cont\u00e9m, usamos o \u2285.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n
Exemplo: \u201cO plano \u03b1 n\u00e3o cont\u00e9m o ponto L\u201d seria indicado como \u201c\u03b1 \u2285 L\u201d.<\/p>\n\n\n\n
Voc\u00ea \u00e9 uma daquelas pessoas que tem fome de conhecimento? <\/strong>Ent\u00e3o siga o Beduka no Instagram<\/a> para conte\u00fados di\u00e1rios!<\/p>\n\n\n\n
Qual a diferen\u00e7a entre Plano e Espa\u00e7o?<\/h2>\n\n\n
\n![\"qual](\"https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/02\/qual-a-diferenca-entre-espaco-e-plano.jpg\")
<\/figure><\/div>\n\n\nChegamos ao nosso \u00faltimo conceito! Muitos estudantes confundem plano e espa\u00e7o, mas a diferen\u00e7a \u00e9 at\u00e9 simples: o espa\u00e7o \u00e9 o local geral, que engloba tudo o que conhecemos<\/strong> e todos os tipos de Geometria que estudamos at\u00e9 o Ensino M\u00e9dio.<\/p>\n\n\n\n
Assim como a reta \u00e9 o alinhamento de pontos e o plano \u00e9 o alinhamento de retas, dizemos que o espa\u00e7o \u00e9 formado pelo alinhamento de planos!<\/strong><\/p>\n\n\n\n
Sim, como voc\u00ea deve suspeitar, ele \u00e9 infinito para todas as dire\u00e7\u00f5es e cont\u00e9m todas as figuras geom\u00e9tricas planas e formas tridimensionais (s\u00f3lidos da Geometria Espacial<\/a>).<\/p>\n\n\n\n
- Para dizer que um plano cont\u00e9m <\/strong>uma reta\/ponto, o s\u00edmbolo usado \u00e9 o \u2283. Quando n\u00e3o cont\u00e9m, usamos o \u2285.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n
- Se queremos dizer que um ponto\/reta est\u00e1 contido<\/strong> em um plano, o s\u00edmbolo usado \u00e9 o \u2282. Quando n\u00e3o est\u00e1 contido, usamos o \u2284.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n
- Quando queremos dizer que um ponto pertence <\/strong>a uma reta ou uma reta pertence a um plano, usamos o s\u00edmbolo \u2208. Se for para afirmar que algo n\u00e3o pertence, usamos o \u2209<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n
- \u00c9 poss\u00edvel desenhar figuras<\/strong> sobre o plano. <\/li>\n\n\n\n
- Retas concorrentes:<\/strong> quando as retas possuem um \u00fanico ponto em comum, ou seja, se cruzam em um \u00fanico lugar. Dependendo do \u00e2ngulo que formam quando se cruzam, ainda podem ser classificadas em perpendiculares<\/a> (formam \u00e2ngulo de 90\u00b0) ou transversais<\/a> (formam outros \u00e2ngulos).<\/li>\n\n\n\n
- Uma reta n\u00e3o tem origem ou extremidade<\/strong>.<\/li>\n\n\n\n
- N\u00e3o possui dimens\u00e3o (adimensional)<\/strong> e nem formato.<\/li>\n\n\n\n
- A reta <\/strong>\u00e9 indicada por qualquer letra min\u00fascula<\/strong> do alfabeto latino.<\/li>\n\n\n\n
- O ponto <\/strong>\u00e9 representado por qualquer letra mai\u00fascula<\/strong> do alfabeto latino (o normal, que usamos no dia a dia).<\/li>\n\n\n\n
- Estudando para as provas?<\/strong> Conhe\u00e7a O melhor Simulado do Brasil!<\/a> Ele pode ser personalizado com as mat\u00e9rias que voc\u00ea mais precisa!<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n