{"id":20377,"date":"2021-03-15T13:47:14","date_gmt":"2021-03-15T16:47:14","guid":{"rendered":"https:\/\/beduka.com\/blog\/?p=20377"},"modified":"2022-06-02T14:47:02","modified_gmt":"2022-06-02T17:47:02","slug":"arranjo","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/beduka.com\/blog\/materias\/matematica\/arranjo\/","title":{"rendered":"O que \u00e9 Arranjo: Tipos, suas f\u00f3rmulas e exemplos!"},"content":{"rendered":"\n<p><strong><em>O Arranjo (A n,p) \u00e9 um tipo de agrupamento da an\u00e1lise combinat\u00f3ria formado por \u201cp\u201d elementos de um conjunto inicial \u201cn\u201d. Nesse caso, a ordem das combina\u00e7\u00f5es importa porque pode gerar resultados diferentes. H\u00e1 3 tipos de Arranjos, mas todos eles levam em conta a ordem e a natureza dos agrupamentos.<\/em><\/strong><\/p>\n\n\n\n<p><strong>Ficou confuso?&nbsp;<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>Calma, n\u00f3s vamos te explicar desde o in\u00edcio! Neste texto sobre Arranjo, voc\u00ea encontrar\u00e1 os t\u00f3picos abaixo, suas explica\u00e7\u00f5es detalhadas e exemplos.<strong> Clique em um deles para ir diretamente ao conte\u00fado:<\/strong><\/p>\n\n\n\n<ol><li><a href=\"#1\">Introdu\u00e7\u00e3o \u00e0 An\u00e1lise Combinat\u00f3ria<\/a>.<\/li><li><a href=\"#2\">O que \u00e9 Arranjo?<\/a><\/li><li><a href=\"#3\">Caracter\u00edsticas dos Arranjos.<\/a><\/li><li><a href=\"#4\">S\u00edmbolo dos Arranjos.<\/a><\/li><li><a href=\"#5\">F\u00f3rmulas do Arranjo Simples e Repeti\u00e7\u00e3o.<\/a><\/li><li><a href=\"#6\">Tipos de Arranjo e quando us\u00e1-los.<\/a><\/li><li><a href=\"#7\">Arranjo Simples + Exemplo de quest\u00e3o resolvida<\/a>.<\/li><li><a href=\"#8\">Arranjo com Repeti\u00e7\u00e3o + Exemplo de quest\u00e3o resolvida.<\/a><\/li><li><a href=\"#9\">Arranjo Condicional + Exemplo de quest\u00e3o resolvida.<\/a><\/li><li><a href=\"#10\">Diferen\u00e7a entre Permuta\u00e7\u00e3o, Arranjo e Combina\u00e7\u00e3o<\/a><\/li><\/ol>\n\n\n\n<ul><li><strong>Estudando para as provas?<\/strong> Conhe\u00e7a <a href=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/dicas\/enem-dicas\/simulados-para-enem-online-e-gratuito\/\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">O melhor Simulado do Brasil!<\/a> Ele pode ser personalizado com as mat\u00e9rias que voc\u00ea mais precisa!<\/li><\/ul>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"1\">Introdu\u00e7\u00e3o \u00e0 An\u00e1lise Combinat\u00f3ria<\/h2>\n\n\n\n<p>A <a href=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/materias\/matematica\/resumo-de-analise-combinatoria\/\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">An\u00e1lise Combinat\u00f3ria<\/a> \u00e9 a \u00e1rea da Matem\u00e1tica que estuda as formas de resolver problemas com <strong>contagem de elementos ou possibilidades<\/strong> de algo ocorrer. Ela vai nos dizer quais as <strong>t\u00e9cnicas e m\u00e9todos para cada tipo de situa\u00e7\u00e3o.<\/strong>&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>O Princ\u00edpio Fundamental da Contagem <a href=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/materias\/matematica\/principio-fundamental-da-contagem\/\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">(PFC) e o Fatorial <\/a>s\u00e3o contas que aprendemos a fazer desde o Ensino Fundamental, pois eles s\u00e3o a base da an\u00e1lise combinat\u00f3ria e seu racioc\u00ednio. <strong>N\u00e3o deixe de ler antes de continuar!<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>Em outras situa\u00e7\u00f5es, os c\u00e1lculos tendem a se tornar complexos. Para facilitar o desenvolvimento das ideias, n\u00f3s dividimos as t\u00e9cnicas de acordo com as situa\u00e7\u00f5es. Elas podem ser um caso de Permuta\u00e7\u00e3o, Arranjo ou <a href=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/materias\/matematica\/combinacao\/\" data-type=\"post\" data-id=\"20388\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">Combina\u00e7\u00e3o<\/a>.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"2\">O que \u00e9 Arranjo?<\/h2>\n\n\n\n<p>O Arranjo \u00e9 a <strong>quantidade de grupos <\/strong>que podemos<strong> fazer com \u201cp\u201d elementos <\/strong>retirados<strong> de um conjunto de \u201cn\u201d elementos<\/strong>.&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>Quando escolhemos alguns elementos de um conjunto, podemos organiz\u00e1-los de diferentes formas. Neste caso, a ordem com que organizamos e as <strong>trocas de suas posi\u00e7\u00f5es<\/strong> fazem com que tenhamos <strong>resultados diferentes.<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p><strong>Exemplo<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>Vamos tomar como base um <strong>conjunto \u201cn\u201d<\/strong> <strong>formado por 4 elementos<\/strong> (1, 2, 3 e 4). Se n\u00f3s queremos <strong>agrupar esses elementos de 3 em 3<\/strong>, teremos um <strong>arranjo p com 24 resultados:<\/strong>&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<blockquote class=\"wp-block-quote\"><p>123, 124, 132, 134, 142, 143, 213, 214, 231, 234, 241, 243, 312, 314, 321, 324, 341, 342, 412, 413, 421, 423, 431 e 432.&nbsp;<\/p><\/blockquote>\n\n\n\n<p>Cada um desses n\u00fameros \u00e9 um arranjo diferente dos 4 elementos do conjunto, em grupos de 3 elementos.&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"3\">Caracter\u00edsticas<\/h3>\n\n\n\n<p>Outra caracter\u00edstica importante \u00e9 notar que os Arranjos <strong>levam em conta a<\/strong> <strong>ordem e a natureza dos elementos. <\/strong>Vamos explicar:<\/p>\n\n\n\n<p>Olhando os n\u00fameros acima, voc\u00ea percebe que todos os arranjos t\u00eam os mesmos elementos (1, 2, 3 e 4), mas formam n\u00fameros diferentes. Isso acontece por causa da ordem em que est\u00e3o colocados, ou seja, a ordem importa.<\/p>\n\n\n\n<p>Voc\u00ea tamb\u00e9m \u00e9 capaz de perceber que, se estiv\u00e9ssemos arranjando os mesmos elementos desse conjunto em grupos de 2 em 2, n\u00f3s ter\u00edamos uma quantidade diferente no resultado de arranjos.&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>Portanto:<\/p>\n\n\n\n<ul><li>Se compararmos os arranjos 342 e 324, perceberemos que eles s\u00e3o <strong>diferentes pela ordem<\/strong> dos seus elementos.<\/li><li>Se compararmos os arranjos 342 e 341, perceberemos que eles s\u00e3o <strong>diferentes pela natureza<\/strong> de seus elementos.<\/li><\/ul>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"4\">S\u00edmbolo do Arranjo<\/h3>\n\n\n\n<p>O s\u00edmbolo que representa a defini\u00e7\u00e3o de Arranjo \u00e9:<\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-large\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" width=\"195\" height=\"70\" src=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/03\/Simbolo-do-Arranjo.jpg\" alt=\"S\u00edmbolo do Arranjo\" class=\"wp-image-20379\"\/><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p>Lemos assim: \u201cArranjo de <strong>n<\/strong> elementos, de <strong>p<\/strong> em <strong>p<\/strong>.\u201d<\/p>\n\n\n\n<p>Em que:<\/p>\n\n\n\n<ul><li><strong>n<\/strong> = n\u00famero de elementos do conjunto inicial.<\/li><li><strong>p<\/strong> = n\u00famero de algarismo que os agrupamento dever\u00e3o ser feitos.<\/li><li><strong>A<\/strong> = quantidade de arranjos poss\u00edveis dentro dessas condi\u00e7\u00f5es.<\/li><\/ul>\n\n\n\n<p>Isso \u00e9 <strong>v\u00e1lido desde que<\/strong> <strong>n \u2265 p, <\/strong>pois \u00e9 imposs\u00edvel eu querer arranjar 3 n\u00fameros em grupos de 4 algarismos, por exemplo.<\/p>\n\n\n\n<p>Dessa forma, representamos o exemplo do primeiro t\u00f3pico como <strong>A 4,3<\/strong> = 24.<\/p>\n\n\n\n<ul><li>S\u00e3o mais de 200 resumos gratuitos no <a href=\"https:\/\/www.instagram.com\/beduka_oficial\/?hl=pt\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">Instagram do Beduka<\/a>. Aproveite!<\/li><\/ul>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"5\">Como calcular Arranjo Simples e com Repeti\u00e7\u00e3o? (F\u00f3rmula)<\/h3>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter size-large\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" width=\"653\" height=\"373\" src=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/03\/formula-de-arranjo-simples-e-com-repeticao.jpg\" alt=\"formula de arranjo simples e com repeti\u00e7ao\" class=\"wp-image-20382\" srcset=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/03\/formula-de-arranjo-simples-e-com-repeticao.jpg 653w, https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/03\/formula-de-arranjo-simples-e-com-repeticao-300x171.jpg 300w, https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/03\/formula-de-arranjo-simples-e-com-repeticao-320x183.jpg 320w\" sizes=\"(max-width: 653px) 100vw, 653px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p>Voc\u00ea viu no exemplo do t\u00f3pico anterior que \u00e9 muito trabalhoso ficar montando arranjos manualmente. Imagina se a quest\u00e3o pedisse um A 40,3\u2026 Al\u00e9m de dar trabalho e podermos nos confundir, quanto mais elementos maior o tempo gasto.<\/p>\n\n\n\n<p>Pensando justamente nas quest\u00f5es de vestibulares, h\u00e1 uma f\u00f3rmula que serve para calcular os Arranjos. Basta substituir cada elemento na posi\u00e7\u00e3o correta e resolver como <a href=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/materias\/matematica\/equacao-do-primeiro-grau\/\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">equa\u00e7\u00e3o<\/a> normal. Ela nos <strong>poupa tempo e trabalho!<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>Assim, n\u00e3o \u00e9 necess\u00e1rio gastar tempo montando todos os arranjos poss\u00edveis, <strong>basta aplicar a f\u00f3rmula: A n,p = n! \/ (n \u2013 p)!<\/strong><\/p>\n\n\n\n<ul><li>No pr\u00f3ximo t\u00f3pico, explicaremos a outra f\u00f3rmula e os tipos de arranjos.<\/li><\/ul>\n\n\n\n<ul><li><strong>Lembre-se<\/strong>: a exclama\u00e7\u00e3o (!) na frente do n\u00famero remete \u00e0 opera\u00e7\u00e3o de <a rel=\"noreferrer noopener\" href=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/materias\/matematica\/principio-fundamental-da-contagem\/\" target=\"_blank\">Fatorial<\/a>.<\/li><\/ul>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"6\">Tipos de Arranjos e quando us\u00e1-los<\/h2>\n\n\n\n<p>N\u00f3s sempre usaremos o Arranjo quando a quest\u00e3o der import\u00e2ncia \u00e0 ordem e \u00e0 natureza. Ainda assim, existem v\u00e1rias situa\u00e7\u00f5es diferentes que esses 2 fatores aparecem. \u00c9 da\u00ed que surgem os 3 diferentes tipos de Arranjo: Simples, com Repeti\u00e7\u00e3o e Condicional.<\/p>\n\n\n\n<p>Vamos conhec\u00ea-los!<\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"7\">Arranjo Simples<\/h3>\n\n\n\n<p>O arranjo ser\u00e1 simples sempre que <strong>n\u00e3o houver um elemento repetido<\/strong> no conjunto inicial. Nessa situa\u00e7\u00e3o, <strong>cada elemento s\u00f3 pode ser usado uma vez<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n<p><strong>Exemplo<\/strong><\/p>\n\n\n\n<blockquote class=\"wp-block-quote\"><p>Uma turma do Ensino Fundamental tem 15 alunos e a professora pediu que eles se juntassem em duplas para criar uma chapa com representante e vice-representante. Quantas s\u00e3o as possibilidade totais de chapas?<\/p><\/blockquote>\n\n\n\n<p><strong>Solu\u00e7\u00e3o<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>Se estamos falando em representante e vice-representante, a ordem dos alunos importa. Afinal, ter Jo\u00e3o como representante e Maria como vice \u00e9 diferente de ter Maria como representante e Jo\u00e3o como vice.<\/p>\n\n\n\n<p>Al\u00e9m disso, sabemos que n\u00e3o haver\u00e1 repeti\u00e7\u00f5es, pois cada pessoa \u00e9 \u00fanica. Com base nessa an\u00e1lise, sabemos que se trata de um <strong>A 15,2.<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>Agora, basta substituir na f\u00f3rmula e resolver:&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>A 15,2 =<strong> <\/strong>15! \/ (15 &#8211; 2)!<\/p>\n\n\n\n<p>A 15,2 =<strong> <\/strong>15! \/ 13!<\/p>\n\n\n\n<p>A 15,2 = 15.14.<span style=\"text-decoration: underline;\">13!<\/span> \/ <span style=\"text-decoration: underline;\">13!<\/span><\/p>\n\n\n\n<p>A 15,2 = 15.14<\/p>\n\n\n\n<p>A 15,2 <strong>= 210<\/strong><\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"8\">Arranjo com Repeti\u00e7\u00e3o<\/h3>\n\n\n\n<p>Os arranjos com repeti\u00e7\u00e3o s\u00e3o aqueles em que se aceitam elementos repetidos. Por isso, <strong>cada posi\u00e7\u00e3o poder\u00e1 ser preenchida por qualquer um de todos os elementos<\/strong> do conjunto inicial.&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>Perceba que n\u00f3s estaremos multiplicando o \u201cn\u201d por ele mesmo na quantidade de \u201cp\u201d que for pedido. Ent\u00e3o a f\u00f3rmula a ser usada \u00e9:<\/p>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\">Acr n,p = n<sup>p<\/sup><\/p>\n\n\n\n<p><strong>Exemplo<\/strong><\/p>\n\n\n\n<blockquote class=\"wp-block-quote\"><p>Jos\u00e9 quer formar uma senha de 6 d\u00edgitos para sua conta no banco e ela s\u00f3 pode ser feita com os n\u00fameros de 0 a 8. Quantas s\u00e3o as possibilidades de senha que ele tem?<\/p><\/blockquote>\n\n\n\n<p><strong>Solu\u00e7\u00e3o<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>Se estamos falando em senha e n\u00fameros, com certeza a ordem importa e usaremos arranjo. Al\u00e9m disso, n\u00e3o foi mencionado nada sobre proibir repeti\u00e7\u00e3o, ent\u00e3o se trata de um arranjo com possibilidade de repeti\u00e7\u00e3o.<\/p>\n\n\n\n<p>Se Jos\u00e9 s\u00f3 pode usar n\u00fameros de 0 a 8, ent\u00e3o temos 9 elementos dispon\u00edveis no conjunto inicial (n). Al\u00e9m disso, a senha deve conter 6 d\u00edgitos, ent\u00e3o os agruparemos de 6 em 6. Isso nos d\u00e1 um <strong>Ar 9,6.<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>Ent\u00e3o a f\u00f3rmula a ser usada \u00e9:<\/p>\n\n\n\n<p>Acr 9,6 = 9<sup>6<\/sup><\/p>\n\n\n\n<p>Acr 9,6 <strong>= 531 441<\/strong><\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"9\">Arranjo Condicional<\/h3>\n\n\n\n<p>Este tipo de arranjo \u00e9 marcado por alguma condi\u00e7\u00e3o extra que foi dada naquele exemplo. precisamos avaliar caso a caso para ver quais m\u00e9todos iremos usar.<\/p>\n\n\n\n<p><strong>Exemplo<\/strong><\/p>\n\n\n\n<blockquote class=\"wp-block-quote\"><p>Quantos arranjos com quatro elementos do conjunto {I, J, K, L, M, N}.\u00a0 come\u00e7am com duas letras do subconjunto {L, M, N}?<\/p><\/blockquote>\n\n\n\n<p><strong>Solu\u00e7\u00e3o<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>Observe que nessa situa\u00e7\u00e3o as duas primeiras letras tem uma condi\u00e7\u00e3o espec\u00edfica, por isso, <strong>vamos separar o racioc\u00ednio em dois momentos:<\/strong> selecionamos as duas primeiras letras e depois as possibilidades para as \u00faltimas.<\/p>\n\n\n\n<p>A escolha das <strong>duas primeiras letras<\/strong> precisa ser parte do conjunto {L, M, N}, ent\u00e3o se trata de um arranjo simples de 3 elementos 2 a 2, ou seja, <strong>A 3,2.<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>Se foi pedido um arranjo total de 4 letras, ent\u00e3o falta escolher <strong>as duas \u00faltimas letras<\/strong>. Isso deve ser feito pelo arranjo das letras {I, J, K, L, M, N}.&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>Por\u00e9m, devemos retirar as duas que j\u00e1 foram escolhidas. Ent\u00e3o ser\u00e1 um arranjo simples de 4 elementos 2 a 2 (<strong>A 4,2<\/strong>), n\u00e3o um arranjo de 6 elementos 2 a 2.<\/p>\n\n\n\n<p>Pelo princ\u00edpio multiplicativo, podemos dizer que a resposta final ser\u00e1 encontrada por <strong>A3,2 x A4,2.<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>Vamos resolver as contas separadamente para n\u00e3o confundir e depois multiplicar seus resultados.<\/p>\n\n\n\n<ul><li>A 3,2 = 3! \/ (3-2)!<\/li><\/ul>\n\n\n\n<p>A 3,2 = 3! \/ 1!<\/p>\n\n\n\n<p><strong>A 3,2 = 6<\/strong><\/p>\n\n\n\n<ul><li>A 4,2 = 4! \/ (4-2)!<\/li><\/ul>\n\n\n\n<p>A 4,2 = 4! \/ 2!<\/p>\n\n\n\n<p><strong>A 4,2 = 12<\/strong><\/p>\n\n\n\n<ul><li>Ent\u00e3o&nbsp;<strong>A3,2 x A4,2 =&nbsp;<\/strong><\/li><\/ul>\n\n\n\n<p>6 x 12 =&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p><strong>72<\/strong><\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"10\">Diferen\u00e7a entre Permuta\u00e7\u00e3o, Arranjo e Combina\u00e7\u00e3o<\/h2>\n\n\n\n<p>N\u00f3s te dissemos que a an\u00e1lise combinat\u00f3ria \u00e9 a \u00e1rea que estuda diferentes m\u00e9todos para diferentes casos, sendo eles: Arranjo, Permuta\u00e7\u00e3o e Combina\u00e7\u00e3o.<\/p>\n\n\n\n<p>A essa altura, voc\u00ea j\u00e1 entendeu o que s\u00e3o <strong>Arranjos: ordem e natureza importam.<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>Resumidamente, as <strong>Combina\u00e7\u00f5es<\/strong> s\u00e3o agrupamentos em que <strong>n\u00e3o importa a ordem (s\u00f3 importa a natureza)<\/strong>. Imagine a professora escolhendo uma dupla para bater corda. N\u00e3o faz diferen\u00e7a se ela disser \u201cJo\u00e3o e Maria\u201d ou \u201cMaria e Jo\u00e3o\u201d, ambos ir\u00e3o participar.&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>J\u00e1 a <strong>Permuta\u00e7\u00e3o \u00e9 um caso espec\u00edfico de Arranjo<\/strong>. Nela, <strong>s\u00f3 a&nbsp; ordem importa (a natureza n\u00e3o)<\/strong>, porque o n\u00famero de elementos do conjunto \u00e9 igual ao n\u00famero de elementos agrupados, ou seja, n = p.<\/p>\n\n\n\n<p><strong>Gostou do nosso artigo sobre Arranjo?<\/strong> Confira outros artigos do nosso blog e se prepare para o Enem da melhor maneira! 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