Calma, n\u00f3s vamos te explicar desde o in\u00edcio! <\/p>\n\n\n\n
Neste texto sobre Combina\u00e7\u00e3o, voc\u00ea encontrar\u00e1 os t\u00f3picos abaixo. Clique em um deles para ir diretamente ao conte\u00fado:<\/strong><\/p>\n\n\n\n A An\u00e1lise Combinat\u00f3ria<\/a> \u00e9 a \u00e1rea da Matem\u00e1tica que estuda as formas de resolver problemas com contagem de elementos ou possibilidades<\/strong> de algo ocorrer. Ela vai nos dizer quais as t\u00e9cnicas e m\u00e9todos para cada tipo de situa\u00e7\u00e3o.<\/strong> <\/p>\n\n\n\n O Princ\u00edpio Fundamental da Contagem (PFC) e o Fatorial <\/a>s\u00e3o contas que aprendemos a fazer desde o Ensino Fundamental, pois eles s\u00e3o a base da an\u00e1lise combinat\u00f3ria e seu racioc\u00ednio. N\u00e3o deixe de ler antes de continuar!<\/strong><\/p>\n\n\n\n Em outras situa\u00e7\u00f5es, os c\u00e1lculos tendem a se tornar complexos. Para facilitar o desenvolvimento das ideias, n\u00f3s dividimos as t\u00e9cnicas de acordo com as situa\u00e7\u00f5es. Elas podem ser um caso de Permuta\u00e7\u00e3o, Arranjo<\/a> ou Combina\u00e7\u00e3o.<\/p>\n\n\n\n Combina\u00e7\u00e3o \u00e9 a quantidade de grupos <\/strong>que podemos fazer com \u201cp\u201d elementos <\/strong>retirados de um conjunto de \u201cn\u201d elementos<\/strong>. Nessa contagem, buscamos identificar todos os subconjuntos com n elementos de um conjunto inicial p.<\/p>\n\n\n\n Quando escolhemos alguns elementos de um conjunto, podemos organiz\u00e1-los em grupos menores. Neste caso, a ordem desses elementos <\/strong>dentro do grupo n\u00e3o interfere.<\/strong> Isso significa que trocar a posi\u00e7\u00e3o<\/strong> dos elementos nos d\u00e1 os mesmos resultados.<\/strong><\/p>\n\n\n\n Exemplo<\/strong><\/p>\n\n\n\n Vamos tomar como base um conjunto \u201cn\u201d<\/strong> formado por 4 elementos<\/strong> (Jos\u00e9, Maria, Gabriel e Ana). Se n\u00f3s queremos agrupar-los em subconjuntos de 2 elementos<\/strong> (2 a 2), teremos 6 resultados de combina\u00e7\u00f5es<\/strong> diferentes e poss\u00edveis: <\/p>\n\n\n\n Jos\u00e9 e Maria \/ Jos\u00e9 e Gabriel \/ Jos\u00e9 e Ana \/ Maria e Gabriel \/ Maria e Ana \/ Gabriel e Ana. <\/p><\/blockquote>\n\n\n\n Cada uma dessas 6 duplas \u00e9 uma combina\u00e7\u00e3o diferente dentre os 4 elementos do conjunto organizados em grupos de 2 elementos. <\/p>\n\n\n\n \u00c9 importante notar que as Combina\u00e7\u00f5es levam em conta somente a natureza dos elementos. <\/strong>Vamos explicar:<\/p>\n\n\n\n Olhando as duplas acima, voc\u00ea \u00e9 capaz de perceber que uma dupla feita por \u201cAna e Jo\u00e3o\u201d \u00e9 exatamente a mesma feita que \u201cJo\u00e3o e Ana\u201d<\/strong>, porque envolve as mesmas pessoas.<\/p>\n\n\n\n O crit\u00e9rio para organizar combina\u00e7\u00f5es \u00e9 ter uma natureza diferente (ser pessoas, n\u00fameros ou cores diferentes). Por isso dizemos que, na Combina\u00e7\u00e3o, a ordem com que os elementos est\u00e3o dispostos n\u00e3o importa.<\/strong><\/p>\n\n\n\n \u00c9 interessante saber que o ramo da gen\u00e9tica na biologia utiliza combina\u00e7\u00f5es como ferramentas para estudar os poss\u00edveis gen\u00f3tipos e fen\u00f3tipos dos seres. Para engenheiros da computa\u00e7\u00e3o, o desenvolvimento de senhas e c\u00f3digos tamb\u00e9m depende. <\/p>\n\n\n\n O estudo das combina\u00e7\u00f5es est\u00e1 mais presente no nosso dia a dia do que percebemos!<\/p>\n\n\n\n O s\u00edmbolo que representa a defini\u00e7\u00e3o de Combina\u00e7\u00e3o \u00e9:<\/p>\n\n\n\n Lemos assim: \u201cCombina\u00e7\u00e3o de n<\/strong> elementos, de p<\/strong> em p<\/strong>.\u201d<\/p>\n\n\n\n Em que:<\/p>\n\n\n\n Isso \u00e9 v\u00e1lido desde que<\/strong> n \u2265 p, <\/strong>pois \u00e9 imposs\u00edvel eu querer combinar 3 n\u00fameros em grupos de 4 algarismos, por exemplo.<\/p>\n\n\n\n Dessa forma, representamos o exemplo do primeiro t\u00f3pico como C 4,2<\/strong> = 6 (4 pessoas organizadas em duplas que resultam em 6 op\u00e7\u00f5es diferentes).<\/p>\n\n\n\n Voc\u00ea viu no t\u00f3pico anterior que \u00e9 trabalhoso ficar montando combina\u00e7\u00f5es manualmente. Imagina se a quest\u00e3o pedisse um C 40,3\u2026 Al\u00e9m de dar trabalho e poder fazer confus\u00e3o, quanto mais elementos maior o tempo gasto.<\/p>\n\n\n\n Pensando justamente nas quest\u00f5es de vestibulares, h\u00e1 f\u00f3rmulas que nos poupam tempo e trabalho!<\/strong> Basta substituir cada elemento na posi\u00e7\u00e3o correta e resolver como uma equa\u00e7\u00e3o<\/a> normal. <\/p>\n\n\n\n Assim, n\u00e3o \u00e9 necess\u00e1rio gastar tempo montando todas as combina\u00e7\u00f5es poss\u00edveis, basta aplicar a f\u00f3rmula de Combina\u00e7\u00e3o Simples: C n,p = n! \/ p!(n \u2013 p)! <\/strong>Ela deve ser usada em situa\u00e7\u00f5es em que a ordem n\u00e3o importa e seguindo a condi\u00e7\u00e3o n \u2265 p.<\/strong><\/p>\n\n\n\n Para a Combina\u00e7\u00e3o Composta h\u00e1 outra f\u00f3rmula. <\/strong>Falaremos sobre essas diferen\u00e7as e daremos exemplos no pr\u00f3ximo t\u00f3pico!<\/p>\n\n\n\n Lembre-se<\/strong>:<\/p>\n\n\n\n N\u00f3s sempre usaremos a Combina\u00e7\u00e3o quando a quest\u00e3o n\u00e3o der import\u00e2ncia \u00e0 ordem. Ainda assim, existem v\u00e1rias situa\u00e7\u00f5es diferentes que esse fator aparece. \u00c9 da\u00ed que surgem os 2 tipos de Combina\u00e7\u00f5es: Simples ou Composta.<\/p>\n\n\n\n Vamos conhec\u00ea-los!<\/p>\n\n\n\n A Combina\u00e7\u00e3o Simples \u00e9 um tipo de agrupamento da an\u00e1lise combinat\u00f3ria em que a ordem n\u00e3o importa e n\u00e3o h\u00e1 repeti\u00e7\u00e3o<\/strong> de elementos no conjunto inicial.<\/p>\n\n\n\n De uma maneira mais formal, a combina\u00e7\u00e3o simples pode ser definida como:<\/p>\n\n\n\n \u201cDados n elementos distintos, chama-se combina\u00e7\u00e3o desses n elementos tomados p a p (com p \u2264 n) qualquer subconjunto formado por p elementos distintos, escolhidos entre os n.\u201d<\/p>\n\n\n\n Exemplo<\/strong><\/p>\n\n\n\n 1) Em um congresso h\u00e1 50 homens e 30 mulheres. Quantas comiss\u00f5es de 6 pessoas podemos formar, obedecendo a condi\u00e7\u00e3o de que cada uma tenha 4 mulheres e 2 homens?<\/p><\/blockquote>\n\n\n\n Solu\u00e7\u00e3o<\/strong><\/p>\n\n\n\n O primeiro passo<\/strong> \u00e9 notar que trocar a ordem das pessoas que fazem parte de uma comiss\u00e3o n\u00e3o a torna diferente. Al\u00e9m disso, cada pessoa \u00e9 um indiv\u00edduo, \u00e9 \u00fanico. Portanto, temos certeza que se trata de uma Combina\u00e7\u00e3o Simples.<\/p>\n\n\n\n O segundo passo<\/strong> \u00e9 perceber que, no grupo de 6 membros, \u00e9 preciso haver 4 mulheres e 2 homens. Isso nos mostra que faremos duas combina\u00e7\u00f5es diferentes (uma para cada sexo). Depois, basta multiplicar os resultados para saber a combina\u00e7\u00e3o total de comiss\u00f5es.<\/p>\n\n\n\n C 50,2 = 50! \/ 2!(50-2)!<\/p>\n\n\n\n C 50,2 = 50.49.48!<\/span> \/ 2!.48!<\/span><\/p>\n\n\n\n C 50,2 = 50<\/span>.49 \/ 2<\/span>.1<\/p>\n\n\n\n C 50,2 = 25.49<\/p>\n\n\n\n C 50,2 = 1225<\/strong><\/p>\n\n\n\n C 30,4 = 30! \/ 4!(30-4)!<\/p>\n\n\n\n C 30,4 = 30.29.28.27.26!<\/span> \/ 4!.26!<\/span><\/p>\n\n\n\n C 30,4 = 30<\/span>.29.28.<\/span>27 \/ 4<\/span>.3<\/span>.2.1<\/p>\n\n\n\n C 30,4 = 10.29.7.27 \/ 2<\/p>\n\n\n\n C 30,4 = 27 405<\/strong><\/p>\n\n\n\n C30,4 . C50,2 =<\/p>\n\n\n\n 27 405 . 1225 =<\/p>\n\n\n\n 33 571 125 <\/strong>possibilidades de comiss\u00f5es.<\/p>\n\n\n\n A Combina\u00e7\u00e3o Composta, tamb\u00e9m chama de \u201ccom Repeti\u00e7\u00e3o\u201d, \u00e9 um tipo de agrupamento da an\u00e1lise combinat\u00f3ria em que a ordem n\u00e3o importa e h\u00e1 a repeti\u00e7\u00e3o de elementos<\/strong> no conjunto inicial.<\/p>\n\n\n\n Exemplo<\/strong><\/p>\n\n\n\n 1) \u00c2ngela foi \u00e0 sorveteria para comprar um sorvete com quatro sabores. Chegando l\u00e1, viu que s\u00f3 tinha 3 dispon\u00edveis: chocolate, baunilha e morango. Quantas s\u00e3o as possibilidades que ela tem para montar um sorvete?<\/p><\/blockquote>\n\n\n\n Solu\u00e7\u00e3o<\/strong><\/p>\n\n\n\n O primeiro passo<\/strong> \u00e9 notar que se trata de uma combina\u00e7\u00e3o composta porque: a ordem dos sabores n\u00e3o interfere nas possibilidades e ela dever\u00e1 repetir um sabor se quiser ter 4 bolas. Esse \u00e9 um caso de combina\u00e7\u00e3o em que p > n<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n Por causa disso, teremos de usar a f\u00f3rmula pr\u00f3pria:<\/p>\n\n\n\n C composta 3,4 = (3 + 4 – 1)! \/ 4! (3 – 1)!<\/p>\n\n\n\n C composta 3,4 = 6! \/ 4! . 2!<\/p>\n\n\n\n C composta 3,4 = 6<\/span>.5.4!<\/span> \/ 4!<\/span> . 2<\/span>.1<\/p>\n\n\n\n C composta 3,4 = 3.5<\/p>\n\n\n\n C composta 3,4 = 15 possibilidades.<\/strong><\/p>\n\n\n\n N\u00f3s te dissemos que a an\u00e1lise combinat\u00f3ria \u00e9 a \u00e1rea que estuda diferentes m\u00e9todos para diferentes casos, sendo eles: Arranjo, Permuta\u00e7\u00e3o e Combina\u00e7\u00e3o.<\/p>\n\n\n\n A essa altura, voc\u00ea j\u00e1 entendeu o que \u00e9 Combina\u00e7\u00e3o: <\/strong>apenas a natureza importa, a ordem n\u00e3o.<\/p>\n\n\n\n Resumidamente, os Arranjos<\/strong> s\u00e3o agrupamentos em que a ordem importa, bem como a natureza. <\/strong>Imagine uma senha num\u00e9rica: o n\u00famero 23 \u00e9 diferente do n\u00famero 32, porque mesmo contendo os mesmos elementos (natureza), a ordem produz n\u00fameros distintos. <\/p>\n\n\n\n J\u00e1 a Permuta\u00e7\u00e3o \u00e9 um caso espec\u00edfico de Arranjo<\/strong>. Nela, s\u00f3 a ordem importa (a natureza n\u00e3o)<\/strong>. Isso porque o n\u00famero de elementos do conjunto \u00e9 igual ao n\u00famero de elementos agrupados, ou seja, n = p.<\/p>\n\n\n\nIntrodu\u00e7\u00e3o \u00e0 An\u00e1lise Combinat\u00f3ria<\/h2>\n\n\n\n
O que \u00e9 Combina\u00e7\u00e3o?<\/h2>\n\n\n\n
Quais as Caracter\u00edsticas da Combina\u00e7\u00e3o?<\/h3>\n\n\n\n
Qual o s\u00edmbolo da Combina\u00e7\u00e3o?<\/h3>\n\n\n\n
![\"simbolo](\"https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/03\/simbolo-da-combinacao.jpg\")
<\/figure><\/div>\n\n\n\nQual a f\u00f3rmula da Combina\u00e7\u00e3o Simples e Composta?<\/h3>\n\n\n\n
![\"Formula](\"https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/03\/Formula-de-combinacao-simples-e-composta.jpg\")
<\/figure><\/div>\n\n\n\nQuais os tipos de combina\u00e7\u00f5es e quando us\u00e1-las?<\/h2>\n\n\n\n
O que \u00e9 uma Combina\u00e7\u00e3o Simples? [Exemplo]<\/h3>\n\n\n\n
Combina\u00e7\u00e3o Composta + Exemplos<\/h3>\n\n\n\n
Qual a diferen\u00e7a entre Permuta\u00e7\u00e3o, Arranjo e Combina\u00e7\u00e3o?<\/h2>\n\n\n\n
Curiosidade<\/h3>\n\n\n\n