{"id":21893,"date":"2021-06-30T08:11:49","date_gmt":"2021-06-30T11:11:49","guid":{"rendered":"https:\/\/beduka.com\/blog\/?p=21893"},"modified":"2023-04-03T09:14:38","modified_gmt":"2023-04-03T12:14:38","slug":"resumo-de-sistemas-lineares","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/beduka.com\/blog\/materias\/matematica\/resumo-de-sistemas-lineares\/","title":{"rendered":"Resumo de sistemas lineares: passo a passo com exemplos!"},"content":{"rendered":"\n<blockquote class=\"wp-block-quote\"><p><strong><em>Ah, os sistemas\u2026 Muitos alunos tremem ao se deparar com v\u00e1rias equa\u00e7\u00f5es de 3 ou mais inc\u00f3gnitas. Por\u00e9m, agora voc\u00ea aprender\u00e1 a resolv\u00ea-los! Neste resumo de sistemas lineares, ensinamos os m\u00e9todos de Cramer e do Escalonamento para voc\u00ea superar essa dificuldade. Tudo com exemplos e passo a passo!<\/em><\/strong><\/p><\/blockquote>\n\n\n\n<p>Neste resumo de sistemas lineares, voc\u00ea encontrar\u00e1 os t\u00f3picos abaixo.<strong> Se quiser, clique em um deles para ir diretamente ao conte\u00fado:<\/strong><\/p>\n\n\n\n<ol><li><a href=\"#1\">Introdu\u00e7\u00e3o: o que \u00e9 uma equa\u00e7\u00e3o?<\/a><\/li><li><a href=\"#2\">O que s\u00e3o sistemas lineares?<\/a><\/li><li><a href=\"#3\">Transformando sistemas em matrizes!<\/a><\/li><li><a href=\"#4\">Como classificamos os sistemas?<\/a><\/li><li><a href=\"#5\">Como resolvemos um sistema linear?<\/a><\/li><li><a href=\"#6\">Como usar a Regra de Cramer? Exemplo em 3 passos!<\/a><\/li><li><a href=\"#7\">Como resolver sistemas por Escalonamento? Exemplo em 3 passos!<\/a><\/li><\/ol>\n\n\n\n<p>Depois voc\u00ea pode <strong>testar o que aprendeu. <\/strong>\u00c9 s\u00f3 fazer o nosso <a href=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/dicas\/enem-dicas\/simulados-para-enem-online-e-gratuito\/\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\"><strong>Simulado ENEM gratuito<\/strong><\/a><strong>!<\/strong> Ele pode ser <strong>personalizado com as mat\u00e9rias que voc\u00ea quiser.<\/strong><\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"1\">Introdu\u00e7\u00e3o: o que \u00e9 uma equa\u00e7\u00e3o?<\/h2>\n\n\n\n<p>Antes de falar sobre sistemas de equa\u00e7\u00f5es lineares, precisamos relembrar o que s\u00e3o as equa\u00e7\u00f5es, seus tipos e propriedades. Relembre os conceitos b\u00e1sicos, que s\u00e3o important\u00edssimos para continuarmos:<\/p>\n\n\n\n<ul><li><strong>Equa\u00e7\u00e3o \u00e9 uma express\u00e3o alg\u00e9brica<\/strong><\/li><\/ul>\n\n\n\n<p>Isso significa que s\u00e3o formadas por letras e n\u00fameros, tendo um s\u00edmbolo de igualdade (=) no meio. O lado esquerdo ao sinal \u00e9 chamado de 1\u00ba membro e o lado direito \u00e9 chamado de 2\u00ba membro.<\/p>\n\n\n\n<ul><li><strong>O nosso objetivo \u00e9 achar quanto vale a inc\u00f3gnita<\/strong><\/li><\/ul>\n\n\n\n<p>A inc\u00f3gnita \u00e9 o valor desconhecido que representamos por letras, normalmente o x. Depois de descobrir esse valor, ao colocarmos um n\u00famero no lugar do x, o resultado da equa\u00e7\u00e3o precisa ser zero. Isso porque os dois membros devem ter o mesmo valor (\u00e9 uma igualdade).<\/p>\n\n\n\n<ul><li><strong>Equa\u00e7\u00f5es lineares s\u00e3o aquelas em que o maior expoente da inc\u00f3gnita \u00e9 1<\/strong>.<\/li><\/ul>\n\n\n\n<p>Isso significa que estamos falando de <a href=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/materias\/matematica\/equacao-do-primeiro-grau\/\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">equa\u00e7\u00f5es do primeiro grau<\/a>. Al\u00e9m disso, nem sempre o segundo membro vem com algo escrito, ele pode aparecer como \u201c0\u201d se tivermos passado todos os seus elementos para o primeiro membro.<\/p>\n\n\n\n<ul><li><strong>A f\u00f3rmula ax + b = 0 \u00e9 a base para a equa\u00e7\u00e3o do 1\u00b0 grau com 1 inc\u00f3gnita.<\/strong><\/li><\/ul>\n\n\n\n<p>Nela, o \u201ca\u201d \u00e9 o coeficiente (n\u00famero \u2260 de 0) e o \u201cb\u201d \u00e9 um termo independente (outro n\u00famero, que pode valer 0).&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>Exemplo: 3x + 5 = 0<\/p>\n\n\n\n<ul><li><strong>A f\u00f3rmula ax + by + c = 0 \u00e9 a base para a equa\u00e7\u00e3o de 1\u00b0 grau com 2 inc\u00f3gnitas.&nbsp;<\/strong><\/li><\/ul>\n\n\n\n<p>Nela, \u201ca\u201d e \u201cb\u201d s\u00e3o coeficientes (n\u00famero \u2260 0) e \u201cc\u201d \u00e9 o termo independente (outro n\u00famero, pode valer 0).&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>Exemplo: 2x + 3y &#8211; 6 = 0<\/p>\n\n\n\n<ul><li><strong>A f\u00f3rmula ax + by + cz + d = 0 \u00e9 a base para a equa\u00e7\u00e3o de 1\u00b0 grau com 3 inc\u00f3gnitas.&nbsp;<\/strong><\/li><\/ul>\n\n\n\n<p>Nela, \u201ca\u201d, \u201cb\u201d e \u201cc\u201d s\u00e3o coeficientes (n\u00famero \u2260 0) e \u201cd\u201d \u00e9 o termo independente (outro n\u00famero, pode valer 0).&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>Exemplo: 2x + 3y + 4z = 0<\/p>\n\n\n\n<ul><li><strong>Qualquer equa\u00e7\u00e3o de primeiro grau pode ser escrita de forma gen\u00e9rica como:<\/strong><\/li><\/ul>\n\n\n\n<p class=\"has-text-align-center\">a<sub>1<\/sub>x<sub>1<\/sub> + a<sub>2<\/sub>x<sub>2<\/sub> + a<sub>3<\/sub>x<sub>3<\/sub>\u2026 + a<sub>n<\/sub>x<sub>n<\/sub> = 0<\/p>\n\n\n\n<p>S\u00e3o <strong>mais de 200 resumos gratuitos<\/strong> no <a href=\"https:\/\/www.instagram.com\/beduka_oficial\/?hl=pt\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">Instagram do Beduka.<\/a> Aproveite!<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Para que os sistemas lineares s\u00e3o usados?<\/h2>\n\n\n\n<p>O uso de sistemas lineares <strong>\u00e9 cobrado nos vestibulares<\/strong>. Ent\u00e3o para voc\u00ea, estudante, ele \u00e9 essencial!&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p><strong>Mas n\u00e3o \u00e9 s\u00f3 isso\u2026<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>Na pr\u00e1tica, eles s\u00e3o <strong>usados nas ci\u00eancias e na engenharia,<\/strong> como na eletrodin\u00e2mica, eletr\u00f4nica, est\u00e1tica, aerodin\u00e2mica, entre outras. Ou seja, <strong>eles est\u00e3o mais presentes no nosso dia a dia do que imaginamos, <\/strong>desde pegar um avi\u00e3o at\u00e9 entrar em um edif\u00edcio!<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"2\">Conceito: o que s\u00e3o sistemas lineares?<\/h2>\n\n\n\n<p>O sistema linear \u00e9 o <strong>conjunto de duas ou mais equa\u00e7\u00f5es<\/strong> de primeiro grau, <strong>podendo ter uma ou mais inc\u00f3gnitas.<\/strong> Como existem muitas possibilidades, cada sistema \u00e9 identificado pelas equa\u00e7\u00f5es que o comp\u00f5em.<\/p>\n\n\n\n<p>No sistema, as equa\u00e7\u00f5es s\u00e3o representadas uma acima da outra, com uma chave do lado esquerdo. Esse \u00e9 o s\u00edmbolo usado para sinalizar que elas fazem parte de um mesmo grupo.&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>Sendo assim, um sistema de \u201cm\u201d equa\u00e7\u00f5es lineares e \u201cn\u201d inc\u00f3gnitas pode ser representado como <strong>sistema linear m \u00d7 n<\/strong>. \u00c9 importante lembrar que ele <strong>possui \u201cm\u201d equa\u00e7\u00f5es onde cada equa\u00e7\u00e3o deve conter as mesmas \u201cn\u201d inc\u00f3gnitas.<\/strong><\/p>\n\n\n\n<ul><li><strong>Isso te lembrou algo? Se sim, voc\u00ea est\u00e1 certo:&nbsp;<\/strong><\/li><\/ul>\n\n\n\n<p>Essa tamb\u00e9m \u00e9 a maneira com que representamos as <a href=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/materias\/matematica\/matriz\/\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">matrizes<\/a>. Portanto, \u00e9 poss\u00edvel <strong>traduzir as informa\u00e7\u00f5es do sistema para uma matriz<\/strong> e, a partir disso, <strong>extrair informa\u00e7\u00f5es importantes <\/strong>sobre suas equa\u00e7\u00f5es.<\/p>\n\n\n\n<p><strong>Saiba como:<\/strong><\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"3\">Como transformar sistemas lineares em matrizes?<\/h2>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" width=\"600\" height=\"300\" src=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/06\/Como-tranformar-sistema-linear-em-matriz-completa-e-imcompleta-1.jpg\" alt=\"Como tranformar sistema linear em matriz completa e imcompleta\" class=\"wp-image-21955\" srcset=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/06\/Como-tranformar-sistema-linear-em-matriz-completa-e-imcompleta-1.jpg 600w, https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/06\/Como-tranformar-sistema-linear-em-matriz-completa-e-imcompleta-1-300x150.jpg 300w, https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/06\/Como-tranformar-sistema-linear-em-matriz-completa-e-imcompleta-1-320x160.jpg 320w\" sizes=\"(max-width: 600px) 100vw, 600px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p>Para transformar sistemas lineares em matrizes, basta escrever os elementos da equa\u00e7\u00e3o; s\u00f3 que ocultando as inc\u00f3gnitas e estando na ordem de cada elemento a<sub>ij<\/sub> de uma matriz m x n. <strong>Repare na imagem acima para ver o exemplo.<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>Observe tamb\u00e9m que h\u00e1 duas formas de representarmos:<\/p>\n\n\n\n<ul><li><strong>Matriz completa:<\/strong> formada pelos coeficientes do sistema e seus termos independentes.<\/li><li><strong>Matriz incompleta:<\/strong> formada apenas pelos coeficientes do sistema.<\/li><\/ul>\n\n\n\n<p>Como voc\u00ea sabe, toda boa matriz vem acompanhada de um c\u00e1lculo pr\u00f3prio, o <a rel=\"noreferrer noopener\" href=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/materias\/matematica\/determinante\/\" target=\"_blank\">Determinante.<\/a> <strong>Ele \u00e9 a ferramenta que aplicamos para extrair as informa\u00e7\u00f5es preciosas.<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>Neste caso, o valor do Determinante nos permitir\u00e1 <strong>classificar os sistemas lineares.<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p><strong>Acompanhe:<\/strong><\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"4\">Como classificamos os sistemas lineares?<\/h2>\n\n\n\n<p>Dependendo da quantidade de solu\u00e7\u00f5es poss\u00edveis, cada sistema linear recebe uma classifica\u00e7\u00e3o:<\/p>\n\n\n\n<ul><li><strong>Sistema Poss\u00edvel e Determinado (SPD):<\/strong> h\u00e1 uma \u00fanica solu\u00e7\u00e3o e ocorre quando o determinante for diferente de zero (D\u22600).<\/li><li><strong>Sistema Poss\u00edvel e Indeterminado (SPI):<\/strong> as solu\u00e7\u00f5es s\u00e3o infinitas e ocorre quando o determinante for igual a zero (D=0).<\/li><li><strong>Sistema Imposs\u00edvel (SI): <\/strong>n\u00e3o h\u00e1 qualquer tipo de solu\u00e7\u00e3o e ocorre quando o determinante principal for igual a zero e o determinante secund\u00e1rio for diferente de zero.<\/li><\/ul>\n\n\n\n<p><strong>Al\u00e9m dessa classifica\u00e7\u00e3o por resultado, podemos dar outras caracter\u00edsticas<\/strong> aos sistemas.<\/p>\n\n\n\n<p>Eles ser\u00e3o \u201c<strong>homog\u00eaneos\u201d <\/strong>quando o termo independente for igual a 0 (zero). Assim, aqueles que apresentarem um valor num\u00e9rico no termo independente, ser\u00e3o chamados de \u201cn\u00e3o-homog\u00eaneos\u201d.<\/p>\n\n\n\n<p>Eles ainda podem ser chamados de \u201c<strong>normais\u201d<\/strong> quando o n\u00famero de equa\u00e7\u00f5es \u00e9 o mesmo que o n\u00famero de inc\u00f3gnitas.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"5\">Como resolvemos os sistemas lineares?<\/h2>\n\n\n\n<p>Na verdade, h\u00e1 diferentes m\u00e9todos dependendo do tipo de equa\u00e7\u00e3o com que estamos lidando&#8230;<\/p>\n\n\n\n<p>Quando o sistema linear possui equa\u00e7\u00f5es com <strong>2 inc\u00f3gnitas<\/strong>, os m\u00e9todos mais pr\u00e1ticos de resolu\u00e7\u00e3o s\u00e3o a <a href=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/materias\/matematica\/sistema-de-equacoes\/\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">adi\u00e7\u00e3o e a substitui\u00e7\u00e3o<\/a>.<\/p>\n\n\n\n<p>Por\u00e9m, quando falamos em sistemas de <strong>3 ou mais inc\u00f3gnitas<\/strong>, a\u00ed precisamos de<strong> recursos novos:<\/strong> <strong>a Regra de Cramer e o Escalonamento.<\/strong><\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"6\">Como resolver um sistema linear pela Regra de Cramer?<\/h2>\n\n\n\n<p>A Regra de Cramer \u00e9 utilizada na resolu\u00e7\u00e3o de sistemas SPD (sistemas poss\u00edveis e determinados). Ela consiste em <strong>fazer basicamente<\/strong> <strong>tr\u00eas etapas:<\/strong><\/p>\n\n\n\n<ul><li><strong>1\u00b0 Passo:<\/strong> Calcular o determinante principal (D).<\/li><li><strong>2\u00b0 Passo: <\/strong>Calcular o determinante secund\u00e1rio (D<sub>x<\/sub>, D<sub>y<\/sub>, D<sub>z<\/sub>).<\/li><li><strong>3\u00b0 Passo:<\/strong> Substituir na f\u00f3rmula: <strong>x = D<sub>x<\/sub>\/D <\/strong>ou<strong> y = D<sub>y<\/sub>\/D <\/strong>ou<strong> z = D<sub>z<\/sub>\/D<\/strong>.<\/li><\/ul>\n\n\n\n<p><strong>Lembrando que:<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p><strong>D \u2192<\/strong> determinante da matriz incompleta do sistema.<\/p>\n\n\n\n<p><strong>D<sub>x<\/sub> \u2192<\/strong> determinante da matriz incompleta do sistema, substituindo a coluna de x pela coluna dos termos independentes.<\/p>\n\n\n\n<p><strong>D<sub>y<\/sub> \u2192 <\/strong>determinante da matriz incompleta do sistema, substituindo a coluna de y pela coluna dos termos independentes.<\/p>\n\n\n\n<p><strong>D<sub>z<\/sub> \u2192 <\/strong>determinante da matriz incompleta do sistema, substituindo a coluna de z pela coluna dos termos independentes.<\/p>\n\n\n\n<p><strong>Observe o exemplo a seguir:<\/strong><\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" width=\"594\" height=\"300\" src=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/06\/como-resolver-sistemas-lineares-pela-Regra-de-Cramer-part1-1.jpg\" alt=\"como resolver sistemas lineares pela Regra-de-Cramer-part1\" class=\"wp-image-21953\" srcset=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/06\/como-resolver-sistemas-lineares-pela-Regra-de-Cramer-part1-1.jpg 594w, https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/06\/como-resolver-sistemas-lineares-pela-Regra-de-Cramer-part1-1-300x152.jpg 300w, https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/06\/como-resolver-sistemas-lineares-pela-Regra-de-Cramer-part1-1-320x162.jpg 320w\" sizes=\"(max-width: 594px) 100vw, 594px\" \/><\/figure><\/div>\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" width=\"594\" height=\"300\" src=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/06\/como-resolver-sistemas-lineares-pela-regra-de-cramer-part-2.jpg\" alt=\"como resolver sistemas lineares pela regra de cramer part 2\" class=\"wp-image-21897\" srcset=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/06\/como-resolver-sistemas-lineares-pela-regra-de-cramer-part-2.jpg 594w, https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/06\/como-resolver-sistemas-lineares-pela-regra-de-cramer-part-2-300x152.jpg 300w, https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/06\/como-resolver-sistemas-lineares-pela-regra-de-cramer-part-2-320x162.jpg 320w\" sizes=\"(max-width: 594px) 100vw, 594px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"7\">Como resolver um sistema linear por Escalonamento?<\/h2>\n\n\n\n<p><strong>O Escalonamento \u00e9 um m\u00e9todo onde utilizamos somente a matriz completa para realizar&nbsp; opera\u00e7\u00f5es entre as linhas.<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>Essa \u00e9 uma forma de resolver o sistema transformando-o em outro sistema equivalente e mais f\u00e1cil.<\/p>\n\n\n\n<p>O objetivo \u00e9 isolar as suas inc\u00f3gnitas e conseguir, assim, anular algumas delas para encontrar o seu valor.<\/p>\n\n\n\n<ul><li><strong>1\u00ba passo:<\/strong> escrever a matriz completa que representa o sistema.<\/li><li><strong>2\u00b0 Passo:<\/strong> realizar opera\u00e7\u00f5es entre as equa\u00e7\u00f5es, para tentar eliminar ou simplificar alguma inc\u00f3gnita (somar ou subtrair uma equa\u00e7\u00e3o pela outra \/ Multiplicar ou dividir uma das equa\u00e7\u00f5es por um n\u00famero \/ Trocar duas equa\u00e7\u00f5es de posi\u00e7\u00f5es).<\/li><li><strong>3\u00b0 Passo:<\/strong> reescrever o sistema a partir dos coeficientes simplificados na nova matriz e resolver normalmente.<\/li><\/ul>\n\n\n\n<p><strong>Observe o exemplo a seguir:<\/strong><\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" width=\"600\" height=\"403\" src=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/06\/como-resolver-sitema-linear-com-3-incognitas-por-Escalonamento-1.jpg\" alt=\"como resolver sitema linear com 3 incognitas por Escalonamento\" class=\"wp-image-21954\" srcset=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/06\/como-resolver-sitema-linear-com-3-incognitas-por-Escalonamento-1.jpg 600w, https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/06\/como-resolver-sitema-linear-com-3-incognitas-por-Escalonamento-1-300x202.jpg 300w, https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/06\/como-resolver-sitema-linear-com-3-incognitas-por-Escalonamento-1-320x215.jpg 320w\" sizes=\"(max-width: 600px) 100vw, 600px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p><strong>Gostou do nosso resumo de sistemas lineares?<\/strong> Confira outros artigos do nosso blog e se prepare para o Enem da melhor maneira! 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