{"id":21971,"date":"2021-07-05T18:37:21","date_gmt":"2021-07-05T21:37:21","guid":{"rendered":"https:\/\/beduka.com\/blog\/?p=21971"},"modified":"2023-04-03T09:19:35","modified_gmt":"2023-04-03T12:19:35","slug":"planos-na-matematica","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/beduka.com\/blog\/materias\/matematica\/planos-na-matematica\/","title":{"rendered":"Planos na matem\u00e1tica: defini\u00e7\u00e3o, caracter\u00edsticas, tipos e exemplos!"},"content":{"rendered":"\n<blockquote class=\"wp-block-quote\"><p><strong><em>Na matem\u00e1tica, os Planos s\u00e3o um daqueles elementos que quase ningu\u00e9m sabe explicar, mas que usamos o tempo todo! Para dominar mesmo a Geometria Plana e a Espacial, \u00e9 preciso entender quais s\u00e3o as suas caracter\u00edsticas, seus tipos, ver exemplos aplicados e conhecer os intrigantes postulados!<\/em><\/strong><\/p><\/blockquote>\n\n\n\n<p>Neste resumo sobre os planos na matem\u00e1tica, voc\u00ea encontrar\u00e1 os t\u00f3picos abaixo.<strong> Se quiser, clique em um deles para ir diretamente ao conte\u00fado:<\/strong><\/p>\n\n\n\n<ol><li><a href=\"#1\">Introdu\u00e7\u00e3o: o que \u00e9 a Geometria?<\/a><\/li><li><a href=\"#2\">O que \u00e9 o Plano na matem\u00e1tica?<\/a><\/li><li><a href=\"#3\">Como um Plano pode ser definido?<\/a><\/li><li><a href=\"#4\">O que s\u00e3o os Postulados ou Axiomas do Plano?<\/a><\/li><li><a href=\"#5\">Qual a diferen\u00e7a entre Plano e Espa\u00e7o?<\/a><\/li><li><a href=\"#6\">Quais s\u00e3o as posi\u00e7\u00f5es relativas entre Planos?<\/a><\/li><li><a href=\"#7\">Resumo: caracter\u00edsticas dos Planos.<\/a><\/li><\/ol>\n\n\n\n<p>Depois voc\u00ea pode <strong>testar o que aprendeu. \u00c9 s\u00f3 fazer o nosso<\/strong> <a href=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/dicas\/enem-dicas\/simulados-para-enem-online-e-gratuito\/\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">Simulado ENEM gratuito<\/a>! Ele pode ser <strong>personalizado com as mat\u00e9rias que voc\u00ea quiser.<\/strong><\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"1\">Introdu\u00e7\u00e3o: o que \u00e9 a Geometria?<\/h2>\n\n\n\n<p>Antes de tudo, \u00e9 preciso saber que <strong>o plano \u00e9 um elemento da Geometria.<\/strong> Isso significa que estamos lidando com uma <strong>parte da matem\u00e1tica que se baseia nas representa\u00e7\u00f5es gr\u00e1ficas (desenhos).<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>O conceito de plano surge na <a href=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/materias\/matematica\/geometria-plana\/\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">Geometria Plana<\/a>. Depois, eles s\u00e3o muito usados para construir a <a href=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/materias\/matematica\/geometria-espacial\/\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">Geometria Espacial<\/a>, embora n\u00e3o citamos diretamente o seu nome.<\/p>\n\n\n\n<p>N\u00f3s <strong>s\u00f3 estamos querendo te mostrar que esse \u00e9 um elemento muito importante<\/strong>. Mas fique tranquilo, <strong>nos pr\u00f3ximos t\u00f3picos, explicaremos os conceitos em cada \u00e1rea e daremos exemplos!<\/strong><\/p>\n\n\n\n<ul><li>S\u00e3o <strong>mais de 200 resumos gratuitos<\/strong> no <a href=\"https:\/\/www.instagram.com\/beduka_oficial\/?hl=pt\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">Instagram do Beduka.<\/a> Aproveite!<\/li><\/ul>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"2\">O que \u00e9 um plano na matem\u00e1tica?<\/h2>\n\n\n\n<p><strong>O Plano \u00e9 um dos tr\u00eas entes primitivos da geometria.<\/strong> Isso significa que ele \u00e9 a base dos outros conceitos e representa\u00e7\u00f5es que estudamos adiante. Os outros entes s\u00e3o o <a href=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/materias\/pontos-na-matematica\/\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">Ponto<\/a> e <a href=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/materias\/resumo-sobre-retas\/\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">Reta<\/a>, que precisamos conhecer antes de avan\u00e7armos!<\/p>\n\n\n\n<p><strong>De forma bem simples e pr\u00e1tica, um plano seria como uma folha de papel <\/strong>em branco. Ou seja: liso, reto, com largura e comprimento. Mas n\u00e3o \u00e9 s\u00f3 isso n\u00e3o&#8230;<\/p>\n\n\n\n<p>Agora que j\u00e1 temos uma ideia de partida, podemos <strong>entender as defini\u00e7\u00f5es matem\u00e1ticas e a sua utilidade:<\/strong><\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"3\">Como um plano pode ser definido matematicamente?<\/h2>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" width=\"600\" height=\"300\" src=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/07\/Como-um-plano-pode-ser-definido-matematicamente.jpg\" alt=\"Como-um-plano-pode-ser-definido-matematicamente\" class=\"wp-image-21974\" srcset=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/07\/Como-um-plano-pode-ser-definido-matematicamente.jpg 600w, https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/07\/Como-um-plano-pode-ser-definido-matematicamente-300x150.jpg 300w, https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/07\/Como-um-plano-pode-ser-definido-matematicamente-320x160.jpg 320w\" sizes=\"(max-width: 600px) 100vw, 600px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p>Assim como o <a href=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/materias\/pontos-na-matematica\/\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">ponto<\/a> e a <a href=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/materias\/resumo-sobre-retas\/\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">reta<\/a>, <strong>n\u00e3o existe uma defini\u00e7\u00e3o objetiva<\/strong>&#8230; Por isso \u00e9 t\u00e3o dif\u00edcil para os professores explicarem e os alunos entenderem! Mas <strong>podemos falar sobre suas origem e caracter\u00edsticas<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n<p>Se o conjunto de pontos formam uma reta, dizemos que o conjunto de retas formam o plano.<strong> <\/strong>Assim, <strong>o plano \u00e9 um conjunto de retas alinhadas, coladinhas umas nas outras.&nbsp;<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>Pela consequ\u00eancia da defini\u00e7\u00e3o da reta, podemos dizer que o plano<strong> tamb\u00e9m \u00e9 um conjunto de pontos, dispostos em uma rede fina e horizontal. <\/strong>A \u00e1rea formada por esse alinhamento de retas e pontos <strong>\u00e9 uma superf\u00edcie plana<\/strong>, por isso chamada de Plano!&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>Ele <strong>se estende ao infinito<\/strong> e <strong>n\u00e3o possui espessura ou profundidade<\/strong>. Inclusive, ele serve como base para a constru\u00e7\u00e3o das figuras planas (quadrado, tri\u00e2ngulo, c\u00edrculo, etc.).<\/p>\n\n\n\n<p>At\u00e9 agora pode ser que voc\u00ea tenha lido s\u00f3 coisas \u00f3bvias, ent\u00e3o <strong>vamos dar um passo adentro:<\/strong><\/p>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Como representamos um plano na matem\u00e1tica?<\/h3>\n\n\n\n<p><strong>Os planos s\u00e3o nomeados por alguma letra min\u00fascula do alfabeto grego (\u03b1, \u03b2)<\/strong>; bem como os pontos s\u00e3o representados por letras mai\u00fasculas do alfabeto latino e as retas por pelas min\u00fasculas.<\/p>\n\n\n\n<p>Al\u00e9m disso, <strong>representamos os planos como uma regi\u00e3o plana<\/strong>, exatamente como uma folha ou superf\u00edcie reta em que podemos desenhar coisas.<\/p>\n\n\n\n<ul><li><strong>Por\u00e9m, o mais intrigante sobre os planos s\u00e3o os seus postulados:<\/strong><\/li><\/ul>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"4\">O que s\u00e3o os Postulados sobre o Plano?<\/h2>\n\n\n\n<p><strong>Os Postulados, tamb\u00e9m chamados de axiomas, s\u00e3o frases que descrevem uma certeza.<\/strong>&nbsp; Elas n\u00e3o precisam de uma raz\u00e3o ou demonstra\u00e7\u00e3o, define-se que aquilo existe e a partir da\u00ed se constr\u00f3i tudo o mais.<\/p>\n\n\n\n<p>J\u00e1 que os entes primitivos n\u00e3o podem ser definidos, apenas descrevemos suas caracter\u00edsticas. \u00c9 de se esperar que as suas exist\u00eancias sejam garantidas pelos postulados.<\/p>\n\n\n\n<p><strong>No caso espec\u00edfico do plano, o postulado de sua exist\u00eancia \u00e9:<\/strong><\/p>\n\n\n\n<blockquote class=\"wp-block-quote has-text-align-center\"><p>&#8220;Existem planos e, neles ou fora deles, existem pontos.\u201d<\/p><\/blockquote>\n\n\n\n<p>H\u00e1, tamb\u00e9m, o <strong>postulado da inclus\u00e3o:<\/strong><\/p>\n\n\n\n<blockquote class=\"wp-block-quote has-text-align-center\"><p>\u201cSe um plano cont\u00e9m dois pontos distintos de uma reta, ele cont\u00e9m toda essa reta.\u201d<\/p><\/blockquote>\n\n\n\n<p><strong>H\u00e1 outros dois postulados <\/strong>que indicam o que acontece quando tra\u00e7amos uma reta em um plano, ou um plano em um espa\u00e7o. Eles seguem o mesmo racioc\u00ednio, veja:<\/p>\n\n\n\n<blockquote class=\"wp-block-quote has-text-align-center\"><p>\u201cUma reta divide um plano em duas partes nas quais ela est\u00e1 contida.\u201d&nbsp;<\/p><p>\u201cUm plano divide o espa\u00e7o em duas partes nas quais ele est\u00e1 contido.\u201d<\/p><\/blockquote>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Postulados da origem do Plano<\/h3>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" width=\"600\" height=\"300\" src=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/07\/Postulados-da-origem-do-Plano.jpg\" alt=\"Postulados-da-origem-do-Plano\" class=\"wp-image-21973\" srcset=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/07\/Postulados-da-origem-do-Plano.jpg 600w, https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/07\/Postulados-da-origem-do-Plano-300x150.jpg 300w, https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/07\/Postulados-da-origem-do-Plano-320x160.jpg 320w\" sizes=\"(max-width: 600px) 100vw, 600px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p>Al\u00e9m desses axiomas que j\u00e1 vimos, tamb\u00e9m existem <strong>postulados de determina\u00e7\u00e3o.<\/strong> Esses s\u00e3o conceitos que falam sobre como podemos <strong>identificar que ali se formou um plano.<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p>Eles falam sobre as <strong>possibilidades de forma\u00e7\u00e3o<\/strong> de um plano:<\/p>\n\n\n\n<blockquote class=\"wp-block-quote has-text-align-center\"><p>\u201c<strong>Tr\u00eas pontos n\u00e3o colineares<\/strong> determinam um plano \u00fanico que os cont\u00e9m.\u201d<\/p><p>\u201c<strong>Dois pontos distintos na reta e o ponto fora <\/strong>dela tamb\u00e9m determinam um plano.\u201d<\/p><p>\u201c<strong>Duas retas concorrentes<\/strong> encontram-se em um ponto. Tome outros dois pontos, um em cada reta. Esses dois \u00faltimos e o primeiro n\u00e3o s\u00e3o colineares, logo, determinam um plano.\u201d<\/p><p>\u201cSejam <strong>duas retas paralelas<\/strong>, tome dois pontos de uma delas e um ponto na outra. Esse \u00faltimo e os dois primeiros n\u00e3o s\u00e3o colineares, logo, determinam um plano.\u201d<\/p><\/blockquote>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"5\">Qual a diferen\u00e7a entre Plano e Espa\u00e7o?<\/h2>\n\n\n\n<p>Agora que j\u00e1 entendemos o que \u00e9 um plano, podemos dizer que <strong>cada face de um s\u00f3lido geom\u00e9trico est\u00e1 em um plano.&nbsp;<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p><strong>E adivinhe s\u00f3?<\/strong> Os s\u00f3lidos s\u00e3o figuras da Geometria <strong>Espacial.<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p><strong>Isso j\u00e1 nos d\u00e1 uma dica: o espa\u00e7o \u00e9 o conjunto de v\u00e1rios planos, <\/strong>de modo que n\u00e3o haja nenhuma dist\u00e2ncia entre eles.<strong> <\/strong>O espa\u00e7o \u00e9 tudo o que est\u00e1 ao redor, <strong>\u00e9 como o universo.<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p><strong>Sendo assim, podemos associar que: <\/strong>cada v\u00e9rtice \u00e9 um ponto, cada aresta \u00e9 uma reta, cada face \u00e9 um plano e o espa\u00e7o \u00e9 onde todos esses elementos se encontram!<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"6\">Quais s\u00e3o as posi\u00e7\u00f5es relativas entre planos?<\/h2>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" width=\"600\" height=\"300\" src=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/07\/Quais-sao-as-posicoes-relativas-entre-planos.jpg\" alt=\"Quais-s\u00e3o-as-posi\u00e7\u00f5es-relativas-entre-planos\" class=\"wp-image-21972\" srcset=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/07\/Quais-sao-as-posicoes-relativas-entre-planos.jpg 600w, https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/07\/Quais-sao-as-posicoes-relativas-entre-planos-300x150.jpg 300w, https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2021\/07\/Quais-sao-as-posicoes-relativas-entre-planos-320x160.jpg 320w\" sizes=\"(max-width: 600px) 100vw, 600px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p>N\u00f3s s\u00f3 lidamos com um \u00fanico plano na Geometria Plana, mas na Espacial veremos v\u00e1rios ao mesmo tempo. Assim, \u00e9 poss\u00edvel <strong>classificar os planos dependendo da posi\u00e7\u00e3o que eles t\u00eam entre si.<\/strong><\/p>\n\n\n\n<ul><li><strong>Paralelos ou deformes:<\/strong> N\u00e3o possuem nenhum ponto em comum. Ex: os planos das bases dos cilindros.<\/li><li><strong>Secantes ou Concorrentes: <\/strong>possuem pontos em comum, formando uma reta na interse\u00e7\u00e3o.<\/li><li><strong>Ortogonais ou Perpendiculares:<\/strong> s\u00e3o planos secantes que formam \u00e2ngulos especificamente de 90\u00b0.<\/li><\/ul>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"7\">Resumo: como podemos caracterizar os planos?<\/h2>\n\n\n\n<ul><li>O plano \u00e9 uma <strong>superf\u00edcie reta, n\u00e3o faz curva.<\/strong><\/li><li>O plano \u00e9 bidimensional (podemos medir sua altura e largura, como uma folha de papel).<\/li><li>\u00c9 representado por <strong>letras gregas min\u00fasculas<\/strong>, como \u03b1, \u03b2, etc.<\/li><li>O plano <strong>\u00e9 infinito.<\/strong><\/li><li>\u00c9 poss\u00edvel desenhar figuras sobre o plano.<\/li><li>Um plano pode ser formado por 3 pontos n\u00e3o colineares (imagine um tri\u00e2ngulo, ele \u00e9 uma regi\u00e3o plana com 3 v\u00e9rtices).<\/li><li>Tamb\u00e9m pode ser formado por 1 reta mais um ponto fora dela.<\/li><li>Um plano pode ser formado por duas retas concorrentes ou paralelas distintas.<\/li><li>H\u00e1 posi\u00e7\u00f5es relativas entre os planos.<\/li><\/ul>\n\n\n\n<p>Alguns matem\u00e1ticos, como <a href=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/materias\/filosofia\/filosofos-mais-caem-enem\/\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">Descartes<\/a>, fizeram um plano com elementos destacados. Estamos falando daquele que tem 2 retas em sentidos diferentes e alguns de seus pontos s\u00e3o representados por n\u00fameros.<\/p>\n\n\n\n<p><strong>\u00c9 isso mesmo, estamos falando do <\/strong><a href=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/materias\/matematica\/plano-cartesiano\/\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\"><strong>Plano Cartesiano!<\/strong><\/a><strong> <\/strong>\u00c9 essencial saber seus elementos e como us\u00e1-lo, n\u00e3o deixe de ler o artigo!<\/p>\n\n\n\n<p><strong>Gostou do nosso resumo sobre os planos na matem\u00e1tica?<\/strong> Confira outros artigos do nosso blog e se prepare para o Enem da melhor maneira! 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