{"id":5429,"date":"2019-03-28T13:19:35","date_gmt":"2019-03-28T16:19:35","guid":{"rendered":"https:\/\/beduka.com\/blog\/?p=5429"},"modified":"2020-05-21T16:52:33","modified_gmt":"2020-05-21T19:52:33","slug":"exercicios-sobre-progressao-aritmetica","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/beduka.com\/blog\/exercicios\/matematica-exercicios\/exercicios-sobre-progressao-aritmetica\/","title":{"rendered":"Exerc\u00edcios sobre Progress\u00e3o Aritm\u00e9tica (P.A) com Gabarito"},"content":{"rendered":"\n

Progress\u00e3o aritm\u00e9tica \u00e9 a diferen\u00e7a entre um n\u00famero e seu antecessor, resultando sempre num mesmo valor, chamado raz\u00e3o. H\u00e1 muitos n\u00edveis de dificuldades para exerc\u00edcios sobre P.A, por isso \u00e9 importante treinar.<\/em><\/strong><\/p><\/blockquote>\n\n\n\n

Um assunto de matem\u00e1tica muito importante e que costuma cair em diversos vestibulares \u00e9 a progress\u00e3o aritm\u00e9tica. Por isso, que tal aprender a resolver alguns exerc\u00edcios sobre o tema? Veja o que \u00e9 progress\u00e3o aritm\u00e9tica, suas propriedades e classifica\u00e7\u00f5es, al\u00e9m de exerc\u00edcios sobre progress\u00e3o aritm\u00e9tica.
<\/p>\n\n\n\n

O Beduka tamb\u00e9m possui outros conte\u00fados de matem\u00e1tica que podem te ajudar a se preparar para o ENEM e outros vestibulares. Veja o que s\u00e3o s\u00f3lidos geom\u00e9tricos<\/a>, saiba quais s\u00e3o as f\u00f3rmulas de trigonometria no tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo<\/a> e aprenda a transformar n\u00famero decimal em fra\u00e7\u00e3o<\/a>.
<\/p>\n\n\n\n

Voc\u00ea tamb\u00e9m pode testar os seus conhecimentos no nosso simulado<\/a>. \u00c9 gr\u00e1tis! Baixe o nosso Plano de Estudos<\/a> para se organizar melhor.<\/p>\n\n\n\n

O que \u00e9 Progress\u00e3o Aritm\u00e9tica?<\/h2>\n\n\n\n

A progress\u00e3o aritm\u00e9tica (P.A)<\/a> \u00e9 um tipo de sequ\u00eancia num\u00e9rica em que a diferen\u00e7a entre um termo e seu antecessor resulta sempre em um mesmo valor<\/strong>, chamado de raz\u00e3o (r).
<\/p>\n\n\n\n

Considere a sequ\u00eancia a seguir:
<\/p>\n\n\n\n

(5,7,9,11,13,15,17)<\/strong>
<\/p>\n\n\n\n

Essa sequ\u00eancia \u00e9 uma progress\u00e3o aritm\u00e9tica, pois os seus elementos s\u00e3o formados pela soma do seu antecessor com a constante 2<\/strong>. Ou seja, essa constante \u00e9 a raz\u00e3o que hav\u00edamos mencionado.
<\/p>\n\n\n\n

Definimos o tamanho de uma sequ\u00eancia pelo n\u00famero de termos que ela possui, o que nos traz a possibilidade de que ela seja infinita ou finita.<\/strong>
<\/p>\n\n\n\n

Dependendo do valor de r a progress\u00e3o aritm\u00e9tica pode ser crescente, constante ou decrescente.
<\/p>\n\n\n\n

P.A crescente:<\/strong> r > 0, ent\u00e3o os elementos estar\u00e3o em ordem crescente.
<\/p>\n\n\n\n

P.A constate:<\/strong> r = 0, ent\u00e3o os elementos ser\u00e3o todos iguais.
<\/p>\n\n\n\n

P.A decrescente:<\/strong> r < 0, ent\u00e3o os elementos estar\u00e3o em ordem decrescente. <\/p>\n\n\n\n

Termo Geral de uma Progress\u00e3o Aritm\u00e9tica<\/h2>\n\n\n\n

A partir do 2\u00ba termo da sequ\u00eancia, todos s\u00e3o obtidos com a soma de um n\u00famero fixo. <\/strong>Vejamos a sequ\u00eancia dos n\u00fameros naturais: Cada termo, iniciando com 0 (a<\/strong>1<\/sub><\/strong>)<\/strong> \u00e9 obtido somando 1 ao seu anterior.
<\/p>\n\n\n\n

Veja abaixo:
<\/p>\n\n\n\n

a<\/strong>2<\/sub><\/strong> = a<\/strong>1<\/sub><\/strong> + 1 = 1<\/strong>
<\/p>\n\n\n\n

a<\/strong>3<\/sub><\/strong> = a<\/strong>2<\/sub><\/strong> + 1 = (a<\/strong>1<\/sub><\/strong>+1)+1 = 2<\/strong>
<\/p>\n\n\n\n

a<\/strong>4<\/sub><\/strong> = a<\/strong>3<\/sub><\/strong> + 1 = (a<\/strong>2<\/sub><\/strong>+1)+1 = [(a<\/strong>1<\/sub><\/strong>+1)+1]+1 = 3<\/strong>
<\/p>\n\n\n\n

E assim, sucessivamente.
<\/p>\n\n\n\n

Vamos agora reescrever os termos da sequ\u00eancia em fun\u00e7\u00e3o de r (raz\u00e3o). Veja:<\/p>\n\n\n\n

a<\/strong>2<\/sub><\/strong> = a<\/strong>1<\/sub><\/strong> + r<\/strong>
<\/p>\n\n\n\n

a<\/strong>3<\/sub><\/strong> = a<\/strong>2<\/sub><\/strong> + r = (a<\/strong>1<\/sub><\/strong>+r)+r  = a<\/strong>1<\/sub><\/strong>+2r<\/strong>
<\/p>\n\n\n\n

a<\/strong>4<\/sub><\/strong> = a<\/strong>3<\/sub><\/strong> + r = (a<\/strong>2<\/sub><\/strong>+r)+r = [(a<\/strong>1<\/sub><\/strong>+r)+r]+r = a<\/strong>1<\/sub><\/strong>+3r<\/strong>
<\/p>\n\n\n\n

E assim, sucessivamente.
<\/p>\n\n\n\n

Se continuarmos realizando esta opera\u00e7\u00e3o para os pr\u00f3ximos termos, encontramos ent\u00e3o a F\u00d3RMULA DA P.A, para determinar o termo geral de uma progress\u00e3o aritm\u00e9tica, que ser\u00e1 dado por:
<\/p>\n\n\n\n

a<\/strong>n<\/sub><\/strong> = a<\/strong>1<\/sub><\/strong> + (n-1)r<\/strong>
<\/p>\n\n\n\n

E supondo um caso em que n\u00e3o sabemos qual \u00e9 o seu primeiro termo, podemos usar uma forma generalizada do termo geral da P.A.<\/strong> Sejam m<\/em> e n<\/em> posi\u00e7\u00f5es quaisquer dos termos, temos:
<\/p>\n\n\n\n

a<\/strong>n<\/sub><\/strong> = a<\/strong>m<\/sub><\/strong> + (n-m)r<\/strong>
<\/p>\n\n\n\n

Imagine que seja necess\u00e1rio obter o 500\u00ba termo da sequ\u00eancia dos n\u00fameros naturais. Como a1 <\/sub>= 0, r = 1 e buscamos o termo a500<\/sub>, pela f\u00f3rmula teremos:
<\/p>\n\n\n\n

a500<\/sub> = a1<\/sub>+(500-1)r<\/p>\n\n\n\n

a500<\/sub> = 0+(500-1) . 1<\/p>\n\n\n\n

a500<\/sub> = 499<\/p>\n\n\n\n

O termo da 500\u00aa posi\u00e7\u00e3o dos n\u00fameros naturais \u00e9 o n\u00famero 499.<\/p>\n\n\n\n

Propriedades da Progress\u00e3o Aritm\u00e9tica<\/h2>\n\n\n\n

A P.A  tem algumas propriedades importantes<\/strong> que devem ser levadas em considera\u00e7\u00e3o na hora de estudar:<\/p>\n\n\n\n

1\u00aa propriedade<\/h3>\n\n\n\n

Em uma P.A finita, a soma de dois termos equidistantes, ou seja, que apresentam a mesma dist\u00e2ncia dos extremos \u00e9 igual a soma dos extremos. <\/p>\n\n\n\n

Exemplo:<\/strong><\/p>\n\n\n\n

\"1\u00aa<\/figure><\/div>\n\n\n\n

2\u00aa propriedade<\/h3>\n\n\n\n

Se considerarmos 3 termos consecutivos de uma P.A, o termo do meio ser\u00e1 igual a m\u00e9dia aritm\u00e9tica dos outros dois termos.<\/p>\n\n\n\n

Exemplo:<\/strong><\/p>\n\n\n\n

\"2\u00aa<\/figure><\/div>\n\n\n\n

3\u00aa propriedade<\/h3>\n\n\n\n

Em uma P.A finita com n\u00famero de termos \u00edmpar, o termo central ser\u00e1 igual a m\u00e9dia aritm\u00e9tica do primeiro termo com o \u00faltimo termo.<\/p>\n\n\n\n

Exemplo:<\/strong><\/p>\n\n\n\n

\"3\u00aa<\/figure><\/div>\n\n\n\n

Exerc\u00edcios sobre Progress\u00e3o Aritm\u00e9tica – gabarito ao final<\/h2>\n\n\n\n

Fa\u00e7a essas quest\u00f5es sem olhar a resposta. Tente de verdade.<\/p>\n\n\n\n

1- (PUC-RIO) <\/a>– Numa progress\u00e3o aritm\u00e9tica de raz\u00e3o r e primeiro termo 3, a soma dos primeiros n termos \u00e9 3n\u00b2, logo, a raz\u00e3o \u00e9:<\/p>\n\n\n\n

a) 2
b) 3
c) 6
d) 7
e) 9<\/p>\n\n\n\n

2- (ENEM)<\/a> – Jogar baralho \u00e9 uma atividade que estimula o racioc\u00ednio. Um jogo tradicional \u00e9 a Paci\u00eancia, que utiliza 52 cartas. Inicialmente s\u00e3o formadas sete colunas com as cartas. A primeira coluna tem uma carta, a segunda tem duas cartas, a terceira tem tr\u00eas cartas, a quarta tem quatro cartas, e assim sucessivamente at\u00e9 a s\u00e9tima coluna, a qual tem sete cartas, e o que sobra forma o monte, que s\u00e3o as cartas n\u00e3o utilizadas nas colunas. A quantidade de cartas que forma o monte \u00e9:<\/p>\n\n\n\n

a) 21
b) 24
c) 26
d) 28
e) 31<\/p>\n\n\n\n

3. (Unicamp) <\/a>– Se (a1<\/sub>, a2<\/sub>,…, a13<\/sub>) \u00e9 uma progress\u00e3o aritm\u00e9tica (P.A) cuja soma dos termos \u00e9 igual a 78, ent\u00e3o a7<\/sub> \u00e9 igual a<\/p>\n\n\n\n

a) 6
b) 7
c) 8
d) 9<\/p>\n\n\n\n

4. (ENEM)<\/a> – Sob a orienta\u00e7\u00e3o de um mestre de obras, Jo\u00e3o e Pedro trabalharam na reforma de um edif\u00edcio. Jo\u00e3o efetuou reparos na parte hidr\u00e1ulica nos andares 1, 3, 5, 7, e assim sucessivamente, de dois em dois andares. Pedro trabalhou na parte el\u00e9trica nos andares 1, 4, 7, 10, e assim sucessivamente, de tr\u00eas em tr\u00eas andares. Coincidentemente, terminaram seus trabalhos no \u00faltimo andar. Na conclus\u00e3o da reforma, o mestre de obras informou, em seu relat\u00f3rio, o n\u00famero de andares do edif\u00edcio. Sabe-se que, ao longo da execu\u00e7\u00e3o da obra, em exatamente 20 andares, foram realizados reparos nas partes hidr\u00e1ulica e el\u00e9trica por Jo\u00e3o e Pedro. Qual \u00e9 o n\u00famero de andares desse edif\u00edcio?<\/p>\n\n\n\n

a) 40
b) 60
c) 100
d) 115
e) 120<\/p>\n\n\n\n

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Abaixo apresentamos mais exerc\u00edcios resolvidos<\/strong> nos quais voc\u00ea pode se aprofundar mais:
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