{"id":7448,"date":"2019-05-17T16:22:08","date_gmt":"2019-05-17T19:22:08","guid":{"rendered":"https:\/\/beduka.com\/blog\/?p=7448"},"modified":"2023-10-18T11:00:00","modified_gmt":"2023-10-18T14:00:00","slug":"progressao-aritmetica-e-geometrica","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/beduka.com\/blog\/materias\/matematica\/progressao-aritmetica-e-geometrica\/","title":{"rendered":"Progress\u00e3o Aritm\u00e9tica e Geom\u00e9trica (PA e PG)"},"content":{"rendered":"\n
\n

Progress\u00e3o aritm\u00e9tica e geom\u00e9trica: a progress\u00e3o \u00e9 uma sequ\u00eancia de n\u00fameros no qual a diferen\u00e7a entre um termo e seu precedente \u00e9 sempre uma constante. Progress\u00e3o geom\u00e9trica \u00e9 uma sequ\u00eancia de n\u00fameros em que o quociente entre um termo e seu precedente \u00e9 sempre uma constante. <\/em><\/strong><\/p>\n<\/blockquote>\n\n\n\n

Aprenda um pouco mais de matem\u00e1tica com esse artigo sobre Progress\u00e3o Aritm\u00e9tica e Geom\u00e9trica que o Beduka preparou para te ajudar a se preparar para o Enem<\/a> e outros vestibulares. <\/p>\n\n\n\n

N\u00e3o deixe de conferir nossos exerc\u00edcios sobre progress\u00e3o aritm\u00e9tica <\/a>e os <\/a>exerc\u00edcios sobre progress\u00e3o geom\u00e9trica<\/a>.<\/p>\n\n\n\n

Voc\u00ea tamb\u00e9m pode testar os seus conhecimentos sobre diversas mat\u00e9rias no nosso Simulado Enem.<\/a> \u00c9 gratuito!<\/p>\n\n\n\n

J\u00e1 escrevemos um artigo explicando o movimento circular uniforme<\/a>, fizemos um resumo de conjuntos num\u00e9ricos<\/a> mostrando os temas que mais caem na prova e tamb\u00e9m explicamos o que \u00e9 hidrost\u00e1tica.<\/a><\/p>\n\n\n\n

O que \u00e9 Progress\u00e3o?<\/h2>\n\n\n\n

O termo progress\u00e3o<\/strong> se relaciona com a ideia de sucessividade<\/strong>. Na matem\u00e1tica, a progress\u00e3o \u00e9 caracterizada como uma sequ\u00eancia num\u00e9rica<\/strong> de quantidades, isto \u00e9, que acontece de maneira sucessiva. Uma progress\u00e3o \u00e9 estabelecida por uma lei de forma\u00e7\u00e3o<\/strong>, que se define em uma f\u00f3rmula matem\u00e1tica. <\/p>\n\n\n\n

A posi\u00e7\u00e3o de um termo em uma sequ\u00eancia pode ser chamada de n <\/strong>(1\u00aa, 2\u00aa, 3\u00aa, …, n\u00aa). Dizemos tamb\u00e9m que o primeiro e o \u00faltimo termo de uma sequ\u00eancia finita ( e ) s\u00e3o chamados de extremos de uma sequ\u00eancia. Podemos ent\u00e3o represent\u00e1-la da seguinte forma:<\/p>\n\n\n\n

(a1<\/sub><\/strong>, a2<\/sub><\/strong>, a3<\/sub><\/strong>, a4<\/sub><\/strong>, … an<\/sub><\/strong>)<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Existem dois tipos de progress\u00e3o: a Aritm\u00e9tica<\/strong> e a Geom\u00e9trica<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n

Progress\u00e3o Aritm\u00e9tica (PA)<\/h2>\n\n\n\n

A Progress\u00e3o Aritm\u00e9tica <\/strong>(PA) \u00e9 a sequ\u00eancia num\u00e9rica em que cada termo, a partir do segundo, \u00e9 determinado pela soma<\/strong> do termo antecessor por uma constante r, chamada de raz\u00e3o<\/strong>. Utiliza-se a seguinte f\u00f3rmula para determinar os termos da sequ\u00eancia:<\/p>\n\n\n\n

a<\/strong>n<\/sub><\/strong> = a<\/strong>1<\/sub><\/strong> + (n \u2013 1) . r<\/strong><\/p>\n\n\n\n

a<\/strong>n<\/sub><\/strong> <\/sub>=<\/strong> n-\u00e9simo termo da sequ\u00eancia (n-\u00e9simo \u00e9 o n\u00famero que ou o que ocupa a posi\u00e7\u00e3o n<\/em> em uma sequ\u00eancia)<\/p>\n\n\n\n

a<\/strong>1<\/sub><\/strong> =<\/strong> primeiro termo<\/p>\n\n\n\n

n = <\/strong>posi\u00e7\u00e3o do termo na sequ\u00eancia<\/p>\n\n\n\n

r =<\/strong> raz\u00e3o<\/p>\n\n\n\n

EXEMPLO<\/strong>:<\/p>\n\n\n\n

(4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25…)<\/p>\n\n\n\n

Essa \u00e9 uma sequ\u00eancia que pode ser classificada como progress\u00e3o aritm\u00e9tica, pois a raz\u00e3o <\/strong>r<\/strong><\/em> = 3<\/strong> e o primeiro termo \u00e9 4.<\/p>\n\n\n\n

(1, 2, -2, 3, -3, 4, -4…)<\/p>\n\n\n\n

Essa sequ\u00eancia n\u00e3o \u00e9 uma progress\u00e3o aritm\u00e9tica.<\/strong> Apesar de ter regularidade e seja poss\u00edvel prever os pr\u00f3ximos termos, n\u00e3o h\u00e1 uma soma de uma raz\u00e3o que gere o pr\u00f3ximo termo.<\/p>\n\n\n\n

Para determinar a soma dos n primeiros termos <\/strong>de uma PA, utiliza-se a f\u00f3rmula:<\/p>\n\n\n\n

Sn<\/sub><\/strong>= n . (a1<\/sub><\/strong> + an<\/sub><\/strong>) \/  2<\/strong><\/p>\n\n\n\n

S<\/strong>n<\/sub><\/strong> =<\/strong> soma dos n primeiros termos de uma PA<\/p>\n\n\n\n

n = <\/strong>posi\u00e7\u00e3o do termo na sequ\u00eancia<\/p>\n\n\n\n

a<\/strong>1<\/sub><\/strong> =<\/strong> primeiro termo da sequ\u00eancia<\/p>\n\n\n\n

a<\/strong>n<\/sub><\/strong> =<\/strong> n-\u00e9simo termo da sequ\u00eancia<\/p>\n\n\n\n

Termo Central da Progress\u00e3o Aritm\u00e9tica<\/strong><\/h3>\n\n\n\n

Em uma PA com n\u00famero \u00edmpar de termos, o termo central <\/strong>pode ser definido como sendo o termo que divide a PA em dois conjuntos de n\u00fameros de elementos iguais. O c\u00e1lculo do termo central<\/strong> de uma PA \u00e9 obtido atrav\u00e9s da m\u00e9dia aritm\u00e9tica dos extremos da PA.<\/p>\n\n\n\n

Tc<\/sub><\/strong>= (a1<\/sub><\/strong> + an<\/sub><\/strong>) \/ 2<\/strong><\/p>\n\n\n\n

T<\/strong>c<\/sub><\/strong> =<\/strong> soma dos n primeiros termos de uma PA<\/p>\n\n\n\n

a<\/strong>1<\/sub><\/strong> =<\/strong> primeiro termo da sequ\u00eancia<\/p>\n\n\n\n

a<\/strong>n<\/sub><\/strong> =<\/strong> \u00faltimo termo da sequ\u00eancia<\/p>\n\n\n\n

Lembrando que o termo central s\u00f3 poder ser calculado em Progress\u00f5es Aritm\u00e9ticas que s\u00e3o finitas.<\/p>\n\n\n\n

Tipos de Progress\u00e3o Aritm\u00e9tica<\/strong><\/h3>\n\n\n\n
    \n
  1. Progress\u00e3o Aritm\u00e9tica Finita;<\/li>\n\n\n\n
  2. Progress\u00e3o Aritm\u00e9tica Infinita; <\/li>\n\n\n\n
  3. Progress\u00e3o Aritm\u00e9tica Crescente;<\/li>\n\n\n\n
  4. Progress\u00e3o Aritm\u00e9tica Decrescente;<\/li>\n\n\n\n
  5. Progress\u00e3o Aritm\u00e9tica Constante.<\/li>\n<\/ol>\n\n\n\n

    1. Progress\u00e3o Aritm\u00e9tica Finita<\/strong><\/h4>\n\n\n\n

    \u00c9 a PA que tem um n\u00famero definido de termos. Por exemplo, uma PA de cinco termos na qual o termo inicial \u00e9 0 e a raz\u00e3o \u00e9 2:<\/p>\n\n\n\n

    PA (0, 2, 4, 6, 8)<\/p>\n\n\n\n

    2. Progress\u00e3o Aritm\u00e9tica Infinita<\/strong> <\/h4>\n\n\n\n

    A PA \u00e9 infinita quando o dom\u00ednio onde ela est\u00e1 \u00e9 infinito. Veja o exemplo abaixo:<\/p>\n\n\n\n

    PA (10, 11, 12, 13, 14\u2026)<\/p>\n\n\n\n

    3. Progress\u00e3o Aritm\u00e9tica Crescente<\/strong><\/h4>\n\n\n\n

    Uma PA \u00e9 crescente quando a raz\u00e3o entre os termos \u00e9 positiva, ou seja, r > 0. Assim, cada novo termo \u00e9 maior que o anterior.<\/p>\n\n\n\n

    4. Progress\u00e3o Aritm\u00e9tica Decrescente<\/strong> <\/h4>\n\n\n\n

    Quando a raz\u00e3o \u00e9 negativa (r < 0), ent\u00e3o a PA \u00e9 decrescente, pois cada novo termo \u00e9 menor que o anterior.<\/p>\n\n\n\n

    5. Progress\u00e3o Aritm\u00e9tica Constante<\/strong><\/h4>\n\n\n\n

    A PA pode ser constante<\/strong>, se r = 0. Nessa situa\u00e7\u00e3o, os termos s\u00e3o todos iguais.<\/p>\n\n\n\n

    Progress\u00e3o Geom\u00e9trica (PG)<\/h2>\n\n\n\n

    Progress\u00e3o Geom\u00e9trica (PG)<\/strong> pode-se definir como uma sequ\u00eancia num\u00e9rica em que cada termo, a partir do segundo, pode ser determinado atrav\u00e9s da multiplica\u00e7\u00e3o do termo anterior por uma raz\u00e3o q<\/strong>. A f\u00f3rmula utilizada para a determina\u00e7\u00e3o dos termos de uma PG \u00e9:<\/p>\n\n\n\n

    a<\/strong>n<\/sub><\/strong> = a<\/strong>1<\/sub><\/strong> . q<\/strong>n \u2013 1<\/sup><\/strong><\/p>\n\n\n\n

    a<\/strong>n<\/sub><\/strong> = <\/strong>n-\u00e9simo termo da sequ\u00eancia<\/p>\n\n\n\n

    a<\/strong>1<\/sub><\/strong> =<\/strong> primeiro termo da sequ\u00eancia<\/p>\n\n\n\n

    q =<\/strong> raz\u00e3o<\/p>\n\n\n\n

    n =<\/strong> posi\u00e7\u00e3o do termo da sequ\u00eancia<\/p>\n\n\n\n

    EXEMPLO:<\/strong><\/p>\n\n\n\n

    PG de raz\u00e3o 3 em que o primeiro termo \u00e9 2.<\/p>\n\n\n\n

    Os termos da sequ\u00eancia s\u00e3o representados por (a1<\/sub>, a2<\/sub>, a3<\/sub>, a4<\/sub>, a5<\/sub> \u2026).<\/p>\n\n\n\n

    a1 <\/sub>= 2<\/p>\n\n\n\n

    a2 <\/sub>= 2.3 = 6<\/p>\n\n\n\n

    a3 <\/sub>= 6.3 = 18<\/p>\n\n\n\n

    a4 <\/sub>= 18.3 = 54<\/p>\n\n\n\n

    a5 <\/sub>= 54.3 = 162.<\/p>\n\n\n\n

    A PG do exemplo \u00e9, portanto, (2,6,18,54,162…).<\/p>\n\n\n\n

    Para determinar a soma dos n primeiros termos de uma PG, utiliza-se a f\u00f3rmula:<\/p>\n\n\n\n

    Sn<\/sub><\/strong> = a1<\/sub><\/strong> . (qn<\/sup><\/strong> <\/strong>\u2013 1) \/ q – 1<\/strong><\/p>\n\n\n\n

    S<\/strong>n<\/sub><\/strong> =<\/strong> soma dos n primeiros termos de um PG<\/p>\n\n\n\n

    a<\/strong>1<\/sub><\/strong> =<\/strong> primeiro termo da sequ\u00eancia<\/p>\n\n\n\n

    q =<\/strong> raz\u00e3o<\/p>\n\n\n\n

    n =<\/strong> posi\u00e7\u00e3o do termo na sequ\u00eancia<\/p>\n\n\n\n

    As progress\u00f5es geom\u00e9tricas tamb\u00e9m pode ser classificadas em finitas, infinitas, decrescentes, crescentes e constantes. Al\u00e9m dessas classifica\u00e7\u00f5es, as progress\u00f5es geom\u00e9tricas que possuem a raz\u00e3o negativa s\u00e3o chamadas de alternadas, porque seus termos s\u00e3o alternadamente positivos e negativos.<\/p>\n\n\n\n

    O Beduka te ajuda a passar no vestibular<\/h2>\n\n\n\n

    Voc\u00ea acabou de conferir uma explica\u00e7\u00e3o sobre a Progress\u00e3o Aritm\u00e9tica e Geom\u00e9trica. Prepare-se para o vestibular com outros conte\u00fados que o Beduka j\u00e1 disponibilizou. Aproveite para descobrir o que \u00e9 tri\u00e2ngulo is\u00f3sceles<\/a>, ver como aprender geometria <\/a>ou at\u00e9 mesmo conferir como transformar n\u00famero decimal em fra\u00e7\u00e3o.<\/a><\/p>\n\n\n\n

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    Se voc\u00ea estiver se preparando para o ENEM, pode ainda testar os seus conhecimentos respondendo algumas quest\u00f5es que ca\u00edram em edi\u00e7\u00f5es antigas do Exame em nosso Simulado Enem gratuito.<\/a><\/p>\n\n\n\n

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    Experimente agora!<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

    Progress\u00e3o aritm\u00e9tica e geom\u00e9trica: a progress\u00e3o \u00e9 uma sequ\u00eancia de n\u00fameros no qual a diferen\u00e7a entre um termo e seu precedente \u00e9 sempre uma constante. Progress\u00e3o geom\u00e9trica \u00e9 uma sequ\u00eancia de n\u00fameros em que o quociente entre um termo e seu precedente \u00e9 sempre uma constante. 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Veja as defini\u00e7\u00f5es, f\u00f3rmulas, os principais tipos.\" \/>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/materias\/matematica\/progressao-aritmetica-e-geometrica\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"pt_BR\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Progress\u00e3o Aritm\u00e9tica e Geom\u00e9trica - Defini\u00e7\u00e3o, Tipos e F\u00f3rmulas\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Aprenda tudo sobre Progress\u00e3o Aritm\u00e9tica e Geom\u00e9trica (PA e PG). 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