{"id":7800,"date":"2019-05-31T16:24:41","date_gmt":"2019-05-31T19:24:41","guid":{"rendered":"https:\/\/beduka.com\/blog\/?p=7800"},"modified":"2020-05-21T15:48:15","modified_gmt":"2020-05-21T18:48:15","slug":"resumo-de-analise-combinatoria","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/beduka.com\/blog\/materias\/matematica\/resumo-de-analise-combinatoria\/","title":{"rendered":"Resumo de An\u00e1lise Combinat\u00f3ria! Principio fundamental da contagem"},"content":{"rendered":"\n<blockquote class=\"wp-block-quote\"><p><strong><em>A an\u00e1lise combinat\u00f3ria \u00e9 a parte da Matem\u00e1tica respons\u00e1vel por estudar m\u00e9todos e t\u00e9cnicas que resolvem problemas relacionados \u00e0 contagem. Ela faz an\u00e1lise das possibilidades e combina\u00e7\u00f5es poss\u00edveis entre um conjunto de elementos, e \u00e9 muito utilizada nos estudos sobre probabilidade.<\/em><\/strong><br><\/p><\/blockquote>\n\n\n\n<p>Aprenda um pouco mais de matem\u00e1tica com esse Resumo de An\u00e1lise Combinat\u00f3ria que o Beduka preparou para te ajudar a se preparar para o ENEM e outros vestibulares.<br><\/p>\n\n\n\n<p>N\u00e3o deixe de conferir nossos <a rel=\"noreferrer noopener\" aria-label=\" (abre numa nova aba)\" href=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/exercicios\/matematica-exercicios\/exercicios-sobre-analise-combinatoria\/\" target=\"_blank\">exerc\u00edcios sobre An\u00e1lise Combinat\u00f3ria.<\/a><br><\/p>\n\n\n\n<p>Nesse artigo vamos falar sobre:<br><\/p>\n\n\n\n<ul><li>Resumo de An\u00e1lise Combinat\u00f3ria;<\/li><li>Princ\u00edpio fundamental da contagem;<\/li><li>Fatorial, arranjo, permuta\u00e7\u00e3o e combina\u00e7\u00e3o;<\/li><\/ul>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">O que \u00e9 An\u00e1lise Combinat\u00f3ria?<\/h2>\n\n\n\n<p>Para come\u00e7ar a fazer um resumo de <strong>an\u00e1lise combinat\u00f3ria<\/strong>, precisamos entender primeiro o que ela significa. <br><\/p>\n\n\n\n<p>A an\u00e1lise combinat\u00f3ria pode ser definida como sendo um <strong>conjunto de t\u00e9cnicas e m\u00e9todos <\/strong>que estudam as <strong>combina\u00e7\u00f5es e possibilidades das vari\u00e1veis de um conjunto<\/strong>. Constitu\u00eddo por elementos finitos, a an\u00e1lise combinat\u00f3ria se baseia em par\u00e2metros que possibilitam a contagem. <br><\/p>\n\n\n\n<p>Entender o que \u00e9 an\u00e1lise combinat\u00f3ria \u00e9 fundamental para quem deseja se sair bem na prova do ENEM ou em outro vestibular, pois esse tema \u00e9 bastante frequente nas provas de Matem\u00e1tica. Al\u00e9m de envolver c\u00e1lculos matem\u00e1ticos, a an\u00e1lise combinat\u00f3ria tamb\u00e9m abrange fatores l\u00f3gicos.<br><\/p>\n\n\n\n<p>A an\u00e1lise combinat\u00f3ria se resume em 6 procedimentos principais:<br><\/p>\n\n\n\n<ol><li>Fatorial;<\/li><li>Princ\u00edpio fundamental da contagem;<\/li><li>Arranjos simples;<\/li><li>Permuta\u00e7\u00e3o simples;<\/li><li>Combina\u00e7\u00e3o;<\/li><li>Permuta\u00e7\u00e3o com elementos repetidos.<\/li><\/ol>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><strong>1. Fatorial<\/strong><\/h2>\n\n\n\n<p>Considerando n um n\u00famero natural maior que 1, o <strong>fatorial <\/strong>desse n\u00famero n, que \u00e9 representado por <strong>n!<\/strong>, pode ser definido como:<br><\/p>\n\n\n\n<p style=\"text-align:center\">n! = n(n \u2013 1) x (n \u2013 2) x (n \u2013 3)x\u2026x 3 x 2 x 1<br><\/p>\n\n\n\n<p>L\u00ea-se <strong>n!<\/strong> como: n fatorial ou fatorial de n.<br><\/p>\n\n\n\n<p>N\u00e3o deixe de conferir nossos <a href=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/exercicios\/matematica-exercicios\/exercicios-sobre-fatorial\/\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\" aria-label=\" (abre numa nova aba)\">exerc\u00edcios sobre fatorial <\/a>com gabarito!<br><\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">2. Princ\u00edpio Fundamental da Contagem<\/h2>\n\n\n\n<p>De acordo com o princ\u00edpio fundamental da contagem, se um evento \u00e9 composto por duas ou mais etapas sucessivas e independentes, o n\u00famero de combina\u00e7\u00f5es ser\u00e1 determinado pelo produto entre as possibilidades de cada conjunto.<br><\/p>\n\n\n\n<p><strong>Exemplo:<\/strong> <\/p>\n\n\n\n<p>Numa pizzaria h\u00e1 8 tipos de sabores, 5 tipos de sucos e 6 tipos de sobremesas. Quantas s\u00e3o as poss\u00edveis combina\u00e7\u00f5es de um lanche nessa pizzaria?<br><\/p>\n\n\n\n<p>Utilizando o princ\u00edpio fundamental da contagem temos:<br><\/p>\n\n\n\n<p>8 x 5 x 6 = 240 maneiras de se fazer um lanche.<br><\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">3. Arranjos Simples<\/h2>\n\n\n\n<p>O arranjo simples \u00e9 o agrupamento dos elementos de um conjunto que dependem da ordem e da natureza dos mesmos.<br><\/p>\n\n\n\n<p>Para obter o arranjo simples de p elementos de um conjunto total &nbsp;n, onde p \u2264 n, utiliza-se a seguinte express\u00e3o:<br><\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" width=\"112\" height=\"38\" src=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/06\/formula-arranjo.png\" alt=\"formula arranjo\" class=\"wp-image-8634\"\/><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p style=\"text-align:center\"><strong>A<\/strong><strong>n,p <\/strong><strong>= <\/strong>Arranjo de p elementos de um total n <\/p>\n\n\n\n<p style=\"text-align:center\"><strong>n<\/strong> = elementos totais do espa\u00e7o amostral<\/p>\n\n\n\n<p style=\"text-align:center\"><strong>p= <\/strong>n\u00fameros de elementos no arranjo<br><\/p>\n\n\n\n<p><strong>Exemplo:<\/strong><br><\/p>\n\n\n\n<p>Considere uma vota\u00e7\u00e3o para escolher um representante e um vice-representante de uma turma, com 20 alunos. O mais votado ser\u00e1 o representante e o segundo mais votado o vice-representante. Dessa maneira, de quantas maneiras distintas a escolha poder\u00e1 ser feita? Nesse caso a ordem \u00e9 importante, visto que altera o resultado final.<br><\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" width=\"282\" height=\"44\" src=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/06\/exemplo-arranjo.png\" alt=\"exemplo arranjo\" class=\"wp-image-8637\"\/><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p>Logo, o arranjo pode ser feito de 380 maneiras diferentes.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">4. Permuta\u00e7\u00f5es Simples<\/h2>\n\n\n\n<p>A permuta\u00e7\u00e3o simples pode ser considerada como um caso particular de arranjo, onde os elementos ir\u00e3o formar agrupamentos que se diferenciam somente pela ordem. As permuta\u00e7\u00f5es simples dos elementos P, Q e R s\u00e3o: PQR, PRQ, QPR, QRP, RPQ, RQP. <br><\/p>\n\n\n\n<p>Se chamarmos de <strong>P<\/strong><strong><sub>n<\/sub><\/strong> a permuta\u00e7\u00e3o simples de <strong>n<\/strong> elementos distintos, podemos calcul\u00e1-la atrav\u00e9s da seguinte f\u00f3rmula:<br><\/p>\n\n\n\n<p style=\"text-align:center\"><strong>P<\/strong><strong><sub>n<\/sub><\/strong><strong> = n!<\/strong><br><\/p>\n\n\n\n<p style=\"text-align:center\">Onde n! = n x (n-1) x (n-2) &nbsp;x (n-3) x\u2026..x 3 x 2 x 1<br><\/p>\n\n\n\n<p><strong>Exemplo:<\/strong> 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">5. Combina\u00e7\u00f5es Simples<\/h2>\n\n\n\n<p>As combina\u00e7\u00f5es s\u00e3o agrupamentos em que a ordem dos elementos n\u00e3o \u00e9 importante, mas s\u00e3o caracterizadas pela natureza dos mesmos. Assim, para calcular uma combina\u00e7\u00e3o simples de n elementos tomados p a p (p \u2264 n), utiliza-se a seguinte f\u00f3rmula:<br><\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" width=\"132\" height=\"38\" src=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/06\/formula-combin\u00e7\u00e3o.png\" alt=\"formula combina\u00e7\u00e3o\" class=\"wp-image-8639\"\/><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p style=\"text-align:center\"><strong>C<\/strong><strong>n,p <\/strong><strong>= <\/strong>Combina\u00e7\u00e3o de p elementos de um total n <\/p>\n\n\n\n<p style=\"text-align:center\"><strong>n<\/strong> = elementos totais do espa\u00e7o amostral<\/p>\n\n\n\n<p style=\"text-align:center\"><strong>p= <\/strong>n\u00fameros de elementos no arranjo<\/p>\n\n\n\n<p><strong>Exemplo<\/strong><br><\/p>\n\n\n\n<p>Considerando a escolha de 3 membros para formar uma comiss\u00e3o de formatura, dentre 10 pessoas que se candidataram para fazer parte. De quantas maneiras distintas essa comiss\u00e3o poder\u00e1 ser formada? Note que, ao contr\u00e1rio dos arranjos, nas combina\u00e7\u00f5es a ordem dos elementos n\u00e3o \u00e9 relevante. Isso quer dizer que escolher Guilherme, Rafael e Juliana \u00e9 equivalente \u00e0 escolher Juliana, Rafael e Guilherme.<br><\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" width=\"375\" height=\"44\" src=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/06\/exemplo-combina\u00e7ao.png\" alt=\"exemplo combina\u00e7ao\" class=\"wp-image-8640\" srcset=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/06\/exemplo-combina\u00e7ao.png 375w, https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/06\/exemplo-combina\u00e7ao-300x35.png 300w, https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/06\/exemplo-combina\u00e7ao-320x38.png 320w\" sizes=\"(max-width: 375px) 100vw, 375px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p>Para simplificar os c\u00e1lculos, transforma-se o fatorial de 10 em produto, mas conserva-se o fatorial de 7, pois assim \u00e9 poss\u00edvel simplificar com o fatorial de 7 do denominador.<br><\/p>\n\n\n\n<p>Desta forma, existem 120 maneiras distintas de formar a comiss\u00e3o.<br><\/p>\n\n\n\n<p>Confira tamb\u00e9m nossos <a href=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/exercicios\/matematica-exercicios\/exercicios-de-probabilidade\/\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\" aria-label=\" (abre numa nova aba)\">exerc\u00edcios de probabilidade.<\/a><\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\">6. Permuta\u00e7\u00e3o de elementos repetidos<\/h2>\n\n\n\n<p>Permuta\u00e7\u00e3o de elementos repetidos deve seguir uma forma diferente da permuta\u00e7\u00e3o, pois elementos repetidos permutam entre si.<br><\/p>\n\n\n\n<p>A f\u00f3rmula da permuta\u00e7\u00e3o simples de n elementos diferentes \u00e9 representada por P<strong>n<\/strong>. Logo, tomemos como exemplo a palavra CATRACA, que tem 7 elementos:<br><\/p>\n\n\n\n<p style=\"text-align:center\"><strong>Pn = n!<\/strong><\/p>\n\n\n\n<p style=\"text-align:center\"><strong>P8 = 7! = 5040<\/strong><br><\/p>\n\n\n\n<p>Entretanto, a palavra CATRACA possui elementos repetidos, uma vez que a letra A se repete por tr\u00eas vezes e a letra C repete 2 vezes. Neste caso, outra f\u00f3rmula \u00e9 utilizada:<br><\/p>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" width=\"305\" height=\"272\" src=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/06\/permuta\u00e7\u00e3o.png\" alt=\"permuta\u00e7\u00e3o \" class=\"wp-image-8641\" srcset=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/06\/permuta\u00e7\u00e3o.png 305w, https:\/\/beduka.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/06\/permuta\u00e7\u00e3o-300x268.png 300w\" sizes=\"(max-width: 305px) 100vw, 305px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-image\"><figure class=\"aligncenter\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/lh6.googleusercontent.com\/ZbjmW1vrmRZEeZdeBiuDsqlXgX6pCFFsWbxm7mD9tcuLFaaSBVOEzAwcN11bYYNCYUzEQM_hqOYG-u4Cq2CX6BeDt7LC1RNF_sV3Wt2cOzwEXcDI1Q3kPCXqMj9Lu36FYDGJU4Hg\" alt=\"\"\/><\/figure><\/div>\n\n\n\n<p>Voc\u00ea acabou de conferir um Resumo de An\u00e1lise Combinat\u00f3ria. Estude para o ENEM e outros vestibulares com outro <a href=\"https:\/\/beduka.com\/blog\/materias\/matematica\/resumo-de-conjuntos-numericos\/\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\" aria-label=\" (abre numa nova aba)\">resumo de conjuntos num\u00e9ricos.<\/a> Voc\u00ea tamb\u00e9m pode testar os seus conhecimentos sobre diversas mat\u00e9rias no nosso <a rel=\"noreferrer noopener\" aria-label=\" (abre numa nova aba)\" href=\"https:\/\/beduka.com\/simulado\/#\/\" target=\"_blank\">Simulado ENEM.<\/a> \u00c9 gratuito!<br><\/p>\n\n\n\n<p>Gostou do Resumo de An\u00e1lise Combinat\u00f3ria? Queremos te ajudar tamb\u00e9m a encontrar a FACULDADE IDEAL! Logo abaixo, fa\u00e7a uma pesquisa por curso e cidade que te mostraremos todas as faculdades que podem te atender. 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