O Princípio fundamental da contagem (PFC), conhecido como princípio multiplicativo, é um dos tipos de cálculos da Análise Combinatória. Ele aponta que para achar o total de possibilidades de um evento com etapas sucessivas e independentes, devemos multiplicar entre si os números das possibilidades presentes em cada etapa.
Neste artigo sobre o Princípio fundamental da contagem, você encontrará:
- O que é Análise Combinatória
- O que é Princípio Fundamental da Contagem e como calcular
- Para quê serve Fatorial, como utilizar e calcular?
- Exemplos ilustrativos com diagrama!
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O que é Análise Combinatória
A Análise Combinatória é a área da Matemática que estuda as formas de resolver problemas relacionados à contagem de elementos ou às possibilidades de algo ocorrer.
Por exemplo, se queremos saber de quais modos diferentes podemos organizar pessoas na fila ou qual o número de senhas que podemos formar com 3 letras e 3 números.
Cada questão criará um contexto diferente, com elementos e objetivos distintos. Assim, você deverá saber qual método usar em cada caso!
O que é Princípio Fundamental da Contagem (PFC)
O princípio fundamental da contagem é o primeiro e mais básico método de resolver as questões da Análise Combinatória.
Ele também é conhecido como Princípio Multiplicativo e, como o próprio nome aponta, sua “lei” diz que devemos multiplicar o número de opções que há em cada etapa apresentada.
- De forma mais completa:
“Quando um evento é composto por etapas sucessivas e independentes, sendo as possibilidades da primeira etapa representadas pelo X e as da segunda por Y, o total de possibilidades será dado pelo produto entre X e Y.”
Ainda tem dúvida? Vamos a um exemplo ilustrado para facilitar:
Exemplo
Questão 01
O kit de uma lanchonete é formado por suco, sanduíche e sobremesa. As opções de suco são laranja, morango ou uva; os sanduíches podem ser de frango ou boi e a sobremesa é chocolate ou bala. Quantos kits diferentes um cliente pode montar?
Para resolver essa questão de forma fácil, vamos utilizar um diagrama de árvore:
Observe que há duas possibilidades de sanduíche, e cada uma delas possui 3 possibilidades de suco. Por sua vez, cada uma dessas tem sua possibilidade de sobremesa.
Ao todo, enxergamos 12 possibilidades!
- Contudo, nem sempre teremos espaço e tempo para desenhar as possibilidades, então precisamos entender os cálculos ques nos permitem fazer essa análise!
- Por isso existe o Princípio Fundamental da Contagem, veja como seria a resolução utilizando ele:
Foi dito que existem 3 opções de suco, 2 de sanduíche e 2 de sobremesa. Observamos que são 3 etapas independentes entre si e com um número de opções em cada uma. Por tanto, multiplicamos os seguintes fatores:
Questão 02
Juninho brincava com um dado e notou que também possuía uma moeda em seu bolso. Como era um garoto muito esperto e amava matemática, decidiu descobrir quantas possibilidades de resultados distintos há ao lançar uma moeda e um dado. Qual foi o número corretamente encontrado por ele?
Ao lançarmos uma moeda e um dado temos as seguintes possibilidades:
Moeda: cara ou coroa (2 possibilidades)
Dado: 1, 2, 3, 4, 5, 6 (6 possibilidades)
Observando o ocorrido, vemos que para cada uma das 2 possibilidades da moeda há outras 6 no dado. Portanto, o evento tem duas etapas com 2 possibilidades na primeira e 6 na segunda.
Fazendo 2 x 6 encontramos o total de 12 possibilidades totais!
Questão 03
O prefeito da Transitolândia deseja criar placas para os automóveis. Elas devem conter placas de exatamente 3 dígitos. Somente os algarismos pares podem ser utilizados e não pode haver repetição de algarismos em uma mesma placa. Quantas possibilidades de placas distintas ele terá?
Os algarismos pares são: 0,2,4,6 e 8 (4 opções) e há 3 dígitos para serem preenchidos.
Como são placas, não existe uma ordem correta para começar ou terminar. Portanto, pode colocar qualquer um dos 4 números na primeira casa. Sobrará 3 números para a segunda casa e 2 para a última, já que não pode haver repetição em uma mesma senha.
Assim, teremos que 5 x 4 x 3 = 60, logo há 60 opções de placas distintas, seguindo essas exigências do prefeito.
ATENÇÃO:
Atente-se para os detalhes dos comandos da questão!
- Se fossem permitidas repetições de números em uma mesma placa, seria um resultado diferente.
- Se fosse dito que o número da placa como um todo deve ser par e pudesse utilizar todos os algarismos de 0 a 9, deveríamos ter o cuidado de colocar primeiro os algarismos pares no último dígito da placa. Assim, garantiríamos a condição que foi dada e calcularíamos as demais possibilidades.
Para quê serve Fatorial, como utilizar e calcular?
O fatorial é uma ferramenta matemática utilizada para simplificar os cálculos matemáticos. Ele é muito utilizado na Análise Combinatória e no PFC!
O seu símbolo é o mesmo que o do sinal de exclamação “!”, e toda vez que aparecer diante de um número, significa que faremos o fatorial dele.
Observe:
- Portanto, consiste em multiplicar o número com o fatorial, por todos os seus antecessores inteiros até chegar ao 1.
Utiliza-se muito o fatorial nos cálculos de anagramas de uma palavra. Lembre-se que anagrama é a quantidade de novas palavras formadas (com ou sem sentido) utilizando as letras de outra palavra.
Exemplo
Se quisermos determinar todos os possíveis anagramas da palavra PEDRA, teremos:
A palavra é formada por 5 letras não repetidas e há 5 espaços para serem preenchidos com uma letra em cada. Portanto, podemos colocar 1 letra qualquer, dentre as 5, no primeiro espaço.
Restará 4 para o segundo, 3 para o terceiro, 2 para o quarto e 1 para o quinto. Dessa forma, se utilizarmos o PFC, teremos: 5 x 4 x 3 x 2 x 1, ou seja, o mesmo valor de 5!
Assim, sabemos que PEDRA possui 120 anagramas!
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Ver comentários (4)
Boa Tarde ! venho através dessa agradecer a oportunidade de aprender com vocês aprendi muito.
Obrigado pelo comentário, Eliane! É uma satisfação imensa saber que você conseguiu aprender. Todos os dias temos conteúdos novos, consulte sempre que quiser.
Na questão 3, em relação às placas dos carros em Transitolândia, creio que houve um equívoco, pois a questão menciona que as placas contém apenas três dígitos diferentes e que todos devem ser pares.
"O prefeito da Transitolândia deseja criar placas para os automóveis. Elas devem conter placas de exatamente 3 dígitos. Somente os algarismos pares podem ser utilizados e não pode haver repetição de algarismos em uma mesma placa. Quantas possibilidades de placas distintas ele terá?"
Sendo assim, quando falamos em algarismo consideramos de 0 à 10: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
E, destes algarismos temos cinco que são pares: 0, 2, 4, 6, e 8.
Portanto a resposta seria 5. 4. 3 = 60 placas diferentes.
Vale salientar que existem muitas discussões em relação ao algarismo 0 (zero), como também várias evidências de que ele seja considerado par. Dentre as justificativas:
Todo número terminado em zero é par, portanto ele é par;
Todo número que dividido por 2 é um número inteiro é par, logo 0 : 2 = 0, então é par;
Todo número do tipo 2n é par, como 2 . 0 = 0, logo ele é par;
E ainda todo antecessor de um número ímpar é par, como o 0 vem antes do 1 que é ímpar, concluímos que ele é par.
Obrigado pela contribuição Josenilda. Vamos acrescentar o 0.