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Equações modulares são equações que possuem termos em módulo, seja no primeiro termo ou no segundo. Resolver problemas envolvendo módulo exige que usemos a definição de módulo, o que implica em dividir a equação em dois possíveis casos. Entenda ambos os casos lendo esse artigo e fazendo os exercícios sobre equação modular. 

Quer seguir diretamente para alguma parte específica? Clique em algum dos tópicos abaixo:

• O que é um módulo?
• Como resolver uma equação modular?
• Exercícios de Equação Modular;
• Gabarito dos exercícios de Equação Modular.

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O que é um módulo?

Um módulo é a distância de um número até o zero e para representá-lo usamos a simbologia |n|. Como é uma distância, o valor do módulo sempre será positivo e para calculá-lo dividimos em dois casos possíveis: 

1- |n| = n → n > 0

2- |n| = -n → n < 0

Assim, pode-se dizer que no 1º caso, |n| é igual a n se este for igual ou maior que zero e, no 2º caso, |n| é igual ao oposto de n se este for menor que zero. 

Exemplos:

a) |3| = 3

b) |-3| = -(-3) = 3

c) |X + 3| = X + 3, se X + 3 > 0

OU

|X + 3| = -(X + 3), se X + 3 < 0

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Como resolver uma equação modular?

Para resolver uma equação modular é obrigatório dividi-la nos dois casos e testar ambas as possibilidades. Além disso, você também precisa saber resolver equações polinomiais. 

Exemplos:    

1- |x – 4| = 6

Para solucionar essa equação temos duas possibilidades: X – 4 = 6 ou X – 4 = -6. Sendo assim, precisamos resolver as duas. 

1ª possibilidade:

X – 4 = 6

X = 6 + 4 = 10 

2ª possibilidade:

X – 4 = -6

X = -6 + 4 = -2 

Assim, chegamos a duas soluções possíveis: S= {-2 , 10}.

Se você substituir o X por 10 na primeira equação e o X por -2 na segunda, irá verificar que ambas as equações são verdadeiras. Usando esse método você consegue resolver qualquer equação modular facilmente. 

2- |x + 4| = |3x – 2| 

Quando precisamos calcular uma igualdade entre dois módulos, também dividimos em dois casos, porém de uma forma levemente distinta: 

1º caso: Ambos os membros da equação com o mesmo sinal 

2º caso: Membros da equação com sinais opostos. 

1ª possibilidade:

Vamos considerar ambos os lados positivos, mas se considerássemos ambos negativos o resultado seria o mesmo. Basicamente, nessa possibilidade, apenas retiramos o módulo e calculamos normalmente: 

x + 4 > 0 → |x + 4| = x + 4

3x – 2 > 0 →  |3x – 2| = 3x – 2

x + 4 = 3x – 2

x – 3x = -2 – 4

-2x = -6

x = -6/-2 = 6/2 = 3

2ª possibilidade:

Nessa 2ª possibilidade, precisamos escolher um termo para ser positivo e o outro negativo. Vamos colocar o primeiro como positivo, porém se escolhêssemos o segundo não faria diferença.  

|x + 4| ≥ 0 → |x + 4| = x + 4

|3x – 2| < 0 → |3x –2| = – (3x – 2) 

Depois disso, basta resolver a equação sem os módulos: 

x + 4 = -(3x – 2)

x + 4 = -3x + 2

x + 3x = -4 + 2

4x = -2

x = -2/4  -1/2

Assim, chegamos às duas soluções possíveis: S={3, -1/2}

Agora que você já entendeu como se calcula, é a sua vez de fazer exercícios de equação modular. Consulte o gabarito quando acabar. 

Exercícios sobre Equação Modular com Gabarito

Esperamos que, com esse resumo, tudo tenha ficado mais claro para você. 

Obrigado por ter lido até aqui!

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Questão 1- (U.F. Juiz de Fora-MG)

O número de soluções negativas da equação | 5x-6 | = x² é:

a) 0    

b) 1    

c) 2    

d) 3    

e) 4

Questão 2- (U. Tuiuti – PR)

As raízes reais da equação |xl ² + |x| – 6 = 0 são tais que:

a) a soma delas é – 1.

b) o produto delas é – 6.

c) ambas são positivas.

d) o produto delas é – 4.

e) n.d.a. 

Questão 3- (PUC – SP) O conjunto solução S da equação |2x – 1| = x – 1 é:

a) S = {0, ²/₃}

b) S = {0, ¹/₃}

c) S = Ø

d) S = {0, – 1}

e) S = {0, ⁴/₃}

Muito bem! Você chegou à metade dos Exercícios sobre Equação Modular. Continue fazendo o restante.

Questão 4- (UEPA) O conjunto solução da equação |x|² – 2|x| – 3 = 0 é igual a:

a) S = {– 1, 3}

b) S = {– 3, 3}

c) S = {– 1, 1}

d) S = {– 3, 1}

e) S = {1, 3}

Questão 5- (Mackenzie – SP) A soma dos valores de x que satisfazem a igualdade |x² – x – 2| = 2x + 2 é:

a) 1

b) 3

c) – 2

d) 2

e) – 3

Questão 6- (UFJF) O número de soluções negativas da equação modular |5x – 6| = x² é:

a) 0

b) 1

c) 2

d) 3

e) 4

Parabéns, você fez todos os exercícios sobre Equação Modular. Confira agora o Gabarito:

Gabarito dos Exercícios de Equação Modular

Exercício resolvido da questão 1 –

Alternativa correta: b) 1    

Exercício resolvido da questão 2 –

Alternativa correta: d) o produto delas é – 4.

Exercício resolvido da questão 3 –

Alternativa correta: c) S = Ø

Exercício resolvido da questão 4 –

Alternativa correta: b) S = {– 3, 3}

Exercício resolvido da questão 5 –

Alternativa correta: b) 3

Exercício resolvido da questão 6 –

Alternativa correta: b) 1

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