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As pirâmides são formatos que fascinam a humanidade há milhares de anos, mas também podem despertar dúvidas nos vestibulandos que não se prepararam… Leia o resumo para organizar o seu conhecimento e treine com os exercícios sobre Pirâmide. Ao final, haverá um gabarito para confirmar suas respostas!

Quer seguir diretamente para alguma parte? Clique em um dos tópicos abaixo:

• Definição: o que são Pirâmides?
• Quais são seus principais elementos?
• Como calcular área e volume da Pirâmide?
• Os 10 melhores exercícios sobre Pirâmide!
• Gabarito dos exercícios de Pirâmide.

Quando você terminar as questões sobre Pirâmide, coloque em prática todo seu conhecimento com O Melhor Simulado Enem do Brasil!

Definição: o que são Pirâmides?

Uma pirâmide é um sólido geométrico do tipo poliedro, ou seja, não possui superfície curva. Elas sempre tem uma ponta em cima, de onde partem segmentos de reta até a base onde está apoiada. Sua base pode ter diferentes formatos!

Há diferentes formatos de pirâmides, dependendo da inclinação de seu eixo, da relação entre suas medidas e do formato da base.

Conforme a inclinação:

• Pirâmide Reta: quando o eixo e a altura são perpendiculares à base (formam um ângulo de 90º) e todas as apótemas são congruentes (têm o mesmo valor).
• Pirâmide Oblíqua: quando o eixo não é perpendicular à base da figura. Assim, algumas apótemas são maiores que as outras.

Conforme a base:

• Pirâmide Triangular: sua base é um triângulo. Então, este sólido terá quatro faces: três faces laterais triangulares e a face da base, também triangular.
• Pirâmide Quadrangular: sua base é um quadrado ou retângulo. Então, terá cinco faces: quatro laterais triangulares e a face da base quadrangular.
• Pirâmide Pentagonal: sua base é um pentágono. Então, terá seis faces: cinco faces laterais triangulares e a face da base pentagonal.
• Pirâmide Hexagonal: sua base é um hexágono. Então, será composta por sete faces: seis faces laterais triangulares e face da base hexagonal.

Fizemos um artigo COMPLETO sobre o que são Pirâmides!

Quais são os principais elementos da Pirâmide?

Entender as definições são tarefas trabalhosas, mas conhecer os componentes da Pirâmide vai te ajudar a entendê-la. São eles:

• Faces: são os “lados” ou “paredes” do sólido. Ela é uma superfície reta, ou seja, quando passamos a mão sentimos que está “liso”. Na matemática, são os diferentes planos que compõem a figura.
• Arestas: são os segmentos de reta que unem as faces. Podem ser classificadas em arestas da base (os lados do polígono da base) e arestas laterais (segmentos que unem o vértice superior da pirâmide até sua base).
• Vértice: são as “quinas” ou “pontas” da figura, o encontro entre duas arestas. É interessante notar que a pirâmide tem um vértice único na parte superior, chamado especificamente de ápex.
• Base: é o plano (ou face) em que o sólido está apoiado. No caso das pirâmides, há apenas 1 base e elas podem ter diversos formatos (triângulo, quadrado, etc.).
• Altura (h): é, literalmente, quanto mede a altura do sólido. Na geometria, definimos como um segmento de reta que liga o ápex até superfície da base, fazendo um ângulo de 90°.
• Eixo: é o segmento de reta que liga o vértice ao centro da base. Na maioria das pirâmides, ele coincide com a altura.
• Apótema da pirâmide: é o segmento que liga o ápex até a base, passando pela face lateral. Ou seja, corresponde à altura de cada face lateral.
• Apótema da base: é o segmento que une o centro da base até uma de suas extremidades. Se a base fosse circular, diríamos ser o raio. Mas não é, portanto, cada polígono da base terá a sua própria apótema.

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Como calcular área e volume da Pirâmide?

• Área da base: depende do polígono que a formar.

A_tri = (b.h) / 2

A_quad = b.h

A_pent = P.a ou 5.l.a

A_hex = (P.a) / 2 ou 6 (l.√3) / 2

Em que:

A_tri = Área do triângulo.

A_quad = Área de quadriláteros.

A_pent = Área do pentágono.

A_hex = Área do hexágono.

b = base do triângulo.

h = altura do triângulo.

P = perímetro da base.

a = apótema da base.

l = lado da base.

• Área Lateral: sempre serão triângulos, tantos quanto o número de lados da base.

A_l = n(b.h) / 2

Em que:

A_l: área lateral.

n: número de lados da base ou número de faces laterais.

b: base do triângulo.

h: altura do triângulo.

• Área Total: é a soma da área da base e da área lateral.

A_t = A_b + A_l

Em que:

A_t: área total.

A_b: área da base.

A_l: área lateral.

• Volume da Pirâmide:

V_pir = 1/3 (A_b.h)

Onde:

V_pir = volume.

A_b = área da base.

h = altura.

• Volume do Tronco de Pirâmide

V_tronco = V₁ – V₂

Em que:

V_tronco = volume do tronco da pirâmide.

V₁ = volume da pirâmide original.

V₂ = volume da mini pirâmide formada acima do tronco.

Os 10 exercícios sobre Pirâmide!

Esperamos que, com esse resumo, tudo tenha ficado mais claro para você.

Obrigado por ter lido até aqui!

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Questão 1- (Enem 2021) 

Uma das Sete Maravilhas do Mundo Moderno é o Templo de Kukulkán, localizado na cidade de Chichén Itzá, no México. Geometricamente, esse templo pode ser representado por um tronco reto de pirâmide de base quadrada.

As quantidades de cada tipo de figura plana que formam esse tronco de pirâmide são

a) 2 quadrados e 4 retângulos.

b) 1 retângulo e 4 triângulos isósceles.

c) 2 quadrados e 4 trapézios isósceles.

d) 1 quadrado, 3 retângulos e 2 trapézios retângulos.

e) 2 retângulos, 2 quadrados e 2 trapézios retângulos.

Questão 2- (Vunesp-adaptada)

O prefeito de uma cidade pretende colocar em frente à prefeitura um mastro com uma bandeira, que será apoiado sobre uma pirâmide de base quadrada feita de concreto maciço.

Sabendo-se que a aresta da base da pirâmide terá 3 m e que a altura da pirâmide será de 4 m, o volume de concreto (em m3) necessário para a construção da pirâmide será:

a) 36.

b) 27.

c) 18.

d) 12.

e) 4.

• Você já fez 20% dos exercícios sobre pirâmide. Continue assim!

Questão 3- (Pucsp) 

A base de uma pirâmide reta é um quadrado cujo lado mede 8√2cm. Se as arestas laterais da pirâmide medem 17cm, o seu volume, em centímetros cúbicos, é:

a) 520.

b) 640.

c) 680.

d) 750.

e) 780.

Questão 4- (Unifor-CE) 

Uma pirâmide regular tem 6√3 cm de altura e a aresta da base mede 8 cm. Se os ângulos internos da base e de todas as faces laterais dessa pirâmide somam 1800°, o seu volume, em centímetros cúbicos, é:

a) 576.

b) 576√3.

c) 1728.

d) 1728√3.

e) 3456.

Questão 5- (FUVEST 2004)

A pirâmide de base retangular ABCD e vértice E representada na figura tem volume 4. Se M é o ponto médio da aresta AB e V é o ponto médio da aresta EC, então o volume da pirâmide de base AMCD e vértice V é:

a) 1.

b) 1,5.

c) 2.

d) 2,5.

e) 3.

• Nossa! Você já fez metade das questões sobre pirâmide. Vamos lá!

Questão 6- (Enem 2019) 

As luminárias para um laboratório de matemática serão fabricadas em forma de sólidos geométricos. Uma delas terá a forma de um tetraedro truncado. Esse sólido é gerado a partir de secções paralelas a cada uma das faces de um tetraedro regular. Para essa luminária, as secções serão feitas de maneira que, em cada corte, um terço das arestas seccionadas serão removidas. Uma dessas secções está indicada na figura.

Essa luminária terá por faces:

a) 4 hexágonos regulares e 4 triângulos equiláteros.

b) 2 hexágonos regulares e 4 triângulos equiláteros.

c) 4 quadriláteros e 4 triângulos isósceles.

d) 3 quadriláteros e 4 triângulos isósceles.

e) 3 hexágonos regulares e 4 triângulos equiláteros.

Questão 7- (FGV 2012)

Arestas opostas de um tetraedro são arestas que não têm ponto em comum. Um inseto anda sobre a superfície de um tetraedro regular de aresta 10cm partindo do ponto médio de uma aresta e indo para o ponto médio de uma aresta oposta à aresta de onde partiu. Se o percurso foi feito pelo caminho mais curto possível, então o inseto percorreu a distância, em centímetros, igual a:

a) 10√3.

b) 15.

c) 10√2.

d) 10.

e) 5√3.

Questão 8- (Unirio-RJ) 

As arestas laterais de uma pirâmide reta medem 15 cm, e a sua base é um quadrado cujos lados medem 18 cm. A altura dessa pirâmide, em cm, é igual a:

a) 2√7.

b) 3√7.

c) 4√7.

d) 5√7.

• Ufa! Agora só faltam mais dois exercícios sobre pirâmide!

Questão 9- (Enem) 

Uma fábrica produz velas de parafina em forma de pirâmide quadrangular regular com 19 cm de altura e 6 cm de aresta da base. Essas velas são formadas por 4 blocos de mesma altura – 3 troncos de pirâmide de bases paralelas e 1 pirâmide na parte superior -, espaçados de 1 cm entre eles, sendo que a base superior de cada bloco é igual à base inferior do bloco sobreposto, com uma haste de ferro passando pelo centro de cada bloco, unindo-os, conforme a figura.

Se o dono da fábrica resolver diversificar o modelo, retirando a pirâmide da parte superior, que tem 1,5 cm de aresta na base, mas mantendo o mesmo molde, quanto ele passará a gastar com parafina para fabricar uma vela?

a) 156 cm³.

b) 189 cm³.

c) 192 cm³.

d) 216 cm³.

e) 540 cm³.

Questão 10 – (Mackenzie) 

A soma dos ângulos de todas as faces de uma pirâmide é 18πrd. Então o número de lados do polígono da base da pirâmide é:

a) 8.

b) 9.

c) 10.

d) 11.

e) 12.

• Parabéns, você fez todos os exercícios de pirâmide. Confira agora o Gabarito:

Gabarito das questões de Pirâmide

Exercício resolvido da questão 1 –

Alternativa correta: c) 2 quadrados e 4 trapézios isósceles.

Exercício resolvido da questão 2 –

Alternativa correta: d) 12.

Exercício resolvido da questão 3 –

Alternativa correta: b) 640.

Exercício resolvido da questão 4 –

Alternativa correta: a) 576.

Exercício resolvido da questão 5 –

Alternativa correta: b) 1,5.

Exercício resolvido da questão 6 –

Alternativa correta: a) 4 hexágonos regulares e 4 triângulos equiláteros.

Exercício resolvido da questão 7 –

Alternativa correta: d) 10.

Exercício resolvido da questão 8 –

Alternativa correta: b) 3√7.

Exercício resolvido da questão 9 –

Alternativa correta: b) 189 cm³.

Exercício resolvido da questão 10 –

Alternativa correta: c) 10.

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