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Tudo sobre Pirâmides: definição, elementos, fórmulas e mais!

Tudo sobre Pirâmides definição elementos fórmulas e maisTudo sobre Pirâmides: definição, elementos, fórmulas e mais!

A humanidade sempre foi maravilhada com as Pirâmides do Egito. Inclusive, esse sólido é um dos poliedros mais versáteis da geometria, pois sua base pode ter vários formatos. Isso também influencia no cálculo da área, do volume, etc. Aprenda tudo sobre Pirâmides no nosso artigo e desvende seus mistérios!

Neste resumo sobre Pirâmides, você encontrará os tópicos abaixo. Se quiser, clique em um deles para ir diretamente ao conteúdo:

  1. Introdução: O que é a Geometria Espacial?
  2. Definição: o que é uma Pirâmide?
  3. Quais são os elementos da Pirâmide?
  4. Quais são os tipos de Pirâmide?
  5. Origem da Pirâmide: Planificação.
  6. Como são as Seções Transversais e Meridionais?
  7. O que é o Tronco de Pirâmide?
  8. Fórmulas da Pirâmide e de seu tronco: áreas e volumes.

Depois você pode testar o que aprendeu. É só fazer o nosso Simulado ENEM gratuito! Ele pode ser personalizado com as matérias que você quiser.

Introdução: o que é a Geometria Espacial?

A Geometria Espacial é a área da matemática que estuda os sólidos geométricos. Estamos falando daquelas formas que construímos com 3 dimensões (3D): altura, largura e profundidade.

Quando pegamos um sólido (que é tridimensional), é preciso girar em várias posições para tatear toda a sua superfície. Quando pegamos uma figura plana, existe uma só superfície.

Os sólidos podem ser classificados em poliedros (faces, arestas e vértices, tudo retinho) ou corpos redondos (possuem alguma superfície curva).

Hoje nós vamos falar da Pirâmide, que é um poliedro. Isso significa que ele pertence ao grupo dos que não “rolam”.

Antes de continuar, vale a pena lembrar da Geometria Plana, a parte que estuda as figuras 2D (largura e altura). É nela que estudamos os conceitos básicos (reta, linha, ponto, plano, altura, etc.) que também usaremos adiante.

Definição da geometria: o que é uma Pirâmide?

Uma pirâmide é um sólido geométrico do tipo poliedro, ou seja, não possui superfície curva. Elas sempre tem uma ponta em cima, de onde partem segmentos de reta até a base onde está apoiada. Sua base pode ter diferentes formatos!

Na verdade, quase todo mundo já viu e ficou fascinado com as pirâmides do Egito, que representam fielmente este sólido!

Agora que já entendemos a definição simples, vamos entender uma mais formal e matemática:

“Seja um plano α, um ponto V, de forma que V ∉ α, uma área poligonal S no plano α, chamamos de pirâmide a união dos segmentos de retas VP onde P ∈ S.”

Quais são os principais elementos da Pirâmide?

Quais-são-os-principais-elementos-da-Pirâmide

Entender as definições são tarefas trabalhosas, mas conhecer os componentes da Pirâmide vai te ajudar a entendê-la. São eles:

  • Faces: são os “lados” ou “paredes” do sólido. Ela é uma superfície reta, ou seja, quando passamos a mão sentimos que está “liso”. Na matemática, são os diferentes planos que compõem a figura.
  • Arestas: são os segmentos de reta que unem as faces. Podem ser classificadas em arestas da base (os lados do polígono da base) e arestas laterais (segmentos que unem o vértice superior da pirâmide até sua base).
  • Vértice: são as “quinas” ou “pontas” da figura, o encontro entre duas arestas. É interessante notar que a pirâmide tem um vértice único na parte superior, chamado especificamente de ápex.
  • Base: é o plano (ou face) em que o sólido está apoiado. No caso das pirâmides, há apenas 1 base e elas podem ter diversos formatos (triângulo, quadrado, etc.).
  • Altura (h): é, literalmente, quanto mede a altura do sólido. Na geometria, definimos como um segmento de reta que liga o ápex até superfície da base, fazendo um ângulo de 90°.
  • Eixo: é o segmento de reta que liga o vértice ao centro da base. Na maioria das pirâmides, ele coincide com a altura. Adiante, veremos um exemplo de quando isso não acontece.
  • Apótema da pirâmide: é o segmento que liga o ápex até a base, passando pela face lateral. Ou seja, corresponde à altura de cada face lateral.
  • Apótema da base: é o segmento que une o centro da base até uma de suas extremidades. Se a base fosse circular, diríamos ser o raio. Mas não é, portanto, cada polígono da base terá a sua própria apótema.

Quais são os tipos de Pirâmides e seus nomes?

Quais-são-os-tipos-de-Pirâmides-e-seus-nomes

Como já demos o spoiler antes, você já imagina que há diferentes formatos de pirâmides. Eles dependem da inclinação de seu eixo, da relação entre suas medidas e do formato da base.

Conforme a inclinação

  • Pirâmide Reta: quando o eixo e a altura são perpendiculares à base (formam um ângulo de 90º) e todas as apótemas são congruentes (têm o mesmo valor).
  • Pirâmide Oblíqua: quando o eixo não é perpendicular à base da figura. Assim, algumas apótemas são maiores que as outras.

Conforme a base

  • Pirâmide Triangular: sua base é um triângulo. Então, este sólido terá quatro faces: três faces laterais triangulares e a face da base, também triangular.
  • Pirâmide Quadrangular: sua base é um quadrado ou retângulo. Então, terá cinco faces: quatro laterais triangulares e a face da base quadrangular.
  • Pirâmide Pentagonal: sua base é um pentágono. Então, terá seis faces: cinco faces laterais triangulares e a face da base pentagonal.
  • Pirâmide Hexagonal: sua base é um hexágono. Então, será composta por sete faces: seis faces laterais triangulares e face da base hexagonal.

Observe que o número de lados do polígono da base corresponde ao número de faces laterais da pirâmide. Então, as faces totais sempre serão o número de lados da base + 1. 

Inclusive, as bases mudam de formado, mas as faces laterais sempre serão triangulares.

Conforme a relação entre suas medidas

Por fim, há as Pirâmides Regulares, caracterizadas por:

  • A base é um polígono regular;
  • A projeção ortogonal do vértice é o centro desse polígono.
  • Todas as arestas laterais possuem a mesma medida;
  • Todas as apótemas possuem a mesma medida;
  • Todas as faces laterais são congruentes.

As irregulares não obedecem a todos esses padrões ao mesmo tempo.

Como criamos uma Pirâmide? Planificação!

Como-criamos-uma-Pirâmide-Planificação

Na infância, é comum as escolas pedirem que os alunos façam sólidos geométricos. Você já fez isso, não fez?

O que os professores nos pedem é, justamente, montar o sólido a partir de sua planificação. Assim, a planificação é a tentativa de representar todas as partes dos sólidos em duas dimensões.

Para conseguir, é preciso ter boa visão espacial. Isso significa olhar para o conjunto de figuras planas e imaginar que você tirou do papel, cortou, dobrou, colou e conseguiu formar um sólido.

No caso da pirâmide, as planificações são formadas sempre por um polígono e vários triângulos, conforme o número de lados desse polígono. O polígono será a base, enquanto os triângulos formarão a superfície lateral.

Como são as Seções na Pirâmide?

Existe uma prática comum na geometria espacial que é a de fazer seções (cortes) nos sólidos. É como se passássemos uma lâmina em diferentes ângulos para ver qual figura se forma na superfície do corte.

Existem vários possíveis cortes que podemos fazer. Veja:

  • Secção Meridional: é a intersecção entre o sólido e um plano vertical (contém o eixo). A figura formada em uma pirâmide sempre será um triângulo.
  • Secção Transversal: é a intersecção entre o sólido e um plano horizontal (paralelo às bases). A figura formada em uma pirâmide sempre será um polígono de mesmo formato que a base, só que em dimensões menores.

O que é o Tronco de Pirâmide?

O-que-é-o-Tronco-de-Pirâmide

Quando fazemos a seção transversal na pirâmide, a figura formada na superfície do corte é semelhante à da base. Porém, se retirarmos a “tampa” da pirâmide, ou seja, a parte acima do corte e que contêm o ápex, nos restará o tronco de pirâmide.

Assim, passa a ter duas bases: uma com o polígono menor em cima e outra com o polígono maior embaixo. Não confunda com os prismas, pois eles mantêm a apótema da base constante ao longo do sólido. O tronco de pirâmide não.Ele vai “afunilando”.

A fórmula de seu volume é diferente, mostraremos no último tópico desse texto!

Como calcular área e volume da Pirâmide?

Ao lidar com sólidos geométricos, podemos calcular:

  • Área da base: valor do preenchimento da superfície das bases.
  • Área lateral: valor do preenchimento da superfície que “rola”.
  • Área total: soma das duas anteriores.
  • Volume: o preenchimento interno do sólido, como o quanto de água que cabe dentro.

Vamos conhecer as fórmulas para calcular as áreas e o volume da Pirâmide:

Fórmula das áreas da Pirâmide

  • Área da base: depende do polígono que a formar.

Atri = (b.h) / 2

Aquad = b.h

Apent = P.a ou 5.l.a

Ahex = (P.a) / 2 ou 6 (l.√3) / 2

Em que:

Atri = Área do triângulo.

Aquad = Área de quadriláteros.

Apent = Área do pentágono.

Ahex = Área do hexágono.

b = base do triângulo.

h = altura do triângulo.

P = perímetro da base.

a = apótema da base.

l = lado da base.

  • Área Lateral: sempre serão triângulos, tantos quanto o número de lados da base.

Al = n(b.h) / 2

Em que:

Al: área lateral.

n: número de lados da base ou número de faces laterais.

b: base do triângulo.

h: altura do triângulo.

  • Área Total: é a soma da área da base e da área lateral.

At = Ab + Al

Em que:

At: área total.

Ab: área da base.

Al: área lateral.

Fórmula do Volume da Pirâmide

O volume de qualquer sólido com uma base e uma ponta em cima, seja poligonal ou corpo redondo, é dado por ⅓ do produto da área da base pela altura. 

  • Volume da Pirâmide:

Vpir = 1/3 (Ab.h)

Onde:

Vpir = volume.

Ab = área da base.

h = altura.

  • Volume do Tronco de Pirâmide

Vtronco = V1 – V2

Em que:

Vtronco = volume do tronco da pirâmide.

V1 = volume da pirâmide original.

V2 = volume da mini pirâmide formada acima do tronco.

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