Matemática

Entenda a Geometria Espacial e seus principais conceitos e fórmulas!

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A Geometria Espacial é a área da matemática que estuda os sólidos geométricos, ou seja, aqueles que possuem três dimensões. Com consequência disso, é onde se calcula a área total e o volume dos objetos. Mesmo sendo diferente da geometria plana, tem os mesmo princípios básicos: noções de plano, ponto e reta.

Neste artigo sobre Geometria Espacial você encontrará:

  1. O que é Geometria Espacial
  2. Quais são as formas geométricas espaciais e seus tipos?
  3. Relação de Euler
  4. Para que serve o estudo da geometria espacial?
  5. Como calcular área total e volume dos sólidos
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O que é Geometria Espacial?

A Geometria Espacial é a área da matemática que estuda os sólidos geométricos, ou seja, aquelas formas que só podemos construir com 3 dimensões: altura, largura e profundidade. Por isso, nessa matéria estuda-se o cálculo da área total e do volume do sólido.

Você já deve ter ouvido falar em Geometria Plana, e é muito importante compreendê-la para depois darmos o passo à Geometria Espacial. Apesar da G.Plana estudar as figuras geométricas de 2 dimensões (como uma folha de papel tem largura e altura), é nela que se dá o nosso primeiro contato com os conceitos básicos de qualquer geometria: reta, ponto, plano, etc.

Portanto, vamos relembrá-los:

  • Ponto: segundo a definição (axioma) euclidiano, é aquilo que não tem partes, indivisível Ele é caracterizado pela sua posição no espaço, marcando coordenadas.
  • Reta: é um segmento infinito composto por pontos lineares, também é definida como a distância entre, no mínimo, 2 pontos.
  • Linha: é semelhante à reta, mas tem a propriedade de formar curvas e nós sobre si mesma.
  • Plano: é uma estrutura infinita que se estende em todas as direções, e cada plano determina uma medida: a altura pertence a um plano, o comprimento a outro e a profundidade a outro.
  • Espaço: é a união dos 3 planos, o que garante o “efeito 3d”.
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Ainda é importante relembrar alguns termos e relações entre esses elementos, porque eles podem aparecer em questões e explicações:

  • Os pontos ainda podem ser coplanares quando pertencem ao mesmo plano e colineares quando pertencem a uma mesma linha.
  • Quando as retas pertencem ao mesmo plano, elas podem ser paralelas, concorrentes ou coincidentes. Contudo, se não forem coplanares, elas serão chamadas de reversas.
  • Já os planos, quando são paralelos, não compartilham nenhum ponto em comum. Quando eles se interceptam de alguma forma, são chamados de secantes, e quando há dois ocupando o mesmo espaço, são chamados de coincidentes.
  • Por último, também podemos relacionar retas e planos, lembrando que elas podem pertencer ao plano, serem secantes (apenas tocá-lo em um ponto) ou serem paralelas (quando não possuem nada em comum).

Quais são as formas geométricas espaciais e seus tipos?

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Como já foi dito, os sólidos geométricos são aqueles que possuem três dimensões, além de possuírem pelo menos um dos três elementos seguintes: vértice, aresta e face. Ainda assim, eles podem ser classificados em tipos:

  • Poliedros: são fechados e constituídos de faces poligonais, além de ter os 3 elementos (vértice, aresta e face). Exemplos: cubos, paralelepípedos, prismas, pirâmides, etc.
  • Corpos redondos: também conhecidos como sólidos de revolução, possuem esse nome porque são criados ao tomar um plano e girá-lo, vendo qual figura forma em movimento. São aqueles que apresentam curvas e a sua medida específica é o raio (r). Exemplos: cilindro, cone, esfera (rotação do círculo), etc.
  • Sólidos de Platão: são casos particulares de poliedros regulares, convexos, e congruentes que Platão teorizou e relacionou com os elementos da natureza. Os 5 sólidos clássicos são: tetraedro (pirâmide), hexaedro (cubo), octaedro (8 faces), dodecaedro (12 faces) e icosaedro (20 lados).
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O que é Relação de Euler?

Um matemático chamado Euler percebeu que no poliedro havia uma relação constante  entre o número de vértices (V), faces (F) e arestas (A). A fórmula que descreve esse padrão é chamada de relação de Euler, e é dada pela expressão:

  • V – A + F = 2

Ou seja, com essa relação é possível descobrir, por exemplo, a quantidade de arestas que  qualquer poliedro possui se tivermos o número de faces e de vértices.

Exemplo

  1. Maria disse que montaria a maquete de um poliedro com 20 lados, e para isso separou 30 palitos para servir de arestas. Ela ainda pegou 10 bolinhas de isopor para formar os vértices. Será possível montar este poliedro? Se não, quantas bolinhas de isopor faltariam?

Primeiro, precisamos conferir se as quantidades que Maria reservou são suficientes para montar o poliedro, e faremos isso utilizando a relação de Euler:

V – A + F = 2

10 – 30 + 20 = 2

0 = 2 (???)

Portanto, concluímos que Maria não conseguiria montar um poliedro com esses materiais.

Agora, a questão pede que o número de vértices a mais que deveria haver para que ela conseguisse:

V – A + F = 2

V – 30 + 20 = 2

V = 2 + 30 – 20

V = 12

Dessa forma, será necessário que Maria arranje 2 bolinhas a mais, pois com 12 vértices a relação se verifica verdadeira:

Para que serve o estudo da Geometria Espacial?

Agora que você já entendeu do que se trata, deve ficar pensando qual é o sentido de fazer contas com esses elementos! 

O estudo da Geometria Espacial serve como base do nosso dia a dia, principalmente porque compreende as primeiras noções de espaço e tamanho. Quando um engenheiro constrói um prédio, um arquiteto o esquematiza, ou até quando compramos uma bomba para encher a piscina, em tudo isso está presente as noções da geometria.

Mas, na matemática da escola e nas provas, ela serve para nos ensinar a lidar com fórmulas e calcular as dimensões dos sólidos: área e volume. 

Vamos aprender como fazer isso:

Como calcular área total e volume dos sólidos?

Se na Geometria Plana nós calculávamos o espaço (área) e contorno (perímetro) das figuras planas, na Geometria Espacial nós também calculamos o espaço ocupado (volume) e os contornos (área total), mas respeitando as dimensões a mais que os sólidos têm!

Cubo: volume e área total

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O volume é dado multiplicando os valores das três dimensões. Como o cubo é formado por arestas de medidas iguais, podemos calcular seu volume simplesmente como:

  • V = (aresta)³

Da mesma forma, o cubo possui 6 faces de áreas iguais, portanto, a sua área total pode ser dada simplesmente por:

  • At = 6 . (aresta)²

Paralelepípedo volume e área total

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Se um paralelepípedo possui dimensões a, b, c; então:

  • V = a . b . c
  • At = 2ab + 2ac + 2bc

Prisma e Pirâmide: volume e área total

O volume e a área total do prisma e da pirâmide dependem do polígono que está na base, por isso usamos Ab: área da base (pode ser um triângulo, quadrado, hexágono, etc.) e Al: área lateral (retângulos para prismas e triângulos para pirâmides). 

O volume deles dependem diretamente da área da base e da altura (h)!

Exemplo: Prisma de base triangular (pbt)

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  • V (pbt) = Ab . h 
  • At (pbt) = 2Ab + Al 

(se as 2 bases são um triângulo, logo, ab será a área dos 2  triângulos!) 

Exemplo: Pirâmide de base quadrada (pbq)

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  • V (pbt) = ⅓ Ab . h 

(diferente dos primas, a pirâmide sofre um afunilamento no volume, por isso, contabilizamos apenas ⅓ da área da base). 

  • At (pbt) = Ab + Al 

(se a base é um quadrado, ab será a fórmula da área do quadrado) 

Cilindro: volume e área total

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As medidas de corpos redondos são dadas pelo raio (r) e altura (h). Portanto:

  • V = π .r . 2 . h
  • At = 2. π. r . (r + h)

Cone: volume e área total

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Para calcular a medida da área do cone precisamos, antes, descobrir a geratriz (g), segmentos que iniciam na extremidade do vértice, percorre a superfície do cone e termina em um vértice da circunferência.

Para calcular a geratriz em um cone reto, basta utilizar trigonometria ou o teorema de pitágoras!

  • At = π. r . (g + r)
  • V = ⅓ . π . r . 2 . h 

Esfera: volume e área total

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Esse é o mais diferente de todos pois não possui faces com planos definidos!

  • At = 4 . π . r²
  • V = 4 ⁄ 3. π . r³

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