Matemática

Entenda Semelhança de triângulos, seus casos, regras e veja exemplos

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A Semelhança de triângulos é matéria que compara triângulos e seus elementos: se possuem ângulos correspondentes congruentes e lados correspondentes proporcionais. Se for o caso, é possível afirmar que esses triângulos são semelhantes, ou seja, possuem o mesmo formato ainda que tenham dimensões diferentes.

Neste artigo sobre Semelhança de triângulos você encontrará:

  1. O que é Semelhança de triângulos
  2. Constante e razão de proporcionalidade
  3. Casos da semelhança de triângulos 
  4. Exemplo resolvido passo a passo 
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O que é Semelhança de triângulos?

Definição: Semelhança de Triângulos é a área da geometria que compara polígonos, no caso, os triângulos e seus elementos: lados e ângulos. 

Quando comparamos duas figuras, é fácil tirar conclusões: algumas vezes são iguais (congruentes), outras são parecidas (semelhantes) ou ainda completamente distintas (diferentes). Se elas são iguais é como se fossem réplicas; se elas são distintas, não há nada em comum. 

  • Mas, quando são semelhantes, significa dizer que existe proporcionalidade entre lados e ângulos; ou seja, é como se você pegasse uma figura e a ampliasse, assim, todos os elementos aumentaram na mesma proporção.

Afinal de contas, como descobrir essa proporção?

Antes, vamos relembrar o conceito de correspondente congruente. Ser correspondente significa ocupar um lugar análogo, e congruente significa ser de valor parecido. Para entender melhor, veja o exemplo

Julia, Marina e Bianca fizeram uma roda e Marina ficou à direita de Julia. Depois, Julia, Paula e Fernanda fizeram outra roda e Paula ficou à direita de Julia. 

Observe que foram formadas 2 rodas diferentes, mas que a posição de Marina e de Paula são correspondes congruentes, pois ambas ocuparam lugares à direita de Julia.

Constante (k) e razão de proporcionalidade

Você se lembra do conceito de escala? É uma boa forma de entender o que é constante de proporcionalidade! Vamos trabalhar essa ideia antes de aplicá-la no triângulo! Veja: 

Entendendo a ideia de razão e proporcionalidade

Uma parede mede 10m na vida real e está representada na maquete com 1m. Já a árvore mede 2m na vida real e está na maquete com 0,2m. 

Se compararmos a relação que existe entre a árvore e a parede, ela será a mesma, seja na maquete ou na vida real:

  • 10m (parede real) / 2m (árvore real) = 5 , ou seja, a árvore é 5x menor que a parede. 
  • 1m (parede maquete) / 0,2m (árvore maquete) = 5 , ou seja, a árvore permanece 5x menor que a parede.

Isso ocorre porque mesmo sendo representadas em outra escala (real ou maquete) a razão de proporcionalidade permaneceu a mesma:

  • 10m (parede real) / 1m (parede maquete) = 10
  • 2m (árvore real) / 0,2m (árvore maquete) = 10.

Constante em triângulos semelhantes

Por esse motivo, 2 triângulos só serão semelhantes se todas as divisões de lados correspondentes resultarem na mesma constante e tiverem ângulos congruentes.

Exemplo

Constante-de-proporcionalidade-e-razao-na-semelhança-de-triangulos
  • Observe que o lado “x” ficou sobre o lado “u” porque ambos estavam entre ângulos correspondentes congruentes (vermelhos e verdes), garantindo que são lados correspondentes.  

Quais são os 3 casos de Semelhança de Triângulos?

A semelhança entre polígonos é observada seguindo os mesmos critérios, seja em pentágonos ou retângulos. Porém, os triângulos possuem a estrutura mais simples, então é possível verificar a semelhança só com “macetes”. Basta observar se eles se enquadram em um dos casos: Ângulo-Ângulo, Lado-Lado-Lado ou Lado-Ângulo-Lado.

1- Caso Ângulo Ângulo (AA)

caso-de-semelhança-AA-angulo-angulo

Dois triângulos são semelhantes se possuírem dois ângulos correspondentes congruentes.

Não é necessário verificar o terceiro ângulo e nenhuma proporcionalidade entre os lados, pois o triângulo só pode ser formado com 3 ângulos e o último segue o encaixe que restar dos outros 2. 

Se eu quero fazer um triângulo com ângulos de 30° e 60°, com certeza o último deve valer 90° (regra da soma dos ângulos internos de um triângulo).

Quanto ao valor dos lados: se 2 ângulos já são correspondentes congruentes e os lados não fossem correspondentes proporcionais, o triângulo “não fecharia”. Você poderia até ajeitar para que os lados fechassem, mas alteraria os ângulos!

Atenção:

Não saia por aí acreditando que todos os pares de triângulos com 2 ângulos iguais são semelhantes! É necessário que também sejam ângulos correspondentes!

2- Caso Lado Lado Lado (LLL)

caso-de-semelhança-LLL-lado-lado-lado

Se dois triângulos possuem três lados correspondentes proporcionais, então são semelhantes. 

Não é necessário verificar os ângulos caso você tenha certeza dos 3 lados, pelo mesmo motivo do “encaixe” explicado no item acima! 

3- Caso Lado Ângulo Lado (LAL)

caso-de-semelhança-LAL-lado-angulo-lado

Dois triângulos que possuem dois lados correspondentes proporcionais e o ângulo entre eles congruente são semelhantes. Observe este caso de semelhança no exemplo:

  • Se quisermos descobrir quanto deve valer “x” para que os triângulos sejam semelhantes, basta recorrer ao caso LAL e aplicar a ideia de razão de proporcionalidade:

14 / 4 = 3,5 

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x / 5 = 3,5

x = 3,5 . 5

x = 17,5 

Triângulo interceptado por uma reta paralela

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Uma figura muito comum de aparecer em provas é o triângulo interceptado por uma reta paralela a um de seus lados! Justamente porque essa reta causa o surgimento de um outro triângulo menor e interno, que é semelhante ao seu originário.

Confira para não ser pego de surpresa na prova: representação do triângulo “ABC“ e da reta “r”, que é paralela ao lado “BC”.

Observando a figura, notamos que os ângulos “B” e “D” são correspondentes congruentes , bem como os ângulos “C” e “E”.

Assim, pelo caso AA, os triângulos ABC e ADE são semelhantes. 

Além disso, essa figura também lembra o formato do que chamamos de Teorema de Tales, e que garante a proporcionalidade!

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