Matemática

Geometria Plana: resumo completo!!!

Entenda de uma vez por todas os conceitos e fórmulas da Geometria Plana!Entenda de uma vez por todas os conceitos e fórmulas da Geometria Plana!

A geometria plana é a área da matemática que estuda as figuras com duas dimensões: altura e largura, como uma folha de caderno! Falamos das formas que podem ser representadas no plano cartesiano: retângulos, quadrados, círculos, triângulos, etc. Mas também vemos conceitos como área, perímetro, fórmulas e outros!

Neste artigo sobre Geometria Plana, você encontrará:

  1. O que é Geometria Plana e sua importância
  2. Principais conceitos da geometria e das figuras planas (polígonos, triângulos, quadriláteros, e circunferências, etc.)
  3. Cálculos e Fórmulas das áreas e perímetros das figuras planas

O que é Geometria Plana?

A geometria plana é a área da matemática que estuda as figuras que possuem duas dimensões: altura e largura, como uma folha do caderno!

Estamos falando das formas que podem ser representadas no plano cartesiano. Provavelmente você já ouviu falar dessas figuras: retângulos, quadrados, círculos, triângulos, etc

É nessa matéria que estudamos os conceitos, posição e estrutura das formas. Nela,  entendemos os conceitos básicos de ponto, reta, plano e ângulo

Por fim, também veremos as fórmulas para calcular altura, área e perímetro.

A geometria plana também pode ser chamada de euclidiana, pois foi o geômetra grego  Euclides de Alexandria que organizou e desenvolveu esses estudos pela primeira vez. Assim, ele é conhecido como “pai da geometria”.

Já deu pra ter uma noção do que vamos estudar? Então vem com a gente!

Qual a importância da geometria plana nos dias de hoje?

A Geometria é essencial para a vida humana, pois começou a ser desenvolvida lá na Grécia Antiga e foi usada como base para quase tudo o que veio depois! 

O aprofundamento na matemática e o surgimento de outras geometrias (espacial e analítica), os avanços na arquitetura (construção) e o desenvolvimento da física são apenas alguns exemplos!

Ela está mais presente no nosso cotidiano do que podemos imaginar, pois todos os móveis da nossa casa precisaram da geometria para ser desenvolvido! 

Ela também cria em nós o raciocínio visual, a percepção de posição e rotação, nos ajuda a ler um mapa, etc.

Por fim, podemos dizer que ela é uma das matérias preferidas do Enem e dos vestibulares. Portanto, os alunos devem se debruçar sobre ela!

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Quais os principais conceitos da geometria plana?

Como a geometria plana estuda as figuras planas, precisamos começar com os conceitos básicos que formam essas figuras: ponto, reta e plano. Com base neles, podemos desenvolver outros: ângulos, áreas, perímetros, etc.

Vamos conhecê-los:

O que é um Ponto?

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O ponto é definido como algo que “não tem partes”. 

Ele possui apenas uma dimensão, ou seja, é literalmente um pontinho! Exatamente como o ponto final ou quando você faz um ponto com a caneta sobre uma folha!

Ele é usado apenas como uma referência de posição no espaço e é representado por letras maiúsculas.

O que é uma Reta?

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Por definição, uma reta é formada por infinitos pontos seguidos. Ela tem uma dimensão, ou seja, é uma “linha” com comprimento e sem largura

Ela costuma ser representada por uma letra minúscula

É importante definir que é preciso no mínimo dois pontos para traçar uma reta. Assim, a reta é infinita, não tem começo ou fim, embora nós só representemos uma parte.

Dizemos que há apenas uma reta que passa por dois pontos específicos. Mas, por um ponto qualquer e sozinho, podem passar infinitas retas porque são várias as possibilidades de ele se agrupar com outro ponto!

As retas podem aparecer em 3 posições: horizontal, vertical ou inclinada

  • Posição relativa entre retas

Quando estamos analisando diferentes retas ao mesmo tempo, dependendo da forma que elas se cruzam, podemos dar nomes a esses fenômenos:

Retas paralelas: quando elas não possuem nenhum ponto em comum, estão perfeitamente alinhadas lado a lado. O símbolo usado para representar é: c // b , ou seja, a reta c é paralela a b.

Retas concorrentes: quando as retas possuem um único ponto em comum, ou seja, se cruzam em um único lugar. Dependendo do ângulo que formam quando se cruzam, ainda podem ser classificadas em perpendiculares ou transversais.

Retas coincidentes: são retas que estão sobrepostas, ou seja, possuem todos os  pontos em comum. Nesse caso, elas são iguais.

  • Posição relativa entre retas e pontos

Quando estamos analisando os pontos ao redor de uma reta, podemos dar nomes a esses fenômenos dependendo da forma que se relacionam:

Pontos pertencentes: o ponto está localizado sobre a reta ou é um dos que formam a reta.

Pontos que não pertencem: estão ao redor da reta, mas a reta não passa por eles.

O que é um Segmento de Reta?

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O segmento de reta é definido como uma parte da reta. Isso significa que pegamos uma parte da reta (infinita) e delimitamos um segmento (finito). Por isso, o segmento de reta tem início e fim.

O que é uma Semirreta?

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O conceito de semirreta surge quando queremos pegar um único ponto da reta como extremidade, mas analisamos tudo o que vem depois. Portanto, uma ponta é delimitada e a outra é infinita!

O que é um Plano?

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Um plano é uma região que abrange infinitos pontos e infinitas retas. Ele possui duas dimensões, ou seja, tem comprimento e largura. Geralmente a região que o plano ocupa é representada por letras gregas

O plano que utilizamos aqui é formado pelo eixo das coordenadas e das abscissas, e conseguimos localizar e medir coisas porque está sobre uma reta numérica. É essencial saber sobre o plano cartesiano antes de continuarmos!

O que são Ângulos?

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Você acabou de conhecer semirretas, retas e segmentos de reta, e também viu que elas podem se cruzar. 

Quando isso acontece, é possível determinar a inclinação que as retas formam entre si. Essa região que está entre as duas retas são os ângulos.

O ângulo (região formada pelo encontro entre duas semirretas) é medido em graus . Por definição, essa medida vai de 0° a 360°. 

Para entender isso, imagine um relógio: quando dois ponteiros (segmentos de reta) estão exatamente um sobre o outro, há 0°. Quando um dos ponteiros está parado e o outro dá uma volta completa até chegar a sua posição inicial, ele rodou 360°.

Como os ângulos podem ser classificados?

  • Agudo: se sua medida for menor que 90º;
  • Reto: se sua medida for igual a 90º;
  • Obtuso: se sua medida for maior que 90º e menor que 180º;
  • Raso: se sua medida for igual a 180º.

É importante saber que, na geometria, “congruente” significa “igual”. No caso dos ângulos, eles são congruentes se todos os seus elementos coincidem. Isso será a prova de que eles possuem valores iguais.

Para saber se dois ângulos são congruentes, é preciso entender as propriedades geométricas dos ângulos!

Área e Perímetro

Em cada tipo de geometria nós usamos conceitos próprios. Perímetro e área são próprios da geometria plana e os usamos para medir elementos da figura. 

Para encontrar esses valores é importante analisar a forma da figura. Você pode acessar o artigo Área, Perímetro e Volume para saber com detalhes

No último tópico do texto, mostraremos quais são as fórmulas e como calcular. 

Agora, veja apenas os conceitos:

  • Área (A): medida da superfície de uma figura. 

Podemos dizer que é o preenchimento de uma figura plana. É como se você quisesse pintar uma folha inteira e calculasse quanto de tinta precisaria para cobrir tudo! 

  • Perímetro (2P): medida do contorno de uma figura.

Para enxergar o que estamos dizendo, basta que você se imagine pegando um barbante e contornando um caderno. Depois de marcar até onde foi com o barbante, você desenrola ele e mede na régua. O valor encontrado é o perímetro!

O semiperímetro (P) é o valor que representa a metade do perímetro.

O que é uma figura plana? (Polígonos)

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Agora que você já conheceu todos os conceitos básicos, podemos desenvolver os demais!

Uma figura plana é uma região fechada que é formada por segmentos de reta. É preciso que haja no mínimo 3 segmentos para que se forme uma região fechada.

Quando já temos uma figura formada, deixamos de falar “segmentos de reta” e chamamos simplesmente de lados.

Assim, os polígonos são figuras planas de 3 ou mais lados. Seus segmentos de retas não se cruzam, elas apenas encostam suas extremidades e acabam formando ângulos!

Assim, seus elementos básicos são: lado (segmentos), vértice (pontos que ligam os lados) e ângulos (áreas sobre os lados que se encontram em vértices).

  • Dependendo da quantidade de lados de um polígono, podemos dar nomes para eles. 
  • Também podem ser classificados em regulares ou irregulares dependendo da presença ou ausência de simetria. 
  • Por fim, podem ser côncavos (lados que formam uma “área para dentro”. Se traçamos retas entre seus vértices, veremos que algumas reta não passam pela figura) ou convexos (todas as retas traçadas entre os vértices são parte da figura).

Tudo isso é mostrado na imagem acima!

Existem dois tipos de polígonos MUITO cobrados nas provas. Vamos conhecê-los:

O que são Triângulos?

Os triângulos são os polígonos que possuem 3 lados. Como consequência, só existem 3 ângulos e por isso receberam esse nome.

Os matemáticos já comprovaram que a soma dos ângulos internos de um triângulos é sempre 180°. Por isso, guarde essa relação!

Além disso, podemos classificar os triângulos dependendo do tipo de ângulo que ele é formado e da congruência entre seus lados.

Quanto aos ângulos:

  • Retângulo: se tiver 1 ângulo valendo 90° (reto)
  • Acutângulo: se apresentar ao menos 3 ângulos menores de 90° (agudo)
  • Obtusângulo: se tiver 1 ângulo maior que 90° (obtuso)

Quanto aos lados:

  • Equilátero: quando possui todos os lados congruentes (iguais). Por consequência, todos os ângulos também serão iguais. Como o valor total é 180°, se dividirmos por 3 sabemos que cada ângulo do triângulo equilátero sempre vale 60°.
  • Isósceles: quando possui 2 lados congruentes. Por consequência, haverá 2 ângulos congruentes, os que são formados entre os lados iguais e a base.
  • Escaleno: quando não possui nenhum lado igual. Isso não garante nenhum valor de ângulo.

Aprenda também sobre: relações métricas nos triângulos retângulos, as regras de semelhança de triângulos e como calcular a altura de um triângulo equilátero!

O que são Quadriláteros?

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Os quadriláteros são os polígonos que possuem 4 lados, por isso receberam esse nome!  Como consequência, existem 4 ângulos na figura, mas uma diversidade de tipos muito maior!

Os matemáticos já comprovaram que a soma dos ângulos internos dos quadrados é sempre 360°. Por isso, guarde essa relação!

Além disso, podemos classificar os quadriláteros dependendo do tipo de ângulo, do paralelismo, da congruência de lados e outros fatores.

Os quadriláteros mais famosos são:

  • Trapézios
  • Paralelogramos
  • Retângulos
  • Losangos
  • Quadrados

Mas você sabe qual a relação entre eles? Sabia que o quadrado é um tipo de losango? Sabe as fórmulas e propriedades de cada figura? Então corre pra ver o nosso artigo sobre quadriláteros notáveis!

Polígonos regulares com 5 ou mais lados

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Os polígonos com 5 lados são chamados de pentágonos e os de 6 lados são chamados de hexágonos. Você pode até ficar com medo deles e dos próximos, por pensar que são lados demais!

Mas nós vamos te ensinar um macete

  • Todos os polígonos regulares de 5 ou mais lados podem ser decompostos em triângulos ou quadriláteros! 

É isso mesmo! 

O pentágono pode ser dividido em 5 triângulos e o hexágono em 6. 

Observe que esses triângulos sempre serão equiláteros ou isósceles!

Portanto, se você aprender a calcular a área de um triângulo, já saberá a de qualquer polígono regular com 5 ou mais lados. 

Basta dividir a figura, calcular a área de uma parte e multiplicar pela quantidade de partes totais.
Assim, a nossa vida fica muito mais fácil!

O que é uma Circunferência?

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A circunferência é uma figura plana que não é um polígono! Ela é formada por linhas, não por retas ou segmentos.

A circunferência é formada por todos os pontos que estão a uma mesma distância de um ponto central. Essa distância é chamada de raio (r).

Então, a circunferência é o contorno que delimita o círculo e o círculo é a região que fica limitada pela circunferência.

Por causa disso, ela tem fórmulas próprias para sua área e perímetro!

Cálculos e Fórmulas da área e perímetro das figuras planas

Agora que você já entendeu o conceito de área, perímetro e conhece as figuras, podemos falar dos cálculos!

Depois de ler este último tópico do texto, tente fazer os exercícios de geometria plana!

Como calcular a área

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Para calcular a área (A) de uma figura, o comum é multiplicar o valor da base (b) pela altura (h). Mas podem haver algumas variações dependendo do formato.

  • Retângulo: segue o raciocínio descrito acima, então a fórmula é:

A (retângulo) = b . h 

  • Quadrado: a base e altura tem o mesmo valor dos lados (l), então podemos escrever:

A (quadrado) = l²

  • Trapézios: podem ser divididos em triângulos e retângulos, então basta guardar essas duas fórmulas, calcular e somar. Porém, existe uma fórmula própria dos trapézios que envolve a base maior (B) e base menor (b):

A (trapézio) = (B + b) h / 2

  • Losango: também pode ser dividido em triângulos, então basta calcular eles e somar. Porém, existe uma fórmula própria para losangos com base em sua diagonal maior (D) e diagonal menor (d):

 A = D . d / 2

  • Triângulos: também é dada pela multiplicação de área por altura, mas o valor é dividido na metade porque o triângulo vai “afunilando”:

A (triângulo) = b . h / 2

ou

A (t. equilátero) = √3 . l² / 4)

  • Circunferência: a fórmula é completamente diferente, pois envolve o raio (r) e o número pi (π, aproximadamente 3,14):

A (círculo) = π.r²

Como calcular o Perímetro?

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Se o perímetro (2P) é o contorno da figura, podemos dizer que seu valor é encontrado quando se soma os lados de uma figura plana. 

  • Portanto, dizemos que:

2P (retângulo) = 2b + 2h

2P (quadrado) = 4l

2P (triângulo escaleno) = a + b + c

2P (t. isósceles) = a + 2b

2P (t. equilátero) = 3l

E assim por diante…

  • Circunferência: para as circunferências há uma fórmula específica:

C = 2.π.r

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