Matemática

Desvendando o mistério: Como calcular a altura de um triângulo equilátero de forma simples e rápida!

Como calcular a altura de um triângulo equiláteroComo calcular a altura de um triângulo equilátero? Aprenda de 4 formas diferentes!
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O triângulo equilátero é um dos tipos mais comuns de triângulo que existem, por isso aparece tanto nas provas! Ainda assim, muitos estudantes travam na hora de saber como calcular a altura de um triângulo equilátero… Por isso, nós vamos te mostrar 4 formas de fazer isso.

Neste artigo, você irá entender cada método e pode memorizar aquele que tiver mais afinidade. Até porque, as questões vão te dar dados diferentes e aí você terá que jogar naquele jeito que melhor se encaixar.

Pode parecer muita coisa, mas fizemos uma explicação cheia de exemplos e com linguagem simples para você aprender do zero. Vamos lá desvendar esse mistério?

Neste artigo explicando como achar a altura de um triângulo equilátero, você encontrará todos os temas abaixo. Clique em um deles para ir diretamente ao conteúdo:

  1. Introdução ao triângulo equilátero: características úteis!
  2. Primeiro jeito: um caminho simples e fácil usando Teorema de Pitágoras
  3. Segundo jeito: como calcular a altura de um triângulo equilátero usando a fórmula
  4. Terceiro jeito: como calcular a altura de um triângulo qualquer?
  5. Quarto jeito: a trigonometria básica ajuda a calcular a altura do triângulo retângulo.

Antes de continuar, saiba que essa matéria é essencial para o Enem e nós temos um Plano de Estudos para te guiar nessa jornada!

Introdução ao triângulo equilátero: características úteis

O triângulo equilátero é o queridinho dos estudantes de Geometria Plana, pois é o mais fácil de todos!

Isso porque ele tem muitas características iguais que se repetem, então entrega o raciocínio e facilita nossa vida. Mas só quem realmente entende suas propriedades é que consegue interpretar.

Por isso, vamos relembrar suas 3 características essenciais a seguir!

Lados iguais

A própria palavra equilátero já nos conta sobre essa propriedade: “equi = igual” e “látero = lado”

Dessa forma, se for dado a medida de um dos lados, sabemos que todos os demais são iguais.

Você sabia que no triângulo isósceles somente dois lados são iguais e o terceiro é sempre diferente?

Ângulos iguais

Não importa o tamanho do triângulo equilátero, se você usar um transferidor (medidor de ângulos), sempre encontrará o mesmo valor para todos os seus ângulos!

Isso acontece por um motivo: para que todos os lados iguais se encontrem em um formato perfeito, os ângulos precisam estar igualmente divididos também.

E isso nos leva a afirmar uma coisa: se em qualquer triângulo a soma dos ângulos internos é 180°, e no triângulo equilátero todos os ângulos são iguais, então podemos fazer 180°/3 = 60°.

Logo, todos os ângulos de um triângulo equilátero sempre medirão 60°.

E assim chegamos a um novo conceito: ele é equiângulo.

Nós também temos um artigo explicando tudo sobre ângulos!

Alturas iguais

Adivinhe só, se tudo nesse triângulo é igual, agora não seria diferente.

Não importa a partir de qual lado você trace a altura, elas sempre serão iguais!

Lembre-se: altura é um segmento de reta que forma um ângulo reto (90°) com a superfície.

1° O caminho mais seguro: Teorema de Pitágoras

Agora que já relembramos o básico, já podemos começar a falar sobre como descobrir a altura do triângulo equilátero.

E o primeiro método é usando o Teorema de Pitágoras.

Vamos fazer uma breve explicação sobre ele e já partir para o exemplo!

O que é o Teorema de Pitágoras?

Na matemática, teorema é uma fórmula que sempre é aplicada em uma situação específica. No caso do Pitágoras, ele deve ser usado somente em triângulos retângulos (um dos ângulos mede 90°).

Você deve estar pensando então como usaremos isso no triângulo equilátero… A resposta está na imagem logo adiante!

Antes, vamos só relembrar a fórmula desse teorema:

cat² + cat² = hip²

  • A hipotenusa (hip) é o lado oposto ao ângulo reto, ou seja, é o maior lado de um triângulo retângulo.
  • Os catetos (cat) são os lados restantes, ou seja, os lados adjacente ao ângulo reto.

Como calcular a altura de um triângulo equilátero usando Pitágoras? 3 passos!

Altura-no-triângulo-equilátero
  • 1° Passo: devemos traçar a altura do triângulo equilátero. Lembrando que ela parte do vértice superior e vai até o meio da base do lado oposto, coincidindo com a mediana.
  • 2° Passo: observe que formamos dois triângulos retângulos iguais dentro do equilátero. É para isso que traçamos a altura, já que ela sempre forma 90° com a superfície.
  • 3° Passo: Agora, podemos usar o teorema: cat² + cat² = hip². Basta substituir cada informação no seu lugar!

Lembre-se: nessa fórmula, a altura (h) ocupa o lugar de um dos catetos (cat).

2° A fórmula da altura do triângulo equilátero

Talvez você já tenha aprendido e esquecido… Mas existe uma fórmula específica para calcular a altura de um triângulo equilátero, e só funciona nessa figura.

Pode parecer coincidência, mas ela foi tirada do Teorema de Pitágoras. Assim, se você souber o primeiro jeito, não esquecerá este segundo!

Deduzir uma fórmula é entender qual o raciocínio usado para chegar nela… E a história dessa fórmula é a seguinte: um matemático já sabia usar Pitágoras para calcular a altura, mas ele só usava números.

Aí ele resolveu substituir os números pelas letras que representam as partes do triângulo equilátero. E chegou a uma fórmula geral:

h = x √3 / 2.

Atenção: Ela nos ajuda a achar o valor da altura (h) se tivermos o lado (x). Basta substituir os valores dados na questão e teremos a resposta!

Exemplo com números e solução:

  • 1) Calcule a altura de um triângulo equilátero de lado 4cm.

Solução 1: se tiver decorado a fórmula geral, basta colocar o 4 no lugar do x:

h = x√3 / 2

h = 4√3 / 2

h = 2√3

Solução 2: se esqueceu da fórmula, pode usar o Pitágoras mesmo:

cat² + cat² = hip²

h² + (4/2)² = 4²

h² + 4 = 16

h² = 12

h = √12 (simplificando = 2√3)

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3° Como calcular a altura de um triângulo qualquer?

Ok, já te mostramos dois jeitos bem direcionados para o triângulo retângulo. Mas também existe uma jeito de calcular alturas de triângulos aleatórios, independente do tipo. Para saber como encontrar a altura de um triângulo qualquer, é possível usar a fórmula da área.

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Nós falamos assim: “área é igual à base vezes a altura dividido por 2 “.

Que pode ser escrito como:

A = (b.h)/2

Sendo que:

  • A = área do triângulo.
  • b = comprimento da base do triângulo (a base é onde a altura se encontra e forma 90º).
  • h = Altura do triângulo (Sai de um vértice e forma 90º com a base).

Se você tiver os valores da base e da área, basta substituir na fórmula para encontrar a altura!

“E como eu acho a área e a base?”

A base é muito simples: ela é a medida de qualquer um dos lados, porque nesse triângulo tudo é igual! Mas, por definição, base é o lado que recebe o ângulo formado quando traçamos a altura.

Agora olha que coisa louca: para encontrar a área nós precisamos da altura. Mas a altura é justamente o que já estávamos procurando nessa situação!

Então não tem jeito… você só consegue usar a fórmula da área para encontrar a altura se o valor da área e do lado forem dados. Se não, você terá que encontrar a altura usando o Pitágoras ou a fórmula específica que ensinamos aí para trás!

Nós estamos estudando esse assunto da geometria plana, mas alguns desses conceitos podem aparecer também na geometria espacial e na analítica.

4° Para os curiosos: trigonometria básica no triângulo equilátero e sua altura

Nós sabemos, muita gente tem birra da trigonometria. Mas não precisa ser assim, ela é mais legal do que aparenta! Além do mais, nós vamos trabalhar só com a parte básica.

A trigonometria é uma ferramenta da matemática que leva em conta os ângulos e os lados que formam ele.

Você lembra das relações de semelhança nos triângulos? A ideia que a trigonometria traz é parecida: sempre que pegarmos dois valores específicos e dividimos eles, nos dará um mesmo resultado.

Assim, podemos estabelecer três relações trigonométricas:

  • Seno: é um valor específico para cada ângulo, quando pegamos o cateto (lado) oposto a ele e dividimos pela hipotenusa.
  • Cosseno: é um valor específico para cada ângulo, quando pegamos o lado que encosta nele (adjacente) e dividimos pela hipotenusa.
  • Tangente: é um valor específico para cada ângulo, quando pegamos o cateto oposto e dividimos pelo adjacente.

Viu? Tudo tranquilo. Agora vamos ver como podemos usar isso para achar a altura:

Como calcular a altura de um triângulo equilátero usando trigonometria?

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Você lembra que em todo triângulo equilátero todos os ângulos medem 60°. Então podemos fazer assim:

  • 1° Passo: novamente devemos traçar a altura no t. equilátero. Aí teremos dois t. retângulos.
  • 2° Passo: logo percebemos que, por se tratar de um triângulo equilátero, a altura será também a bissetriz (divide o ângulo em duas partes iguais). Também será a mediana da base (divide o lado em 2 partes iguais).
  • 3° Passo: ai ficou fácil. Se for dado o valor do lado desse triângulo, podemos aplicar as relações da trigonometria!

Teremos então o 60° e o 30°. Eles são conhecidos como ângulos notáveis. Agora só precisamos lembrar desses valores e substituir na relação trigonométrica.

Atenção!

  • Se escolhermos o ângulo de 30°, a altura é o cateto adjacente (usaremos cosseno).
  • Se escolhermos o ângulo de 60°, a altura é o cateto oposto (usaremos seno).
  • Observe que X (o lado do triângulo) sempre será a hipotenusa.

Vamos escolher o 60° como referência. Ficará assim:

sen 60° = cat. oposto / hipotenusa

sen 60° = h / x

√3/2 = h / x

x√3 / 2 = h

Opa! Você já viu esse resultado antes… é exatamente igual à fórmula específica para calcular a altura do triângulo retângulo.

Tudo na matemática faz sentido e está relacionado!

Acabou! Vamos resumir:

Para finalizar, vamos só recapitular: em uma questão sobre como calcular a altura de um triângulo equilátero, você pode optar por 4 caminhos:

  • Usar Teorema de Pitágoras.
  • Usar trigonometria.
  • Decorar a fórmula específica e substituir o valor dado.
  • Usar a fórmula da área.

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Boa sorte!

Redação Beduka
Redação Beduka
Este conteúdo foi criado pelo time de redação do Beduka. Todos dias, milhares de estudantes acessam nossos textos, produzidos por especialistas em cada área do conhecimento, para revisar informações e se preparar os principais vestibulares e o ENEM.

12 Comentários

  • Pessoal, a dedução da fórmula da altura está errada. Ao elevarmos (x/2) ao quadrado, temos (x/2)² = x²/4 e não x²/2, como foi feito na imagem. Após isso, teremos:
    x² = h² + x²/4
    h² = x² – x²/4
    h² = 4x²/4 – x²/4
    h² = 3x²/4
    h = x√3/2

    • Livia, o processo que você fez foi o mesmo do nosso. Apensa representamos de uma forma gráfica diferente. Nossa imagem não representa (x/2) ao quadrado. Ela representa somente X ao quadrado dividido por 2.

  • Jogo dos 7 erros. Além do outro erro já comentado, tem também o erro de passar pro outro lado somando ao invés de diminuindo, e no final não foi tirada a raiz do 2 no denominador.

  • O processo para encontrar a altura do triângulo equilátero está errado, pois o denominador não foi elevado ao quadrado e ao trocar de membro não houve inversão de operação, embora, com esses dois erros, chegou na fórmula da altura.

    • Oi Deiv, você está se referindo a qual parte do texto?

      Vou supor que é sobre a terceira linha da imagem dedução da fórmula.

      Nesse caso, é porque fizemos o MMC.

      Note que na segunda linha precisávamos somar dois números com denominadores diferentes (o h² sobre 1 e o x² sobre 4).

      Realizando a operação de soma de frações, tiramos o MMC dos denominadores, dividimos-o pelo denominador original e multiplicamos pelo numerador.

  • Vou deixar a sugestão (malandra) da quinta fórmula para calcular a altura de um triângulo equilátero: lado do triângulo x 0,866. ……kkkkkk