Matemática

Como calcular a altura de um triângulo equilátero? Jeito simples e fácil, com o passo a passo completo!

Como calcular a altura de um triângulo equiláteroComo calcular a altura de um triângulo equilátero

A geometria é uma área muito vasta da matemática e, apesar de muitos terem dificuldade, basta se atentar para os desenhos e praticar muitos exercícios que você verá: parece um jogo de lógica! Então, preparamos para você um jeito fácil e simples de explicar como calcular a altura de um triângulo equilátero, que é algo básicopara progredir cada vez mais na geometria!

Neste artigo sobre como calcular a altura de um triângulo equilátero, você encontrará:

  1. Introdução ao triângulo equilátero: 3 características úteis
  2. Caminho simples e fácil: Teorema de pitágoras e altura do triângulo equilátero
  3. Para os curiosos: Trigonometria básica no triângulo equilátero e sua altura

Achou pouco?

Introdução ao triângulo equilátero: características úteis

O triângulo equilátero é o queridinho do estudantes de geometria. Quando compreendemos suas características, vemos que é o mais fácil de todos, pois ele mesmo entrega o raciocínio e facilita nossa vida! Os outros dois tipos de triângulos que existem são o isósceles e o escaleno.

Confira as 3 características essenciais que usaremos adiante para falar de trigonometria:

1- Lados iguais

A própria palavra equilátero já nos conta sobre essa propriedade: “equi = igual” e “látero = lado”

Dessa forma, se for dado a medida de um dos lados, sabemos que todos os demais são iguais. Na figura, X representa um valor qualquer.

triângulo-equilátero-com-todos-os-ládos-iguais-a-x

2- Ângulos iguais

Não importa qual seja o tamanho, sempre que você usar um transferidor (medidor de ângulos) em um triângulo equilátero, você encontrará o mesmo valor. Para que todos os lados iguais se encontrem em um formato perfeito de triângulo, dois lados sempre formarão o mesmo ângulo entre si.

Sabemos que em um triângulo a soma dos ângulos internos deve ser sempre 180°, portanto, se tudo nele é igual, temos 180°/3 = 60°. Logo os três ângulos sempre medirão 60° em um triângulo equilátero, pois ele é, também, equiângulo.

triângulo-equilátero-com-todos-os-ângulos-iguais-a-60

3- Alturas iguais

 Adivinhe só! Se todos os lados e ângulos são iguais, não importa a partir de qual lado você trace a altura, elas sempre serão….  iguais!

Não se esqueça: altura é um segmento de reta que forma um ângulo reto (90°) com a superfície.

triângulo-equilátero-com-alturas-iguais

Caminho simples e fácil: Teorema de Pitágoras e altura do triângulo equilátero

O que é o Teorema de Pitágoras?

Na matemática, teorema significa uma fórmula básica que sempre é aplicada em uma situação específica; analogamente, é como uma leia da física.  

O teorema de Pitágoras foi descoberto durante observações em um triângulo retângulo – triângulo em que um dos ângulo deve ser obrigatoriamente 90°– portanto, só pode ser aplicado nesta figura.

Como o matemático chegou nesta conclusão não é o nosso foco, mas, para continuar, precisamos saber o que ele diz: a soma dos catetos ao quadrado é igual ao valor da hipotenusa ao quadrado.

cat² + cat² = hip²

 A hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto, ou seja, o maior lado de um triângulo retângulo. Já os catetos são os lados restantes, ou seja, os lados adjacente ao ângulo reto. Guarde essa fórmula!

teorema-de-pitagoras

Como calcular a altura de um triângulo equilátero?

Para sabermos como calcular a altura de um triângulo equilátero, precisamos utilizar o Teorema de Pitágoras. Veja:

Primeiro traçamos a altura, lembrando que no triângulo equilátero ela parte do vértice superior e vai até o meio da base, coincidindo com a mediana. Sabendo que a altura forma um ângulo de 90° com a  superfície, teremos formado, então, 2 triângulos retângulos. 

Altura-no-triângulo-equilátero

Agora, podemos usar o teorema: cat² + cat² = hip² e deduzir a fórmula geral:

Substituímos os valores em cada local adequado.

Atenção: A hipotenusa neste caso é o x e o h é cateto. Não confunda o h de altura com hip de hipotenusa!

  1. Isolamos o h de um lado da equação, pois é ele que queremos achar. Tudo o que é x vai para o mesmo lado.
  2. Fazemos o MMC (mínimo múltiplo comum) para efetuar a soma do x com denominador diferente.
  3. Esta é fórmula geral para calcular a altura de um triângulo equilátero. Basta substituir qualquer valor que for dado – do lado do triângulo – em X e teremos a resposta. 
fórmula-da-altura-em-triângulo-equilátero

Gostou do passo a passo sobre como calcular a altura de um triângulo equilátero? Confira o exemplo com números:

Pergunta: Calcule a altura de um triângulo equilátero de lado 4cm.

Resposta: Você pode fazer usando o passo a passo do Teorema de Pitágoras ou, se tiver decorado a fórmula geral, basta colocar o 4 no lugar do x:

aplicação-da-fórmula-de-altura-em-triângulo-equilátero

Gostou? Confira nossos exercícios de Matemática para se dar bem na hora da prova!

Para os curiosos: Trigonometria básica no triângulo equilátero e sua altura

Agora que já sabemos as características do triângulo retângulo e o jeito fácil, preparamos também um segundo jeito: como calcular a altura de um triângulo equilátero com trigonometria!

Trigonometria básica no triângulo retângulo

A trigonometria é uma ferramenta da matemática que muitos temem, porém, vamos trabalhar com a parte básica. Logo, não precisa se assustar. Sabemos que existem algumas relações fixas, assim como os teoremas e as fórmulas. Vamos relembrar quais relações são essas em um triângulo retângulo:

O Seno de um ângulo qualquer é definido pelo valor resultante da divisão do cateto oposto a este ângulo e sua hipotenusa.

O Cosseno de um ângulo qualquer é definido pelo valor resultante da divisão do cateto adjacente a este ângulo e sua hipotenusa.

A Tangente de um ângulo qualquer é definido pelo valor resultante da divisão do cateto oposto a este ângulo e o lado adjacente a ele.

seno_cosseno_e_tangente

Como calcular a altura de um triângulo equilátero com trigonometria?

Vimos anteriormente que um triângulo equilátero tem cada um de seus ângulos valendo 60°. 

Logo, se for dado o valor do lado desse triângulo, podemos aplicar nos conceitos da trigonometria: 


Traçamos a altura: Logo percebemos que, por se tratar de um triângulo equilátero, a altura será bissetriz e mediana da base, ou seja, dividirá o ângulo em 2 partes iguais e o lado em 2 partes iguais, respectivamente.

descobrir-a-altura-do-triângulo-equilátero-com-trigonometria-1

Se ainda não tivermos decorado, consultamos a tabela dos valores dos ângulos notáveis.

tabela-de-valores-da-trigonometria

Substituímos os valores na fórmula trigonométrica.

Atenção! Se escolhermos o ângulo de 30°, a altura é o cateto adjacente (usaremos cosseno). Se escolhermos o ângulo de 60°, a altura é o cateto oposto (usaremos seno). Observe que X sempre será a hipotenusa.

Cálculo-do-seno

Assim, chegamos a fórmula geral para encontrar a altura de um triângulo equilátero qualquer, por meio da trigonometria. Basta substituir o valor dado para o lado e terá a resposta!

Como dito anteriormente, em uma questão sobre como calcular a altura de um triângulo equilátero, você pode optar por 3 caminhos:

  • Usar Teorema de Pitágoras
  • Usar trigonometria
  • Decorar a fórmula geral e substituir o valor dado

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Redação Beduka
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