Matemática

Como calcular a altura de um triângulo equilátero? Simples e fácil com passo a passo!

Como calcular a altura de um triângulo equiláteroComo calcular a altura de um triângulo equilátero? Aprenda de 4 formas diferentes!

Há 4 modos diferentes para saber como calcular a altura de um triângulo equilátero: usando o Teorema de Pitágoras, usando a trigonometria, a fórmula da área ou a fórmula específica h = x√3 / 2, em que h é altura e x é o lado do triângulo. Vem conferir o passo a passo desses métodos e os exemplos fáceis de entender!

Neste artigo sobre como achar a altura de um triângulo equilátero, você encontrará os tópicos abaixo. Clique em um deles para ir diretamente ao tema:

  1. Introdução ao triângulo equilátero: características úteis!
  2. Caminho simples e fácil: Teorema de Pitágoras para encontrar a altura do triângulo equilátero!
  3. Como calcular a altura de um triângulo equilátero usando a fórmula específica?
  4. Como calcular a altura de um triângulo qualquer?
  5. Para os curiosos: Trigonometria básica para calcular a altura do triângulo retângulo.
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Introdução ao triângulo equilátero: características úteis

O triângulo equilátero é o queridinho dos estudantes de Geometria, pois é o mais fácil de todos!

Isso porque ele entrega o raciocínio e facilita nossa vida. Mas isso só acontece quando nós realmente entendemos suas características.

Agora você precisa saber as 3 características essenciais que ele tem, porque usaremos elas mais para frente:

Lados iguais

A própria palavra equilátero já nos conta sobre essa propriedade: “equi = igual” e “látero = lado”

Dessa forma, se for dado a medida de um dos lados, sabemos que todos os demais são iguais.

Lembre-se: na figura acima, o X representa um valor qualquer.

Ângulos iguais

Não importa qual seja o tamanho do triângulo equilátero, se você usar um transferidor (medidor de ângulos) nele… sempre encontrará o mesmo valor para todos os seus ângulos!

Isso acontece por um motivo: para que todos os lados iguais se encontrem em um formato perfeito de triângulo, dois lados sempre formarão o mesmo ângulo entre si.

E isso nos leva a uma outra descoberta! Sabemos que em qualquer triângulo a soma dos ângulos internos é 180°. Portanto, se no equilátero tudo é igual, podemos fazer 180°/3 = 60°.

Logo, os três ângulos sempre medirão 60° em um triângulo equilátero. E assim chegamos a um novo conceito: ele é equiângulo.

Alturas iguais

 Adivinhe só! Se todos os lados e ângulos são iguais, não importa a partir de qual lado você trace a altura.

Concorda? Então elas sempre serão….  iguais!

Não se esqueça: altura é um segmento de reta que forma um ângulo reto (90°) com a superfície.

1° O caminho mais seguro: Teorema de Pitágoras e altura do triângulo equilátero

Agora que aprendemos tudo o que é essencial sobre o nosso amiguinho, já podemos começar a falar sobre como descobrir a altura do triângulo equilátero.

O primeiro método é usando o Teorema de Pitágoras. Vamos fazer uma breve explicação sobre ele e já partir para o exemplo!

O que é o Teorema de Pitágoras?

Na matemática, teorema significa uma fórmula que sempre é aplicada em uma situação específica. No caso do Pitágoras, ele deve ser usado somente em triângulos retângulos (aquele em que um dos ângulo deve ser 90°).

Como o matemático chegou nesta conclusão não é o nosso foco aqui. Mas, para continuar, precisamos saber o que ele disse:

“A soma dos catetos ao quadrado é igual ao valor da hipotenusa ao quadrado.

Parece confuso, mas podemos traduzir essa frase em uma fórmula pequenininha:

cat² + cat² = hip²

Ah, você não sabe o que são esses nomes? No próximo tópico terá uma imagem te mostrando, mas já vamos te explicar:

  • A hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto, ou seja, é o maior lado de um triângulo retângulo.
  • Os catetos são os lados restantes, ou seja, os lados adjacente ao ângulo reto.

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Como calcular a altura de um triângulo equilátero usando Pitágoras? 3 passos!

Altura-no-triângulo-equilátero

Para sabermos como calcular a altura de um triângulo equilátero, precisamos utilizar o Teorema de Pitágoras. Veja o passo a passo:

  • 1° Passo: devemos traçar a altura do triângulo equilátero. Lembrando que ela parte do vértice superior e vai até o meio da base, coincidindo com a mediana.
  • 2° Passo: observe que formamos dois triângulos retângulos iguais dentro do equilátero. É para isso que traçamos a altura, já que ela sempre forma 90° com a superfície.
  • 3° Passo: Agora, podemos usar o teorema: cat² + cat² = hip². Basta substituir cada informação no seu lugar!

Lembre-se: nessa fórmula, a altura (h) ocupa o lugar de um dos catetos (cat).

2° Você sabe deduzir a fórmula específica para achar a altura desse triângulo?

Como deduzir e achar a fórmula para calcular a altura do triangulo equilatero

Talvez você já tenha aprendido e esquecido… Mas existe uma fórmula específica para calcular a altura de um triângulo equilátero. E ela só funciona nessa figura!

Pode parecer coincidência, mas ela foi tirada do Teorema de Pitágoras. Assim, se você souber o primeiro jeito, não esquecerá o segundo!

Deduzir uma fórmula é entender qual o raciocínio usado para chegar nela. E a história dessa fórmula é a seguinte: um matemático já sabia usar Pitágoras para calcular a altura, mas ele só usava números.

Aí ele resolveu substituir os números pelas letras que representam as partes do triângulo equilátero. E chegou a uma fórmula geral!

Note que, de acordo com a figura, a hipotenusa é o “x. Já o “h” é um dos catetos. Não confunda o “h” de altura com “hip” de hipotenusa!

A conta que ele fez está representada na imagem acima. Então, o raciocínio foi:

  • Isolamos o h de um lado da equação, pois é ele que queremos achar. Tudo o que é x vai para o mesmo lado.
  • Fizemos o MMC (mínimo múltiplo comum) para efetuar a soma do x com denominador diferente.
  • Encontramos a fórmula para calcular a altura de um triângulo equilátero: h = x√3 / 2.

Atenção: Ela nos ajuda a achar o valor da altura (h) se tivermos o lado (x). Basta substituir os valores dados na questão e teremos a resposta!

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Exemplo com números e resolução!

Gostou do passo a passo sobre como calcular a altura de um triângulo equilátero? Talvez pareça teórico demais, então trouxemos um exemplo com números:

1) Calcule a altura de um triângulo equilátero de lado 4cm.

Solução 1: se tiver decorado a fórmula geral, basta colocar o 4 no lugar do x:

h = x√3 / 2

h = 4√3 / 2

h = 2√3

Solução 2: se esqueceu da fórmula, pode usar o Pitágoras mesmo:

cat² + cat² = hip²

h² + (4/2)² = 4²

h² + 4 = 16

h² = 12

h = √12 (simplificando = 2√3)

3° Como calcular a altura de um triângulo qualquer?

Ok, já te mostramos dois jeitos bem direcionados para o triângulo retângulo. Mas também existe uma jeito de calcular alturas de triângulos aleatórios.

Para achar a altura de um triângulo qualquer, o que nós fazemos é usar a fórmula da área. Nós falamos assim “área é igual á base vezes a altura dividido por 2 “.

Que pode ser escrito como:

A = (b.h)/2

Sendo que:

  • A = área do triângulo.
  • b = comprimento da base do triângulo (a base é onde a altura se encontra e forma 90º).
  • h = Altura do triângulo (Sai de um vértice e forma 90º com a base).

Viu? Se você tiver os valores da base e da área, basta substituir na fórmula para encontrar a altura.

E como eu acho a área e a base?

A base é muito simples: ela é a medida de qualquer um dos lados, porque nesse triângulo tudo é igual! Mas, por definição, base é o lado que recebe o ângulo formado quando traçamos a altura.

Agora olha que coisa louca: para encontrar a área nós precisamos da altura. Mas a altura é justamente o que já estávamos procurando!

Então não tem jeito… você só consegue usar a fórmula da área para encontrar a altura se o valor da área e do lado forem dados. Se não, você terá que encontrar a altura usando o Pitágoras ou a fórmula específica mesmo!

Para os curiosos: trigonometria básica no triângulo equilátero e sua altura

Achou que tinha acabado né? Vamos te mostrar um último jeito!

Nós sabemos, muita gente tem birra da trigonometria. Mas não precisa ser assim, ela é mais legal do que aparenta! Além do mais, nós vamos trabalhar só com a parte básica.

A trigonometria é uma ferramenta da matemática que leva em conta os ângulos e os lados que formam ele.

Você lembra das relações de semelhança nos triângulos? A ideia que a trigonometria traz é parecida: sempre que pegarmos dois valores específicos e dividimos eles, nos dará um mesmo resultado.

Até aqui tudo bem? Então vamos para a parte prática:

A trigonometria diz que, no triângulo retângulo, podemos estabelecer três relações:

  • Seno: é um valor específico para cada ângulo, quando pegamos o cateto (lado) oposto a ele e dividimos pela hipotenusa.
  • Cosseno: é um valor específico para cada ângulo, quando pegamos o lado que encosta nele (adjacente) e dividimos pela hipotenusa.
  • Tangente: é um valor específico para cada ângulo, quando pegamos o cateto oposto e dividimos pelo adjacente.

Viu? Tudo tranquilo. Agora vamos ver como podemos usar isso para achar a altura:

Como calcular a altura de um triângulo equilátero usando trigonometria?

descobrir-a-altura-do-triângulo-equilátero-com-trigonometria-1

Você lembra que todo triângulo equilátero tem cada um de seus ângulos medindo 60°? Pois é, a trigonometria relaciona os lados do triângulo retângulo com os ângulos.

Então podemos fazer assim:

  • 1° Passo: novamente devemos traçar a altura no t. equilátero. Aí teremos dois t. retângulos.
  • 2° Passo: logo percebemos que, por se tratar de um triângulo equilátero, a altura será também a bissetriz (divide o ângulo em duas partes iguais). Também será a mediana da base (divide o lado em 2 partes iguais).
  • 3° Passo: ai ficou fácil. Se for dado o valor do lado desse triângulo, podemos aplicar as relações da trigonometria!

Teremos então o 60° e o 30°. Eles são conhecidos como ângulos notáveis, porque muitos vestibulares e escolas esperam que seus alunos decorem os valores de seus senos, cossenos e tangentes (eles aprecem muito nos exercícios).

Agora só precisamos lembrar desses valores e substituir na relação trigonométrica. Se você esquecer, é só consultar o quadro:

tabela-de-valores-da-trigonometria

Atenção!

  • Se escolhermos o ângulo de 30°, a altura é o cateto adjacente (usaremos cosseno).
  • Se escolhermos o ângulo de 60°, a altura é o cateto oposto (usaremos seno).
  • Observe que X (o lado do triângulo) sempre será a hipotenusa.

Vamos escolher o 60° como referência. Ficará assim:

sen 60° = cat. oposto / hipotenusa

sen 60° = h / x

√3/2 = h / x

x√3 / 2 = h

Opa! Você já viu esse resultado antes…

É exatamente igual à fórmula específica para calcular a altura do triângulo retângulo!

Viu como tudo na matemática faz sentido e está relacionado?

Acabou! Vamos resumir:

Para finalizar, vamos só recapitular: em uma questão sobre como calcular a altura de um triângulo equilátero, você pode optar por 4 caminhos:

  • Usar Teorema de Pitágoras.
  • Usar trigonometria.
  • Decorar a fórmula específica e substituir o valor dado.
  • Usar a fórmula da área.

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10 Comentários

  • Pessoal, a dedução da fórmula da altura está errada. Ao elevarmos (x/2) ao quadrado, temos (x/2)² = x²/4 e não x²/2, como foi feito na imagem. Após isso, teremos:
    x² = h² + x²/4
    h² = x² – x²/4
    h² = 4x²/4 – x²/4
    h² = 3x²/4
    h = x√3/2

    • Livia, o processo que você fez foi o mesmo do nosso. Apensa representamos de uma forma gráfica diferente. Nossa imagem não representa (x/2) ao quadrado. Ela representa somente X ao quadrado dividido por 2.

  • Jogo dos 7 erros. Além do outro erro já comentado, tem também o erro de passar pro outro lado somando ao invés de diminuindo, e no final não foi tirada a raiz do 2 no denominador.

  • O processo para encontrar a altura do triângulo equilátero está errado, pois o denominador não foi elevado ao quadrado e ao trocar de membro não houve inversão de operação, embora, com esses dois erros, chegou na fórmula da altura.

    • Oi Deiv, você está se referindo a qual parte do texto?

      Vou supor que é sobre a terceira linha da imagem dedução da fórmula.

      Nesse caso, é porque fizemos o MMC.

      Note que na segunda linha precisávamos somar dois números com denominadores diferentes (o h² sobre 1 e o x² sobre 4).

      Realizando a operação de soma de frações, tiramos o MMC dos denominadores, dividimos-o pelo denominador original e multiplicamos pelo numerador.

  • Vou deixar a sugestão (malandra) da quinta fórmula para calcular a altura de um triângulo equilátero: lado do triângulo x 0,866. ……kkkkkk

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