O MDC (Máximo Divisor Comum) de dois ou mais números naturais é o maior número que divide todos os fatores ao mesmo tempo. Números naturais sempre vão possuir divisores em comum e nesse texto você vai aprender a encontrar esses divisores. Chegando ao fim, faça os exercícios de mdc para testar o que aprendeu.
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Como se determina o MDC?
Existem duas formas de calcular o MDC. São elas:
- Decomposição de fatores primos.
- Decomposição Simultânea.
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Decomposição em fatores primos
Para realizar esse método, há 3 regras para serem seguidas:
- Decompor os números em fatores primos;
- Pegar dentre os fatores primos comuns o com menor expoente;
- Multiplicar esses fatores.
Exemplos:
Vamos encontrar o máximo divisor comum entre 20 e 10.
20 = 2 x 2 x 5 = 2² x 5
10 = 2 x 5
Perceba que dentre os fatores primos comuns temos 2, 2² e 5. Os fatores de menor expoente são 2 e 5, portanto deve-se multiplicá-los para achar o MDC.
Assim, 2 x 5 = 10. Logo, o MDC (20;10) = 10.
Observação: Quando o MDC de dois números for 1, é porque esses números são primos entre si.
Decomposição Simultânea
Também conhecida como fatoração simultânea. Esse é um método que consiste em dividir os números dados pelos menores fatores primos possíveis. Se algum dos números não for divisível ele deve ser repetido.
O mdc é encontrado ao multiplicarmos todos os fatores primos comuns, ou seja, aqueles que dividem todos os números dados ao mesmo tempo.
Exemplos:
150, 24, 30 | 2 (Esse 2 dividiu todos os números ao mesmo tempo de forma exata)
75, 12, 15 | 2
75, 6, 15 | 2
75, 3, 15 | 3 (Esse 3 dividiu todos os números ao mesmo tempo de forma exata)
25, 1, 5 | 5
5 , 1 , 1 | 5
1, 1, 1 |
Logo, MDC(150, 24, 30) = 2 x 3 = 6
O que aconteceu foi que dividimos os números pelo menor primo possível que é o 2 e em seguida verificamos se era possível continuar dividindo por 2.
Como mostrado, sim! Era possível fazer mais duas divisões por 2, entretanto ele não era mais capaz de dividir todos os números como na primeira vez. Por isso, tivemos de repetir o 75 e o 15.
Quando não foi mais possível insistir no 2 passamos para o menor primo possível que poderia dividir pelo menos um dos números que tínhamos. Nesse caso foi o 3 que conseguia dividir o 15, o 3 e o 75 ao mesmo tempo.
Assim, seguimos nas divisões por 3 até não ser mais possível. Depois passamos para o próximo número primo que poderia continuar as divisões. No caso foi o 5 que nos levou até o final do processo que se dá quando todos os fatores chegam a 1.
O MDC é a multiplicação dos primos que conseguiram dividir todos os números ao mesmo tempo. Por isso MDC(150, 24, 30) = 2 x 3 = 6.
O 2, na primeira vez que apareceu, dividiu todos os três números e o 3 também fez isso na primeira vez que apareceu. Então a multiplicação dos dois resulta no MDC.
Quais são as propriedades do MDC
Por fim, é bom saber algumas propriedades do mdc. São elas:
1- Se multiplicarmos o MDC pelo MMC de dois números naturais encontraremos o módulo do produto desses números.
Exemplo:
MDC (1 , 2) x MMC (1 , 2) = |1 x 2|
2- Os divisores comuns de dois ou mais números também são divisores do mdc desses números.
3- O MDC entre dois números consecutivos é sempre igual a 1. Ou seja, números consecutivos são primos entre si, pois não possuem fatores comuns.
4- Quando um dos dois ou mais números que nos foram dados é divisor de todos os demais,esse será o MDC.
Exemplo:
MDC (3 ,6 ,9) = 3 porque 3 é divisor de 6 e 9 ao mesmo tempo.
Exercícios de MDC com Gabarito
Esperamos que, com esse resumo, tudo tenha ficado mais claro para você.
Obrigado por ter lido até aqui!
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Questão 1- (EPCAR-2001) Uma abelha rainha dividiu as abelhas de sua colmeia nos seguintes grupos para exploração ambiental: um composto de 288 batedoras e outro de 360 engenheiras. Sendo você a abelha rainha e sabendo que cada grupo deve ser dividido em equipes constituídas de um mesmo e maior número de abelhas possível, então você redistribuiria suas abelhas em:
a) 8 grupos de 81 abelhas.
b) 9 grupos de 72 abelhas.
c) 24 grupos de 27 abelhas.
d) 2 grupos de 324 abelhas.
Questão 2- (Concurso Correios – 2011) O piso de uma sala retangular, medindo 3,52 m × 4,16 m, será revestido com ladrilhos quadrados, de mesma dimensão, inteiros, de forma que não fique espaço vazio entre ladrilhos vizinhos. Os ladrilhos serão escolhido de modo que tenham a maior dimensão possível. Na situação apresentada, o lado do ladrilho deverá medir:
a) mais de 30 cm.
b) menos de 15 cm.
c) mais de 15 cm e menos de 20 cm.
d) mais de 20 cm e menos de 25 cm.
e) mais de 25 cm e menos de 30 cm.
Questão 3- (Mackenzie – SP) Nas últimas eleições, três partidos políticos tiveram direito, por dia, a 90 s, 108 s e 144 s de tempo gratuito de propaganda na televisão, com diferentes números de aparições. O tempo de cada aparição, para todos os partidos, foi sempre o mesmo e o maior possível. A soma do número das aparições diárias dos partidos na TV foi de:
a) 18
b) 9
c) 6
d) 19
e) 8
- Muito bem! Você chegou à metade dos Exercícios de mdc. Continue fazendo o restante.
Questão 4- (UFU) Considere a função f: N → N, (onde N representa o conjunto dos números naturais) dada por f(n) = mdc (2n + 4, 4n + 2). Então, o valor mínimo de f é igual a:
a) 4
b) 1
c) 6
d) 2
e) 8
Questão 5- (Bio – Rio) O MDC entre 2³.3.5² e 2².3.7² é igual a:
a) 6
b) 12
c) 60
d) 50
e) 300
Questão 6- (Câmara de Vinhedo – PR) Assinale a alternativa que apresenta o MDC dos seguintes números (18, 60):
a) 4.
b) 5.
c) 6.
d) 8.
e) 9.
- Parabéns, você fez todos os exercícios de mdc. Confira agora o Gabarito:
Gabarito dos Exercícios de MDC
Exercício resolvido da questão 1 –
Alternativa correta: b) 9 grupos de 72 abelhas.
Exercício resolvido da questão 2 –
Alternativa correta: a) mais de 30 cm.
Exercício resolvido da questão 3 –
Alternativa correta: d) 19
Exercício resolvido da questão 4 –
Alternativa correta: d) 2
Exercício resolvido da questão 5 –
Alternativa correta: b) 12
Exercício resolvido da questão 6 –
Alternativa correta: c) 6
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