Os 10 melhores exercícios sobre Sistemas Lineares com o Gabarito!

Os sistemas de equações de primeiro grau são até fáceis de resolver, mas quando aparecem três ou mais incógnitas… Surgem também as dúvidas! Leia o resumo e treine seus conhecimentos com os exercícios sobre Sistemas Lineares. Ao final, haverá um gabarito para confirmar suas respostas!

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• Definição: o que são Sistemas Lineares?
• Como resolver sistemas lineares? Adição, Substituição, Regra de Cramer e Escalonamento!
• Os 10 melhores exercícios sobre Sistemas Lineares!
• Gabarito das questões sobre Sistemas Lineares.

Quando você terminar os exercícios de Sistemas Lineares, coloque em prática todo seu conhecimento com O Melhor Simulado Enem do Brasil!

Conceito: o que é um Sistema Linear?

O sistema linear é o conjunto de duas ou mais equações de primeiro grau, podendo ter uma ou mais incógnitas. 

Nele, as equações são representadas uma acima da outra, com uma chave do lado esquerdo. Esse é o símbolo usado para sinalizar que elas fazem parte de um mesmo grupo. Veremos uma imagem adiante, nos exercícios.

Sendo assim, um sistema de “m” equações lineares e “n” incógnitas pode ser representado como sistema linear m × n.

Essa também é a maneira com que representamos as matrizes. Portanto, é possível traduzir as informações do sistema para uma matriz e, a partir disso, calcular o Determinante para extrair informações importantes.

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Como resolvemos os sistemas lineares?

Na verdade, há diferentes métodos dependendo do tipo de equação com que estamos lidando…

Quando o sistema linear possui equações com 2 incógnitas, os métodos mais práticos de resolução são a Adição e a Substituição.

Porém, quando falamos em sistemas de 3 ou mais incógnitas, aí precisamos de recursos novos: a Regra de Cramer e o Escalonamento.

Como resolver um sistema linear pela Regra de Cramer?

A Regra de Cramer é utilizada na resolução de sistemas SPD (sistemas possíveis e determinados). Ela consiste em fazer basicamente três etapas:

• 1° Passo: Calcular o determinante principal (D).
• 2° Passo: Calcular o determinante secundário (Dx, Dy, Dz).
• 3° Passo: Substituir na fórmula: x = Dx/D ou y = Dy/D ou z = Dz/D.

Fizemos um artigo COMPLETO sobre Sistemas Lineares! Nele, você aprende a transformar o sistema em matriz e pode ver as classificações e as resoluções deste método com exemplos!

Como resolver um sistema linear por Escalonamento?

O Escalonamento é um método onde utilizamos somente a matriz completa para realizar  operações entre as linhas.

Essa é uma forma de resolver o sistema transformando-o em outro sistema equivalente e mais fácil. O objetivo é isolar as suas incógnitas e conseguir, assim, anular algumas delas para encontrar o seu valor.

• 1º passo: escrever a matriz completa que representa o sistema.
• 2° Passo: realizar operações entre as equações, para tentar eliminar ou simplificar alguma incógnita (somar ou subtrair uma equação pela outra / Multiplicar ou dividir uma das equações por um número / Trocar duas equações de posições).
• 3° Passo: reescrever o sistema a partir dos coeficientes simplificados na nova matriz e resolver normalmente.

No nosso artigo COMPLETO sobre Sistemas Lineares, você encontra um exemplo de resolução por esse método!

Os 10 exercícios sobre Sistemas Lineares!

Esperamos que, com esse resumo, tudo tenha ficado mais claro para você. 

Obrigado por ter lido até aqui!

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Questão 1- (IFPE 2012) 

Com a proximidade do final do ano, uma papelaria quis antecipar as promoções de material didático para o ano letivo de 2012. Foram colocados em promoção caneta, caderno e lápis. As três ofertas eram:

1ª) 5 canetas, 4 cadernos e 10 lápis por R$ 62,00;

2ª) 3 canetas, 5 cadernos e 3 lápis por R$ 66,00;

3ª) 2 canetas, 3 cadernos e 7 lápis por R$ 44,00.

Para comparar os preços unitários dessa papelaria com outras do comércio, o Sr. Ricardo calculou os preços de uma caneta, um caderno e um lápis. A soma desses preços é:

a) R$ 20,00.

b) R$ 18,00.

c) R$ 16,00.

d) R$ 14,00.

e) R$ 12,00.

Questão 2- (UEL)

O sistema abaixo, de incógnitas x e y, é:

a) impossível, para todo k real diferente de -21.

b) possível e indeterminado, para todo k real diferente de -63.

c) possível e determinado, para todo k real diferente de -21.

d) possível e indeterminado, para todo k real diferente de -3.

e) possível e determinado, para todo k real diferente de -1 e -63.

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Questão 3- (Unisinos 2012) 

Numa loja, todas as calças têm o mesmo preço, e as camisas também, sendo o preço de uma calça diferente do de uma camisa. Ricardo comprou 1 calça e 2 camisas e pagou R$240,00. Roberto comprou 2 calças e 3 camisas e pagou R$405,00. Qual o preço, em reais, de uma calça e uma camisa, respectivamente?

a) 70 e 95.

b) 75 e 90.

c) 80 e 85.

d) 85 e 80.

e) 90 e 75.

Questão 4- (Fuvest- 2012)

Em uma festa com n pessoas, em um dado instante, 31 mulheres se retiraram e restaram convidados na razão de 2 homens para cada mulher. Um pouco mais tarde, 55 homens se retiraram e restaram, a seguir, convidados na razão de 3 mulheres para cada homem. 

O número n de pessoas presentes inicialmente na festa era igual a:

a) 100.

b) 105.

c) 115.

d) 130.

e) 135.

Questão 5- (Fuvest-adaptada)

Carlos e sua irmã Andreia foram com seu cachorro Bidu à farmácia de seu avô. Lá encontraram uma velha balança com defeito, que só indicava corretamente pesos superiores a 60 kg. Assim, eles se pesaram dois a dois e obtiveram as seguintes marcas:

Carlos e o cão pesam juntos 87 kg;

Carlos e Andreia pesam 123 kg;

Andreia e Bidu pesam 66 kg.

O peso de cada um deles é:

a) Andreia 61 kg, Bidu 10 kg e Carlos 67 kg.

b) Andreia 72 kg, Bidu 13 kg e Carlos 51 kg.

c) Andreia 48 kg, Bidu 8 kg e Carlos 63 kg.

d) Andreia 50 kg, Bidu 12 kg e Carlos 75 kg.

e) Andreia 51 kg, Bidu 15 kg e Carlos 72 kg.

• Nossa! Você já fez metade das questões de Sistemas Lineares. Vamos lá!

Questão 6- (Mackenzie – 2008)

O diretor de uma empresa, o Dr. Antonio, convocou todos os seus funcionários para uma reunião. Com a chegada do Dr. Antonio à sala de reuniões, o número de homens presentes na sala ficou quatro vezes maior que o número de mulheres também presentes na sala. Se o Dr. Antonio não fosse à reunião e enviasse sua secretária, o número de mulheres ficaria a terça parte do número de homens. 

A quantidade de pessoas, presentes na sala, aguardando o Dr. Antonio é:

a) 20.

b) 19.

c) 18.

d) 15.

e) 14.

Questão 7- (Uerj 2012)

Uma família comprou água mineral em embalagens de 20 L, de 10 L e de 2 L. Ao todo, foram comprados 94 L de água, com o custo total de RS65,00. Veja na tabela os preços da água por embalagem:

Volume da embalagem (L)	Preço (R$)
20	10,00
10	6,00
2	3,00

Nessa compra, o número de embalagens de 10 L corresponde ao dobro do número de embalagens de 20 L, e a quantidade de embalagens de 2 L corresponde a n.

O valor de n é um divisor de:

a) 32.

b) 65.

c) 77.

d) 81.

Questão 8- (Vunesp-adaptada)

Um clube promoveu um show de música popular brasileira ao qual compareceram 200 pessoas, entre sócios e não sócios. No total, o valor arrecadado foi de R$ 1 400,00 e todas as pessoas pagaram ingresso. Sabendo que o preço do ingresso foi R$ 10,00 e que cada sócio pagou metade desse valor, determine o número de sócios e não sócios que compareceram ao show.

a) 100 sócios e 60 não sócios.

b) 72 sócios e 110 não sócios.

c) 80 sócios e 120 não sócios.

d) 120 sócios e 80 não sócios. 

e) 110 sócios e 72 não sócios.

• Ufa! Agora só faltam mais dois exercícios de Sistemas Lineares!

Questão 9- (UFRGS 2012)

Inovando na forma de atender aos clientes, um restaurante serve alimentos utilizando pratos de três cores diferentes: verde, amarelo e branco. Os pratos da mesma cor custam o mesmo valor. Na mesa A, foram consumidos os alimentos de 3 pratos verdes, de 2 amarelos e de 4 brancos, totalizando um gasto de R$ 88,00. Na mesa B, foram consumidos os alimentos de 2 pratos verdes e de 5 brancos, totalizando um gasto de R$ 64,00. Na mesa C, foram consumidos os alimentos de 4 pratos verdes e de 1 amarelo, totalizando um gasto de R$ 58,00.

Comparando o valor do prato branco com o valor dos outros pratos, verifica-se que esse valor é

a) 80% do valor do prato amarelo.

b) 75% do valor do prato amarelo.

c) 50% do valor do prato verde.

d) maior que o valor do prato verde.

e) a terça parte do valor da soma dos valores dos outros pratos.

Questão 10 – (IFCE 2012) 

A soma de dois números naturais é 561. O maior é igual à diferença entre o dobro do menor e 231. O máximo divisor comum entre esses números é:

a) 27.

b) 33.

c) 81.

d) 121.

e) 792.

• Parabéns, você fez todos os exercícios sobre Sistemas Lineares. Confira agora o Gabarito:

Gabarito dos exercícios de Sistemas Lineares

Exercício resolvido da questão 1 –

Alternativa correta: d) R$ 14,00.

Exercício resolvido da questão 2 –

Alternativa correta: c) possível e determinado, para todo k real diferente de -21.

Exercício resolvido da questão 3 –

Alternativa correta: e) 90 e 75.

Exercício resolvido da questão 4 –

Alternativa correta: d) 130.

Exercício resolvido da questão 5 –

Alternativa correta: e) Andreia 51 kg, Bidu 15 kg e Carlos 72 kg.

Exercício resolvido da questão 6 –

Alternativa correta: b) 19.

Exercício resolvido da questão 7 –

Alternativa correta: c) 77.

Exercício resolvido da questão 8 –

Alternativa correta: d) 120 sócios e 80 não sócios. 

Exercício resolvido da questão 9 –

Alternativa correta: a) 80% do valor do prato amarelo.

Exercício resolvido da questão 10 –

Alternativa correta: b) 33.

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