Matemática

Tudo o que você precisa para entender a Equação do primeiro Grau!

Tudo o que você precisa para entender Equações de Primeiro Grau!Tudo o que você precisa para entender Equações de Primeiro Grau!

As equações do 1° grau são expressões que estabelecem relação de igualdade entre termos conhecidos (números) e desconhecidos (incógnitas). A fórmula geral da equação do primeiro grau é ax + b = 0, sendo que todos os termos pertencem aos número reais e a ≠ 0. Cada termo tem uma função e pode ser encontrado ao ler e interpretar corretamente a questão. 

Neste artigo, você encontrará:

  1. O que é Equação do primeiro grau: definição e condições
  2. Tipos de Equação do 1º grau
  3. 4 passos para resolver equações e compreender exercícios
  4. Sistema de equações: como resolver equação com 2 incógnitas
  5. Exemplos
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O que é Equação do primeiro grau: definição e condições

A palavra “Equação” está originalmente relacionada à palavra igualdade. Portanto, falar em equação é querer tornar as coisas iguais. 

Nesta igualdade há números conhecidos e outros desconhecidos. O valor que não sabemos é chamado de incógnita e ele pode ser representado por qualquer letra, o mais comum é utilizarmos “x”,”y”ou “z”.

A fórmula base para qualquer equação do primeiro grau é ax + b = 0. Nela, o x é a nossa incógnita, o “a” é o coeficiente e o “b” é um termo independente. Esses termos são definidos de acordo com o contexto do problema e o nosso objetivo é achar quanto vale a incógnita.

Atenção:

O coeficiente “a” está multiplicando a incógnita. Quando há um número e uma letra juntos (ou duas letras juntas) sem nenhum sinal entre eles, significa que há uma multiplicação.

  • Primeira condição de existência

Já o termo “primeiro grau” refere-se ao expoente que está sobre a incógnita, que neste caso é sempre 1. Como todo número elevado a 1 é ele mesmo, omite-se a escrita do 1.

  • Segunda condição de existência

A segunda condição para que exista uma equação do primeiro grau é que o “a” não pode ser 0. Isso porque todo número multiplicado por zero é 0, logo, deixaria de existir a incógnita.

Importante!

  • O lado esquerdo de uma igualdade é chamado de 1º membro da equação e o lado direito é chamado de 2º membro.
  • A solução da equação (o valor que acharmos para a incógnita) é chamada de Raiz. Ela deve ser um número que ao substituir a incógnita, comprove a igualdade. Dizemos que assim a sentença será verdadeira.

Exemplos de equação de 1° grau

Agora que você já dominou toda a parte teórica, veja exemplos concretos:

  • 5x + 20 = 0     →     em que a = 5 e b = 20
  • 2y – 10 = 0     →     em que a = 2 e b = -10
  • 3x + 5 = 2x – 8     →     para deixar o segundo termo com o “0”, basta passar o “2x” e o “-8” de forma correta para o primeiro termo. Trataremos disso em um tópico adiante. A equação final será: x – 13 = 0 , em que a = 1 e b = -13

NÃO são exemplos de equações de 1° grau:

  • 3x² + 3 = 0
  • x² + 1 = x³ – 2
  • 5x³ – 1 = 0

Tipos de Equação do primeiro grau

Antes de aprendermos a resolvê-las, precisamos conhecer os tipos de equação de 1° grau. 

  • A primeira variação é quanto ao número de incógnitas: 

Equação do 1° com 1 incógnita 4 + 2x = 11 + 3x (uma incógnita, a variável x)

Equação do 1° com 2 incógnitas y – 1 = 6x + 13 – 4y (duas incógnitas, x e y)

Equação do 1° com 3 incógnitas 8x – 3 + y = 4 + 5z – 2 (três incógnitas, x,y e z)

Atenção!

Não importa se a variável apareceu mais de uma vez, o que conta é quantas variáveis diferentes há. 

Exemplo: x + 1 = x + 2, temos uma variável, o “x”.

  • Equação Normal

Dizemos que uma equação está na forma normal quando todos os seus termos estão no primeiro membro, estão em forma reduzida e ordenada.

Exemplo:     2x + 4 = 4x – 2          (não está na forma normal)

                    2x + 4 – 4x +2 = 0     (tudo no primeiro membro)

                    -2x + 6 = 0                (não está reduzida)

                    -x + 3 = 0                  (equação na forma normal)

Se você não entendeu as operações que fizemos, não se preocupe, mais adiante iremos detalhar como fazê-las! O importante aqui é que você perceba que a primeira equação e a última são as mesmas, só que uma está na forma normal e a outra não!

  • Equações equivalentes

Duas ou mais equações serão equivalentes quando tiverem um mesmo número que solucione as sentenças. 

Exemplo:

2x – 4 = 0     →     para que seja uma sentença real, é preciso que o “x” tenha o valor de 2.

3x – 6 = 0     →     para que seja uma sentença real, é preciso que o “x” tenha o valor de 2.

Logo, são equação diferentes mas equivalentes.

  • Equações possíveis e determinadas

São as equações de 1° grau que possuem apenas um número que satisfaça a sentença.

Exemplo:       

 x + 3 = 7     →     o único número que torna essa sentença verdadeira é o número 4.

  • Equações possíveis e indeterminadas

São as equações de 1° grau que possuem mais de um número que satisfaça a sentença. Também são conhecidas como Equação identidade.

Exemplo:    

2x + 4y = 16     →     Adiante aprenderemos como resolver equações com 2 incógnitas. Mas não se preocupe, você já é capaz de notar que se há 2 incógnitas, precisamos de 2 valores que atenda às necessidades ao mesmo tempo, ou seja, nossa solução será um par.

Portanto, se fizermos x = 2 e y = 3 veremos que a sentença será verdadeira. Bem como se fizermos x = 6 e y = 1, também dá certo!

Logo, há mais de um par que soluciona!

  • Equações impossíveis

São todas as equações que não admitem soluções, ou seja, não é verdadeira. 

Exemplo:

x + 2 = x + 3     →     x – x = -2 + 3     →     0 = 1 (Não forma uma igualdade e não há nenhum valor de x que torne a sentença verdadeira)

Como resolver equações de 1° grau com 1 incógnita

O objetivo de resolver uma equação é descobrir quanto vale o “x”, ou seja, encontrar o valor da incógnita que torna a igualdade verdadeira. Para isso, devemos isolar os elementos desconhecidos no primeiro membro e colocar os valores conhecidos no segundo membro.

Contudo, essa mudança de posição deve ser feita de forma que a igualdade continue sendo verdadeira. Portanto há uma ordem de ações a ser seguida! 

1.Eliminar os parênteses fazendo as operações prioritárias

Algumas expressões podem estar escritas dentro de símbolos, como os parênteses ( ) , os colchetes [ ] e as chaves { }. Eles indicam a ordem: 1° resolvemos o que está dentro dos parênteses, 2° o que está dentro dos colchetes e 3° o que está dentro das chaves. 

Se for impossível continuar resolvendo o que está em 1° lugar de prioridade, pulamos para o próximo passo. Apenas depois disso podemos resolver o que está fora.

Uma vez que identificamos as prioridades, podemos efetuar as operações. Elas também têm uma ordem: 1º potenciação e radiciação; 2º multiplicação e divisão e 3º soma e subtração.

Se existir mais de uma operação com a mesma prioridade, elas serão resolvidas da esquerda para direita.

2. Efetuar a transposição de termos

Após isso, para podermos trocar os termo e organizá-los em cada membro, devemos mudar o sinal que ele carregava para o seu oposto:

  • Aquilo que está negativo passa como positivo e vice-versa
  • O que está multiplicando passa dividindo e vice-versa
  • Se havia  raiz quadrada, passa como potência de expoente ½ e vice-versa

Atenção: 

Ao passar as incógnitas de lado, devemos mantê-las juntas aos seus coeficientes. 

3. Reduzir os termos semelhantes

Depois disso, efetuamos as operações entre os termos semelhantes (número com número, letra com  letra). 

4. Isolar a incógnita e encontrar seu valor numérico

Ao final, restará uma incógnita com seu coeficiente de um lado e um número sozinho do outro. Quando não há mais nada a ser feito, aí sim poderemos separar a incógnita de seu coeficiente e encontraremos o valor numérico.

Como-resolver-equações-do-primeiro-grau-etapa-por-etapa

4 passos para resolver os exercícios de equação de 1° grau

Vários problemas matemáticos podem ser resolvidos aplicando uma equação do primeiro grau mas nem sempre essa equação será dada. Você deverá ler o problema e conseguir montar a equação. Para isso, você deve seguir estes passos:

1.Compreensão do problema

O enunciado do problema deve ser lido com muita atenção, imagine a situação e entenda o que se passa. Assim, fica fácil de identificar e sublinhar as informações relevantes e o que se deve encontrar.

2. Montagem da equação

Aqui você deve “traduzir” o enunciado do problema em uma linguagem matemática, por meio de expressões algébricas. Assim, interpretando o que se pede, você obterá uma equação. Sempre associe o que você deve achar com o “x” da equação!

3. Resolução da equação obtida

Se você prestou atenção no tópico anterior, esta etapa você já sabe!

4. Comprovação e análise do resultado

Ao final da resolução do exercício, não custa nada comprovar se a solução obtida é correta. Jogue o valor encontrado na equação para ver se a igualdade se torna verdadeira. Assim você terá certeza que fez os cálculos certos e que não errou alguma coisa no meio do caminho!

Exemplos resolvidos

exercício-1-de-equação-de-primeiro-grau-com-uma-incógnita
solução-do-exercício-1-de-equação-de-primeiro-grau-com-uma-incógnita
exercício-2-de-equação-de-primeiro-grau-com-uma-incógnita
solução-do-exercício-2-de-equação-de-primeiro-grau-com-uma-incógnita
exercício-3-de-equação-de-primeiro-grau-com-uma-incógnita
solução-do-exercício-3-de-equação-de-primeiro-grau-com-uma-incógnita

Sistema de equações: como resolver equação com 2 incógnitas

Quando nos deparamos com uma equação de duas incógnitas, não há nada que se possa fazer somente com essa informação. Portanto, precisamos de uma outra equação com essas mesma incógnita e será possível construir um sistema para compará-las.

Ao resolver este sistema, encontraremos os valores que satisfaçam simultaneamente as equações. 

Existem 2 métodos clássicos para resolver os sistemas. Ambos são corretos e você pode escolher quando usar qual, mas cada um pode ser melhor para uma determinada situação, veja esta questão que resolveremos nós tópicos a seguir, das duas formas:

Exercício-de-equação-de-primeiro-grau-com-duas-incógnitas

Método por adição

Ele é indicado para os casos em que uma das incógnitas aparece na primeira equação com valor positivo e na segunda com valor negativo. Também é indicado para qualquer caso em que um dos termos é múltiplo do da outra. Veja a resolução do exercício por este método:

Resolução-do-exercício-de-equação-do-primeiro-grau-com-duas-incógnitas-pelo-método-do-sistema-de-adição

Método por substituição

Neste método isolamos um incógnita e achamos a expressão algébrica que a representa, para substituir direto na outra equação. Ele é indicado para qualquer caso! Veja a resolução do mesmo exercício por este método:

As equações do 1° grau são expressões que estabelecem relação de igualdade entre termos conhecidos (números) e desconhecidos (incógnitas). A fórmula geral da equação do primeiro grau é ax + b = 0, sendo que todos os termos pertencem aos número reais e a ≠ 0. Cada termo tem uma função e pode ser encontrado ao ler e interpretar corretamente a questão.   Neste artigo, você encontrará:  O que é Equação do primeiro grau: definição e condições Tipos de Equação do 1º grau 4 passos para resolver equações e compreender exercícios Sistema de equações: como resolver equação com 2 incógnitas Exemplos  Estudando para as provas? Conheça nosso Simulado gratuito, que pode ser personalizado com as matérias que você mais precisa! O que é Equação do primeiro grau: definição e condições A palavra “Equação” está originalmente relacionada à palavra igualdade. Portanto, falar em equação é querer tornar as coisas iguais.   Nesta igualdade há números conhecidos e outros desconhecidos. O valor que não sabemos é chamado de incógnita e ele pode ser representado por qualquer letra, o mais comum é utilizarmos “x”,”y”ou “z”.  A fórmula base para qualquer equação do primeiro grau é ax + b = 0. Nela, o x é a nossa incógnita, o “a” é o coeficiente e o “b” é um termo independente. Esses termos são definidos de acordo com o contexto do problema e o nosso objetivo é achar quanto vale a incógnita.  Atenção:  O coeficiente “a” está multiplicando a incógnita. Quando há um número e uma letra juntos (ou duas letras juntas) sem nenhum sinal entre eles, significa que há uma multiplicação.  Primeira condição de existência  Já o termo “primeiro grau” refere-se ao expoente que está sobre a incógnita, que neste caso é sempre 1. Como todo número elevado a 1 é ele mesmo, omite-se a escrita do 1.  Segunda condição de existência  A segunda condição para que exista uma equação do primeiro grau é que o “a” não pode ser 0. Isso porque todo número multiplicado por zero é 0, logo, deixaria de existir a incógnita.  Importante!  O lado esquerdo de uma igualdade é chamado de 1º membro da equação e o lado direito é chamado de 2º membro.  A solução da equação (o valor que acharmos para a incógnita) é chamada de Raiz. Ela deve ser um número que ao substituir a incógnita, comprove a igualdade. Dizemos que assim a sentença será verdadeira. Exemplos de equação de 1° grau Agora que você já dominou toda a parte teórica, veja exemplos concretos:  5x + 20 = 0     →     em que a = 5 e b = 20  2y - 10 = 0     →     em que a = 2 e b = -10  3x + 5 = 2x - 8     →     para deixar o segundo termo com o “0”, basta passar o “2x” e o “-8” de forma correta para o primeiro termo. Trataremos disso em um tópico adiante. A equação final será: x - 13 = 0 , em que a = 1 e b = -13  NÃO são exemplos de equações de 1° grau:  3x² + 3 = 0  x² + 1 = x³ - 2  5x³ - 1 = 0 Tipos de Equação do primeiro grau Antes de aprendermos a resolvê-las, precisamos conhecer os tipos de equação de 1° grau.   A primeira variação é quanto ao número de incógnitas:  Equação do 1° com 1 incógnita 4 + 2x = 11 + 3x (uma incógnita, a variável x) Equação do 1° com 2 incógnitas y – 1 = 6x + 13 – 4y (duas incógnitas, x e y) Equação do 1° com 3 incógnitas 8x – 3 + y = 4 + 5z – 2 (três incógnitas, x,y e z) Atenção! Não importa se a variável apareceu mais de uma vez, o que conta é quantas variáveis diferentes há.  Exemplo: x + 1 = x + 2, temos uma variável, o “x”. Equação Normal Dizemos que uma equação está na forma normal quando todos os seus termos estão no primeiro membro, estão em forma reduzida e ordenada.  Exemplo:     2x + 4 = 4x - 2          (não está na forma normal)                     2x + 4 - 4x +2 = 0     (tudo no primeiro membro)                     -2x + 6 = 0                (não está reduzida)                     -x + 3 = 0                  (equação na forma normal)  Se você não entendeu as operações que fizemos, não se preocupe, mais adiante iremos detalhar como fazê-las! O importante aqui é que você perceba que a primeira equação e a última são as mesmas, só que uma está na forma normal e a outra não!  Equações equivalentes  Duas ou mais equações serão equivalentes quando tiverem um mesmo número que solucione as sentenças.   Exemplo:  2x - 4 = 0     →     para que seja uma sentença real, é preciso que o “x” tenha o valor de 2.  3x - 6 = 0     →     para que seja uma sentença real, é preciso que o “x” tenha o valor de 2.  Logo, são equação diferentes mas equivalentes.  Equações possíveis e determinadas  São as equações de 1° grau que possuem apenas um número que satisfaça a sentença.  Exemplo:          x + 3 = 7     →     o único número que torna essa sentença verdadeira é o número 4.  Equações possíveis e indeterminadas  São as equações de 1° grau que possuem mais de um número que satisfaça a sentença. Também são conhecidas como Equação identidade.  Exemplo:      2x + 4y = 16     →     Adiante aprenderemos como resolver equações com 2 incógnitas. Mas não se preocupe, você já é capaz de notar que se há 2 incógnitas, precisamos de 2 valores que atenda às necessidades ao mesmo tempo, ou seja, nossa solução será um par.  Portanto, se fizermos x = 2 e y = 3 veremos que a sentença será verdadeira. Bem como se fizermos x = 6 e y = 1, também dá certo!  Logo, há mais de um par que soluciona!  Equações impossíveis  São todas as equações que não admitem soluções, ou seja, não é verdadeira.   Exemplo:  x + 2 = x + 3     →     x – x = -2 + 3     →     0 = 1 (Não forma uma igualdade e não há nenhum valor de x que torne a sentença verdadeira) Como resolver equações de 1° grau com 1 incógnita O objetivo de resolver uma equação é descobrir quanto vale o “x”, ou seja, encontrar o valor da incógnita que torna a igualdade verdadeira. Para isso, devemos isolar os elementos desconhecidos no primeiro membro e colocar os valores conhecidos no segundo membro.  Contudo, essa mudança de posição deve ser feita de forma que a igualdade continue sendo verdadeira. Portanto há uma ordem de ações a ser seguida!   Eliminar os parênteses fazendo as operações prioritárias  Algumas expressões podem estar escritas dentro de símbolos, como os parênteses ( ) , os colchetes [ ] e as chaves { }. Eles indicam a ordem: 1° resolvemos o que está dentro dos parênteses, 2° o que está dentro dos colchetes e 3° o que está dentro das chaves.   Se for impossível continuar resolvendo o que está em 1° lugar de prioridade, pulamos para o próximo passo. Apenas depois disso podemos resolver o que está fora.  Uma vez que identificamos as prioridades, podemos efetuar as operações. Elas também têm uma ordem: 1º potenciação e radiciação; 2º multiplicação e divisão e 3º soma e subtração.  Se existir mais de uma operação com a mesma prioridade, elas serão resolvidas da esquerda para direita.  Efetuar a transposição de termos  Após isso, para podermos trocar os termo e organizá-los em cada membro, devemos mudar o sinal que ele carregava para o seu oposto:  Aquilo que está negativo passa como positivo e vice-versa O que está multiplicando passa dividindo e vice-versa Se havia  raiz quadrada, passa como potência de expoente ½ e vice-versa  Atenção:   Ao passar as incógnitas de lado, devemos mantê-las juntas aos seus coeficientes.   Reduzir os termos semelhantes  Depois disso, efetuamos as operações entre os termos semelhantes (número com número, letra com  letra).   Isolar a incógnita e encontrar seu valor numérico  Ao final, restará uma incógnita com seu coeficiente de um lado e um número sozinho do outro. Quando não há mais nada a ser feito, aí sim poderemos separar a incógnita de seu coeficiente e encontraremos o valor numérico.   Saiba o que é Função do Primeiro Grau e faça os exercícios! 4 passos para resolver os exercícios de equação de 1° grau Vários problemas matemáticos podem ser resolvidos aplicando uma equação do primeiro grau mas nem sempre essa equação será dada. Você deverá ler o problema e conseguir montar a equação. Para isso, você deve seguir estes passos: Compreensão do problema O enunciado do problema deve ser lido com muita atenção, imagine a situação e entenda o que se passa. Assim, fica fácil de identificar e sublinhar as informaçõe relevantes e o que se deve encontrar. Montagem da equação Aqui você deve “traduzir” o enunciado do problema em uma linguagem matemática, por meio de expressões algébricas. Assim, interpretando o que se pede, você obterá uma equação. Sempre associe o que você deve achar com o “x” da equação! Resolução da equação obtida Se você prestou atenção no tópico anterior, esta etapa você já sabe! Comprovação e análise do resultado Ao final da resolução do exercício, não custa nada comprovar se a solução obtida é correta. Jogue o valor encontrado na equação para ver se a igualdade se torna verdadeira. Assim você terá certeza que fez os cálculos certos e que não errou alguma coisa no meio do caminho! Exemplos resolvidos    Sistema de equações: como resolver equação com 2 incógnitas Quando nos deparamos com uma equação de duas incógnitas, não há nada que se possa fazer somente com essa informação. Portanto, precisamos de uma outra equação com essas mesma incógnita e será possível construir um sistema para compará-las.  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