O determinante é um número associado a uma matriz quadrada, é como um “resumo numérico” das informações que ela continha. Ele é calculado com operações específicas dependendo da ordem da matriz. Indicamos o determinante de A como det A ou colocando os seus elementos numéricos entre barras.
Neste artigo sobre Determinante, você encontrará:
- O que é determinante e quando usar
- Como se calcula o determinante: matriz de 1°, 2° e 3° ordem.
- Propriedades do determinante
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O que é Determinante?
O determinante é um número associado a uma matriz quadrada. Ele é como um “resumo numérico” da informação que estava contida ali.
Só podemos obtê-lo fazendo operações específicas para cada ordem da matriz (1°, 2°, 3°) com os elementos que a compõem.
Na parte escrita, indicamos um determinante da matriz A da seguinte forma: det A.
Quando estamos falando do símbolo matemático, o determinante é representado com uma matriz entre barras únicas.
Quando usar determinante?
Nós podemos usar o determinante de uma matriz em várias situações: na geometria analítica para verificar o alinhamento de três pontos no plano cartesiano, na geometria plana para calcular áreas de triângulos, para resolução de sistemas lineares…
Além da própria matemática, o cálculo é determinante também é usado na física, como no estudo de campos elétricos.
Lembre-se: nós calculamos determinantes somente de matrizes quadradas (quantidade de colunas = quantidade de linhas)!
Como se calcula o determinante?
A primeira coisa antes de calcular o determinante de uma matriz é analisar a ordem dela. Isso significa que devemos ver se ela é do tipo 1×1, 2×2, 3×3 e assim por diante.
Quanto maior a sua ordem, mais trabalhoso é encontrar o determinante. Por isso existem métodos próprios e nós só aprendemos os das três primeiras ordens.
O determinante de uma matriz de ordem 2 é calculado fazendo a multiplicação da diagonal principal subtraída da multiplicação da diagonal secundária. Para a matriz de ordem 3 usamos a Regra de Sarrus.
Vamos entender como é isso tudo:
Determinantes de 1.ª Ordem
Vamos relembrar: uma matriz é de ordem 1 quando possui exatamente uma linha e uma coluna, como A (1×1).
Nesse caso, a matriz possui apenas um elemento aij = a11. Então, ele é o próprio determinante!
A = (a11)
det(A) = | a11 | = a11
- Exemplo
A = [4]
det(A) = |4| = 4
Determinantes de 2.ª Ordem
Vamos relembrar: uma matriz é de ordem 2 quando possui exatamente duas linhas e duas colunas, como A (2×2). A partir daqui já lidamos com diagonais principais e secundárias.
Nesse caso, o cálculo do determinante se faz em 3 passos:
- 1° Passo: Multiplicamos os valores da diagonal principal
- 2° Passo: Multiplicamos os valores da diagonal secundária
- 3° Passo: Subtraímos o produto secundário do produto principal
Exemplo
Então, fazemos:
det = (2 . 3) – (7 . 5)
det = 6 – 35
det = -29
Determinantes de 3.ª Ordem
Vamos relembrar: uma matriz é de ordem 3 quando possui exatamente três linhas e três colunas, como A (3×3).
Para calcular o determinante desse tipo de matriz, utilizamos a Regra de Sarrus. Nesse caso, o cálculo do determinante se faz em 5 passos:
- 1° Passo: repita as duas primeiras colunas ao lado da matriz.
- 2° Passo: Multiplique os valores de todas as diagonais da esquerda para a direita (como principais). Trace setas sob os números para te guiar.
- 3° Passo: Multiplique os valores de todas as diagonais da direita para a esquerda (como secundárias). Trace setas sob os números para te guiar.
- 4° Passo: Some os resultados das multiplicações das diagonais do mesmo sentido.
- 5° Passo: Subtraia os dois valores finais.
Exemplo
Multiplicação das diagonais da esquerda para a direita:
1 . 5 . 8 = 40
2 . 6 . 2 = 24
3 . 2 . 5 = 30
Multiplicação das diagonais da direita para a esquerda:
2 . 2 . 8 = 32
1 . 6 . 5 = 30
3 . 5 . 2 = 30
Soma dos resultados das multiplicações das diagonais do mesmo sentido:
40 + 24 + 30 = 94
32 + 30 + 30 = 92
Subtração dos valores finais.
94 – 92 = 2
det = 2
Propriedades do determinante
As propriedades matemáticas são “atalhos” que podemos pegar para chegar ao resultado. Elas são deduções lógicas que, se decorarmos, é só bater o olho e escrever o resultado. Ela nos poupa do trabalho de resolver uma conta!
Veja quais são as propriedades do determinante:
- 1ª propriedade: caso uma das linhas da matriz seja igual a 0, o determinante será igual a 0.
Comprovando:
- 2ª propriedade: se temos duas matrizes A e B, então det(A·B) = det(A) · det(B).
Comprovando:
Calculando os determinantes separados, temos que:
det(A) = 2 · (-6) – 5 · 3
det(A) = -12 – 15 = -27
det(B) = 4 · 1 – 2 · (-2)
det(B) = 4 + 4 = +8
Então det(A) · det(B) = -27 · 8 = -216
Agora vamos calcular det(A·B)
- 3ª propriedade: ao inverter-se a posição das linhas de uma matriz, o seu determinante terá o mesmo valor, porém, com sinal trocado.
Comprovando:
- 4ª propriedade: linhas iguais ou proporcionais fazem com que o determinante da matriz seja igual a 0.
Exemplo:
Note que, na matriz A, os termos da linha dois são o dobro dos termos da linha um.
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