Matemática

Determinante: tudo sobre como calculá-lo para cada tipo de matriz!

Aprenda o que é e como calcular o Determinante!Aprenda o que é e como calcular o Determinante!

O determinante é um número associado a uma matriz quadrada, é como um “resumo numérico” das informações que ela continha. Ele é calculado com operações específicas dependendo da ordem da matriz. Indicamos o determinante de A como det A ou colocando os seus elementos numéricos entre barras.

Neste artigo sobre Determinante, você encontrará:

  1. O que é determinante e quando usar
  2. Como se calcula o determinante: matriz de 1°, 2° e 3° ordem.
  3. Propriedades do determinante

O que é Determinante?

O determinante é um número associado a uma matriz quadrada. Ele é como um “resumo numérico” da informação que estava contida ali. 

Só podemos obtê-lo fazendo operações específicas para cada ordem da matriz (1°, 2°, 3°) com os elementos que a compõem.

Na parte escrita, indicamos um determinante da matriz A da seguinte forma: det A

Quando estamos falando do símbolo matemático, o determinante é representado com uma matriz entre barras únicas.

Quando usar determinante?

Nós podemos usar o determinante de uma matriz em várias situações: na geometria analítica para verificar o alinhamento de três pontos no plano cartesiano, na geometria plana para calcular áreas de triângulos, para resolução de sistemas lineares

Além da própria matemática, o cálculo é determinante também  é usado na física, como no estudo de campos elétricos.

Lembre-se: nós calculamos determinantes somente de matrizes quadradas (quantidade de colunas = quantidade de linhas)!

Como se calcula o determinante?

como-calcular-determinante

A primeira coisa antes de calcular o determinante de uma matriz é analisar a ordem dela. Isso significa que devemos ver se ela é do tipo 1×1, 2×2, 3×3 e assim por diante.

Quanto maior a sua ordem, mais trabalhoso é encontrar o determinante. Por isso existem métodos próprios e nós só aprendemos os das três primeiras ordens.

O determinante de uma matriz de ordem 2 é calculado fazendo a multiplicação da diagonal principal subtraída da multiplicação da diagonal secundária. Para a matriz de ordem 3 usamos a Regra de Sarrus

Vamos entender como é isso tudo:

Determinantes de 1.ª Ordem

Vamos relembrar: uma matriz é de ordem 1 quando possui exatamente uma linha e uma coluna, como A (1×1). 

Nesse caso, a matriz possui apenas um elemento aij = a11. Então, ele é o próprio determinante!

A = (a11)

det(A) = | a11 | = a11

  • Exemplo

A = [4]

det(A) = |4| = 4

Determinantes de 2.ª Ordem

Vamos relembrar: uma matriz é de ordem 2 quando possui exatamente duas linhas e duas colunas, como A (2×2). A partir daqui já lidamos com diagonais principais e secundárias.

Nesse caso, o cálculo do determinante se faz em 3 passos:

  • 1° Passo: Multiplicamos os valores da diagonal principal
  • 2° Passo: Multiplicamos os valores da diagonal secundária
  • 3° Passo: Subtraímos o produto secundário do produto principal

Exemplo

calculo-de-determinante-de-ordem-2

Então, fazemos: 

det = (2 . 3) – (7 . 5) 

det = 6 – 35

det = -29

Determinantes de 3.ª Ordem

Vamos relembrar: uma matriz é de ordem 3 quando possui exatamente três linhas e três colunas, como A (3×3). 

Para calcular o determinante desse tipo de matriz, utilizamos a Regra de Sarrus. Nesse caso, o cálculo do determinante se faz em 5 passos:

  • 1° Passo: repita as duas primeiras colunas ao lado da matriz. 
  • 2° Passo: Multiplique os valores de todas as diagonais da esquerda para a direita (como principais). Trace setas sob os números para te guiar. 
  • 3° Passo: Multiplique os valores de todas as diagonais da direita para a esquerda (como secundárias). Trace setas sob os números para te guiar.
  • 4° Passo: Some os resultados das multiplicações das diagonais do mesmo sentido.
  • 5° Passo: Subtraia os dois valores finais.

Exemplo

regra-de-sarrus-e-calculo-do-determinante-de-uma-matriz-de-ordem-3

Multiplicação das diagonais da esquerda para a direita:

1 . 5 . 8 = 40

2 . 6 . 2 = 24

3 . 2 . 5 = 30

Multiplicação das diagonais da direita para a esquerda:

2 . 2 . 8 = 32

1 . 6 . 5 = 30

3 . 5 . 2 = 30

Soma dos resultados das multiplicações das diagonais do mesmo sentido:

40 + 24 + 30 = 94

32 + 30 + 30 = 92

Subtração dos valores finais.

94 – 92 = 2

det = 2

Propriedades do determinante

As propriedades matemáticas são “atalhos” que podemos pegar para chegar ao resultado. Elas são deduções lógicas que, se decorarmos, é só bater o olho e escrever o resultado. Ela nos poupa do trabalho de resolver uma conta!

Veja quais são as propriedades do determinante:

  • 1ª propriedade: caso uma das linhas da matriz seja igual a 0, o determinante será igual a 0.

Comprovando: 

1ª-propriedade-caso-uma-das-linhas-da-matriz-seja-igual-a-0-o-determinante-será-igual-a-0
  • 2ª propriedade: se temos duas matrizes A e B, então det(A·B) = det(A) · det(B).

Comprovando:

2ª-propriedade-se-temos-duas-matrizes-A-e-B-então-detA·B-detA-·-detB.

Calculando os determinantes separados, temos que:

det(A) = 2 · (-6) – 5 · 3

det(A) = -12 – 15 = -27

det(B) = 4 · 1 – 2 · (-2)

det(B) = 4 + 4 = +8

Então det(A) · det(B) = -27 · 8 =  -216

Agora vamos calcular det(A·B)

2ª-propriedade-comprovando-se-temos-duas-matrizes-A-e-B-então-detA·B-detA-·-detB.
  • 3ª propriedade: ao inverter-se a posição das linhas de uma matriz, o seu determinante terá o mesmo valor, porém, com sinal trocado.

Comprovando:

3ª-propriedade-ao-inverter-se-a-posição-das-linhas-de-uma-matriz-o-seu-determinante-terá-o-mesmo-valor-porém-com-sinal-trocado.
  • 4ª propriedade: linhas iguais ou proporcionais fazem com que o determinante da matriz seja igual a 0.

Exemplo:

4ª-propriedade-linhas-iguais-ou-proporcionais-fazem-com-que-o-determinante-da-matriz-seja-igual-a-0.

Note que, na matriz A, os termos da linha dois são o dobro dos termos da linha um.

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