Matemática

Os 15 melhores exercícios de Matrizes com gabarito!

Exercícios de MatrizesExercícios de Matrizes

Matriz é o nome que damos a uma representação matemática das tabelas. Assim, uma matriz A (m x n) indica que ela possui “m” linhas e “n” colunas. Simples não é? Leia o artigo para saber mais e teste seus conhecimentos com os exercícios de Matrizes!

Neste artigo, você encontrará todos os temas abaixo. Clique em um dos tópicos para ir direto ao conteúdo da sua escolha:

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O que é Matriz?

As matrizes são formas matemáticas de armazenar informações. É como se traduzíssemos os dados de uma tabela.

Muitos alunos a temem, mas ela é apenas uma representação em que as próprias posições transmitem informações. Para saber ler suas “entrelinhas”, precisamos estudar seus elementos!

Elementos de uma matriz

matriz - Exercícios de Matrizes

As matrizes são sempre representadas por letras maiúsculas (A, B, C…). 

Essas letras são acompanhadas por índices (m e n), que contém uma informação: o primeiro número (m) indica a quantidade total de linhas e o segundo (n) indica o número total de colunas.

Por isso, uma matriz qualquer é descrita como A (mxn).

Cada elemento de uma matriz é chamado genericamente de “a ij”. Nesse caso, “i” representa em qual linha está e o “j” representa em qual coluna se localiza. 

Com essas duas informações, localizamos qual a posição do elemento na tabela.

Os números colocados dentro dela podem estar entre parêntesis ( ), colchetes [  ], chaves { } ou barras duplas II II. 

Cuidado! 

Se os números representados estiverem entre barras únicas I I, trata-se do determinante!

Quais são os tipos de matrizes?

Precisamos entender que existem tipos de matrizes dependendo da quantidade de colunas, linhas e dos elementos que as compõem. Portanto, as matrizes podem ser classificadas em:

  • Matriz linha: sempre possui apenas 1 linha.
  • Matriz coluna: sempre possui apenas 1 coluna.
  • Matriz nula: todos os elementos valendo 0.
  • Matriz quadrada: número de linhas é igual ao número de colunas.
  • Matriz transposta: A transposta (t) de uma matriz A é uma matriz At com os mesmo elementos colocados em uma posição diferente. Se A(mxn) então At = (nxm).
  • Matriz oposta: obtemos ao trocar os sinais dos elementos de uma matriz inicial.
  • Matriz identidade: é sempre do tipo quadrada, a diagonal principal só tem elementos 1 e os demais números são sempre 0.
  • Matriz simétrica: quando fazemos a sua transposta e o resultado é igual à matriz original.
  • Matriz inversa: quando duas matrizes quadradas se multiplicam e o resultado é uma matriz identidade.
  • Matriz igual: duas matrizes são iguais quando são do mesmo tipo e possuem os mesmos elementos.

Você poder ler mais sobre elas e ver exemplos no artigo completo que fizemos sobre matrizes!

Operações com matrizes

É isso mesmo! Assim como quase tudo na matemática, também podemos realizar as 4 operações fundamentais com as matrizes (adição, subtração, multiplicação e divisão)! 

Como somar as matrizes?

Para realizar a soma é muito simples: somamos os elementos de mesma posição e colocamos o resultado final também na mesma posição.

Como subtrair matrizes?

Na matemática que você já conhece, sabe muito bem que realizar uma subtração é a mesma coisa que realizar uma soma com o oposto do número. Assim: 4 – 2 = 4 + (-2). 

Nós usamos o mesmo princípio para fazer a subtração entre matrizes. Primeiro você encontra a matriz oposta da segunda e depois realiza a soma entre elas.

Como multiplicar matrizes?

Se multiplicarmos uma matriz por um número, basta realizar a multiplicação de cada elemento da matriz por esse mesmo número: A . 2 será cada aij . 2!

Para multiplicar uma matriz inteira pela outra é mais complexo:

A multiplicação entre duas matrizes A e B só é possível quando o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B. Isso porque devemos multiplicar cada uma das linhas por todas as colunas.

Observe:

multiplicação-de-matrizes

Exercícios de Matrizes

Esperamos que, com esse resumo, tudo tenha ficado mais claro para você.

Parabéns por ter lido até aqui!

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Questão 1 – (UFU)

Considere a matriz :

 Exercícios de Matrizes

Então A4 + 2A3 + 4A2 + 8A é igual a:

a) A6.

b) A8.

c) A10.

d) A5.

Questão 2 – (PUC – RS)

O elemento c22 da matriz C = AB, onde A =

exercícios de matrizes

e B = :

Exercícios de Matrizes

a) 0.

b) 2.

c) 6.

d) 11.

e) 22.

Questão 3 – Unicamp – 2018

Sejam a e b números reais tais que a matriz A =

Exercícios de Matrizes

satisfaz a equação A2= aA + bI, em que I é a matriz identidade de ordem 2. Logo, o produto ab é igual a

a) −2.

b) −1.

c) 1.

d) 2.

  • Você já fez 20% das questões de Matrizes. Continue assim!

Questão 4 – Unesp – 2016

Um ponto P, de coordenadas (x, y) do plano cartesiano ortogonal, é representado pela matriz coluna,

Exercícios de Matrizes

assim como a matriz coluna,

Exercícios de Matrizes

representa, no plano cartesiano ortogonal, o ponto P de coordenadas (x, y). Sendo assim, o resultado da multiplicação matricial,

Exercícios de Matrizes

é uma matriz coluna que, no plano cartesiano ortogonal, necessariamente representa um ponto que é

a) uma rotação de P em 180º no sentido horário, e com centro em (0, 0).

b) uma rotação de P em 90º no sentido anti-horário, e com centro em (0, 0).

c) simétrico de P em relação ao eixo horizontal x.

d) simétrico de P em relação ao eixo vertical y.

e) uma rotação de P em 90º no sentido horário, e com centro em (0, 0).

Questão 5 – Unicamp – 2017

Sendo a um número real, considere a matriz A =

Exercícios de Matrizes

Então, A2017 é igual a

a)

Exercícios de Matrizes 5a

b)

Exercícios de Matrizes 5b

c)

Exercícios de Matrizes  5c

d)

Exercícios de Matrizes 5d

Questão 6 – (MACK)

Se A é uma matriz 3 x 4 e B uma matriz n x m, então:

a) existe A + B se, e somente se, n = 4 e m = 3;

b) existe AB se, e somente se, n = 4 e m = 3;

c) existem AB e BA se, e somente se, n = 4 e m = 3;

d) existem, iguais, A + B e B + A se, e somente se, A = B;

e) existem, iguais, AB e BA se, e somente se, A = B.

Questão 7 –  (PUC)

Se A, B e C são matrizes quadradas e At, Bt e Ct são suas matrizes transpostas, e igualdade falsa entre essas matrizes é:

a) (A = B) . C = A . C + B . C.

b) (A + B)t = At + Bt.

c) (A . B)t = At . Bt.

d) (A – B)C = AC – BC.

e) (At)t = A.

  • Muito bem! Você está na metade das questões sobre Matriz!

Questão 8(UDESC)

Sendo a matriz

Exercícios de Matrizes 8

igual à matriz identidade de ordem 2, o valor de 2.x é:

a) – 4.

b) 6.

c) 4.

d) 8.

e) – 8.

Questão 9 –  (PM Venda Nova do Imigrante ES – CONSULTPLAN 2016)

Calcular o valor de x+y+z, sabendo que:

exercicio-resolvido-sobre-matrizes

a) 1.

b) 2.

c) 3.

d) 4.

Questão 10 – (CRB – Quadrix 2014)

Na matriz A, cada elemento é obtido através de aij= 3i – j. Logo, o elemento que está na segunda linha e segunda coluna é:

a) 7.

b) 5.

c) 4.

d) 1.

e) 2.

Questão 11 – (PM Santo André – IBAM 2015)

Considere as seguintes matrizes:

questao-resolvida-sobre-matrizes-

Sendo “a” um número real, para que tenhamos A . B = C, o valor da variável “a” deverá ser:

a) um número inteiro, ímpar e primo.

b) um número inteiro, par, maior que 1 e menor que 5.

c) um número racional, par, maior que 5 e menor que 10.

d) um número natural, impar, maior que 1 e menor que 5.

Questão 12 – (CRM PR – Quadrix 2014)

Uma matriz M de ordem 3 é resultante da soma de outras duas matrizes, A e B. Se aij = 2i + j e bij = ij, então a razão entre os elementos M21 e M12 é:

a) 5/6.

b) 6/5.

c) 7/4.

d) 6/7.

e) 7/5.

Questão 13 – (AGU – IDECAN 2014)

Dadas as matrizes A = ( aij)2×3 em que aij = i – j e B = ( bij)3×2 em que bij = i² – j. Seja a matriz C a matriz resultante do produto das matrizes A e B, nesta ordem. Assim, o elemento c11 será

a) 17.

b) 18.

c) 19.

d) -18.

e) -19.

  • Ufa, estamos quase lá! Faça os dois últimos exercícios sobre Matrizes!

Questão 14 – (Prefeitura de Cuiabá – UFMT 2010)

Em cada um dos quatro dias de desfile de carnaval, a temperatura foi medida em graus Celsius, no meio da multidão, em três momentos distintos. Cada elemento aij da matriz A abaixo corresponde à medida da temperatura no momento i do dia j.

questao-resolvida-sobre-matrizes-

Qual foi, respectivamente, o momento e o dia em que se registrou a maior temperatura durante os desfiles?

a) 2.º e 4.º

b) 2.º e 2.º

c) 3.º e 2.º

d) 3.º e 4.º

Questão 15 – (AGU – IDECAN 2014)

Seja A uma matriz 2 x 3 e B uma matriz 3 x 2. A matriz C, resultante do produto da matriz A pela B, nesta ordem, é uma matriz de ordem

a) 2 x 2.

b) 2 x 3.

c) 3 x 2.

d) 3 x 3.

e) Não é possível fazer o produto.

  • Parabéns, você fez todas as questões de Matrizes!

Respostas dos Exercícios sobre Matrizes

Exercício resolvido da questão 1 –

Alternativa correta: a) A6.

Exercício resolvido da questão 2 –

Alternativa correta: d) 11.

Exercício resolvido da questão 3 –

Alternativa correta: a) −2.

Exercício resolvido da questão 4 –

Alternativa correta: b) uma rotação de P em 90º no sentido anti-horário, e com centro em (0, 0).

Exercício resolvido da questão 5 –

Alternativa correta: b)

questao-resolvida-sobre-matrizes-5

Exercício resolvido da questão 6 –

Alternativa correta: c) existem AB e BA se, e somente se, n = 4 e m = 3.

Exercício resolvido da questão 7 –

Alternativa correta: c) (A . B)t = At . Bt.

Exercício resolvido da questão 8 –

Alternativa correta: d) 8.

Exercício resolvido da questão 9 –

Alternativa correta: c) 3.

Exercício resolvido da questão 10 –

Alternativa correta: c) 4.

Exercício resolvido da questão 11 –

Alternativa correta: a) um número inteiro, ímpar e primo.

Exercício resolvido da questão 12 –

Alternativa correta: e) 7/5.

Exercício resolvido da questão 13 –

Alternativa correta: e) -19.

Exercício resolvido da questão 14 –

Alternativa correta: b) 2.º e 2.º

Exercício resolvido da questão 15 –

Alternativa correta: a) 2 x 2.

Gostou dos nossos exercícios de Matrizes?Confira outros artigos do nosso blog e se prepare para o Enem da melhor maneira!

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Redação Beduka
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