Matemática

Exercícios de Produtos Notáveis

Exercícios de Produtos NotáveisExercícios de Produtos Notáveis

Produtos notáveis consistem em fórmulas gerais, que são geradas por meio da simplificação de produtos algébricos. Leia o resumo e faça os exercícios de produtos notáveis.

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Produtos Notáveis

Produtos-notáveis

Os produtos notáveis são aqueles em que as multiplicações são fatores polinômios, possuindo então cinco produtos notáveis em destaque:

  1. Quadrado da soma;
  2. Quadrado da diferença; 
  3. Produto da soma pela diferença; 
  4. Cubo da soma;
  5. Cubo da diferença.

1. Quadrado da soma

O quadrado de um soma é o produto notável que representa a expressão  (x + a)(x + a). Ele é chamado dessa forma pois a representa a potência deste produto:

(x + a)2

O resultado do produto notável apresentado sempre será o polinômio abaixo:

(x + a)2 = x2 + 2xa + a2

O produto notável final apresentado terá como resultado final uma fórmula que pode ser aplicada em qualquer hipótese em que tiver uma soma elevada ao quadrado. Ou seja, o quadrado do primeiro termo mais duas vezes o primeiro, vezes o segundo mais o quadrado do segundo termo.

2. Quadrado da diferença

A fórmula do quadrado da diferença é: 

(x – a)(x – a)

O produto apresentado pode ser desenvolvido da forma a seguir:

(x – a)2

O seu resultado será:

(x – a)2 = x2 – 2xa + a2

O produto notável apresentado pode ser descrito da seguinte forma: O quadrado do primeiro termo menos duas vezes o primeiro vezes o segundo mais o quadrado do segundo termo.

3. Produto da soma pela diferença

O produto da soma pela diferença relaciona uma soma e uma outra subtração. Veja:

(x + a)(x – a)

Não existindo representação em potência para essa situação, porém o resultado final será determinado pela expressão abaixo:

(x + a)(x – a) = x2 – a2

Ou seja,

O quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo.

4. Cubo da soma

Com a mesma propriedade distributiva utilizada, é possível desenvolver um meio para produtos da seguinte maneira:

(x + a)(x + a)(x + a)

Em potência, ele é representado desta forma:

(x + a)3

Logo, a partir da propriedade distributiva e com a simplificação, desenvolvemos a seguinte expressão:

(x + a)3 = x3 + 3x2a + 3xa2 + a3

Exemplo: 

 Para calcular (x + 5)3, desenvolve-se:

(x + 5)3 = x3 + 3x25 + 3×52 + 53 = x3 + 15x2 + 75x + 125

5. Cubo da diferença

O cubo da diferença é os polinômios:

(x – a)(x – a)(x – a)

Podemos encontrar o seguinte resultado para esse produto, se simplificarmos:

(x – a)3 = x3 – 3x2a + 3xa2 – a3

Faça os Exercícios de Produtos Notáveis e confira as respostas no gabarito.

Exercícios de Produtos Notáveis

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1 – (IMNEC – 2004) – A diferença entre o quadrado da soma e o quadrado da diferença entre dois números reais é igual a:

a) a diferença dos quadrados dos dois números.

b) a soma dos quadrados dos dois números.

c) a diferença dos dois números.

d) ao dobro do produto dos números.

e) ao quádruplo do produto dos números.

2 – Faetec – 2017Ao entrar na sua sala de aula, Pedro encontrou as seguintes anotações no quadro:

Produtos-notáveis questões

Usando seus conhecimentos sobre produtos notáveis, Pedro determinou corretamente o valor da expressão a2 + b2. Esse valor é:

a) 26

b) 28

c) 32

d)36

3 – Cefet/MG – 2017Se x e y são dois números reais positivos, então a expressão

M espaço igual a espaço abre parênteses x raiz quadrada de y sobre x fim da raiz mais y raiz quadrada de x sobre y fim da raiz fecha parênteses ao quadrado espaço é espaço e q u i v a l e n t e espaço a

a) √xy.

b) 2xy.

c) 4xy.

d) 2√xy.

4 – Cefet/RJ – 2016Considere p e q números reais não nulos e não simétricos. A seguir são descritas seis afirmações envolvendo esses números e cada uma delas está associada a um valor informado entre parênteses.

I menos parêntese esquerdo p mais q parêntese direito ao quadrado igual a p ao quadrado mais q à potência de 2 espaço fim do exponencial espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço parêntese esquerdo 10 parêntese direito I I menos cúbica raiz de p. q fim da raiz igual a cúbica raiz de p. cúbica raiz de q espaço fim da raiz espaço espaço espaço espaço espaço espaço parêntese esquerdo 20 parêntese direito I I I menos raiz quadrada de p ao quadrado mais q ao quadrado fim da raiz igual a p mais q espaço espaço espaço espaço espaço espaço parêntese esquerdo 30 parêntese direito I V menos numerador 1 mais p. q sobre denominador q fim da fração igual a 1 mais p espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço parêntese esquerdo 40 parêntese direito V menos numerador 1 sobre denominador p mais q fim da fração igual a 1 sobre p mais 1 sobre q espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço parêntese esquerdo 50 parêntese direito V I menos numerador 1 sobre denominador começar estilo mostrar 1 sobre p fim do estilo mais começar estilo mostrar 1 sobre q fim do estilo fim da fração igual a numerador p. q sobre denominador p mais q fim da fração espaço espaço espaço espaço espaço espaço parêntese esquerdo 60 parêntese direito espaço

A opção que representa a soma dos valores referentes às afirmações verdadeiras é:

a) 190

b) 110

c) 80

d) 20

5 – UFRGS – 2016Se x + y = 13 e x . y = 1, então x2 + y2 é

a) 166

b) 167

c) 168

d) 169

e) 170

Respostas dos Exercícios de Produtos Notáveis

Exercício resolvido da questão 1 –

e) ao quádruplo do produto dos números.

Exercício resolvido da questão 2 –

b) 28

Exercício resolvido da questão 3 –

c) 4xy.

Exercício resolvido da questão 4 –

c) 80

Exercício resolvido da questão 5 –

b) 167

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