Produtos notáveis consistem em fórmulas gerais, que são geradas por meio da simplificação de produtos algébricos. Leia o resumo e faça os exercícios de produtos notáveis.
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Produtos Notáveis
Os produtos notáveis são aqueles em que as multiplicações são fatores polinômios, possuindo então cinco produtos notáveis em destaque:
- Quadrado da soma;
- Quadrado da diferença;
- Produto da soma pela diferença;
- Cubo da soma;
- Cubo da diferença.
1. Quadrado da soma
O quadrado de um soma é o produto notável que representa a expressão (x + a)(x + a). Ele é chamado dessa forma pois a representa a potência deste produto:
(x + a)2
O resultado do produto notável apresentado sempre será o polinômio abaixo:
(x + a)2 = x2 + 2xa + a2
O produto notável final apresentado terá como resultado final uma fórmula que pode ser aplicada em qualquer hipótese em que tiver uma soma elevada ao quadrado. Ou seja, o quadrado do primeiro termo mais duas vezes o primeiro, vezes o segundo mais o quadrado do segundo termo.
2. Quadrado da diferença
A fórmula do quadrado da diferença é:
(x – a)(x – a)
O produto apresentado pode ser desenvolvido da forma a seguir:
(x – a)2
O seu resultado será:
(x – a)2 = x2 – 2xa + a2
O produto notável apresentado pode ser descrito da seguinte forma: O quadrado do primeiro termo menos duas vezes o primeiro vezes o segundo mais o quadrado do segundo termo.
3. Produto da soma pela diferença
O produto da soma pela diferença relaciona uma soma e uma outra subtração. Veja:
(x + a)(x – a)
Não existindo representação em potência para essa situação, porém o resultado final será determinado pela expressão abaixo:
(x + a)(x – a) = x2 – a2
Ou seja,
O quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo.
4. Cubo da soma
Com a mesma propriedade distributiva utilizada, é possível desenvolver um meio para produtos da seguinte maneira:
(x + a)(x + a)(x + a)
Em potência, ele é representado desta forma:
(x + a)3
Logo, a partir da propriedade distributiva e com a simplificação, desenvolvemos a seguinte expressão:
(x + a)3 = x3 + 3x2a + 3xa2 + a3
Exemplo:
Para calcular (x + 5)3, desenvolve-se:
(x + 5)3 = x3 + 3x25 + 3×52 + 53 = x3 + 15x2 + 75x + 125
5. Cubo da diferença
O cubo da diferença é os polinômios:
(x – a)(x – a)(x – a)
Podemos encontrar o seguinte resultado para esse produto, se simplificarmos:
(x – a)3 = x3 – 3x2a + 3xa2 – a3
Faça os Exercícios de Produtos Notáveis e confira as respostas no gabarito.
Exercícios de Produtos Notáveis
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1 – (IMNEC – 2004) – A diferença entre o quadrado da soma e o quadrado da diferença entre dois números reais é igual a:
a) a diferença dos quadrados dos dois números.
b) a soma dos quadrados dos dois números.
c) a diferença dos dois números.
d) ao dobro do produto dos números.
e) ao quádruplo do produto dos números.
2 – Faetec – 2017 – Ao entrar na sua sala de aula, Pedro encontrou as seguintes anotações no quadro:
Usando seus conhecimentos sobre produtos notáveis, Pedro determinou corretamente o valor da expressão a2 + b2. Esse valor é:
a) 26
b) 28
c) 32
d)36
3 – Cefet/MG – 2017 – Se x e y são dois números reais positivos, então a expressão
a) √xy.
b) 2xy.
c) 4xy.
d) 2√xy.
4 – Cefet/RJ – 2016 – Considere p e q números reais não nulos e não simétricos. A seguir são descritas seis afirmações envolvendo esses números e cada uma delas está associada a um valor informado entre parênteses.
A opção que representa a soma dos valores referentes às afirmações verdadeiras é:
a) 190
b) 110
c) 80
d) 20
5 – UFRGS – 2016 – Se x + y = 13 e x . y = 1, então x2 + y2 é
a) 166
b) 167
c) 168
d) 169
e) 170
Respostas dos Exercícios de Produtos Notáveis
Exercício resolvido da questão 1 –
e) ao quádruplo do produto dos números.
Exercício resolvido da questão 2 –
b) 28
Exercício resolvido da questão 3 –
c) 4xy.
Exercício resolvido da questão 4 –
c) 80
Exercício resolvido da questão 5 –
b) 167
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