Matemática

Tudo o que você precisa para entender Potenciação!

Tudo o que você precisa para entender Potenciação!Tudo o que você precisa para entender Potenciação e suas propriedades!

A Potenciação, ou exponenciação, é um recurso matemático utilizado para multiplicar vários números iguais, ou seja, quando se deseja multiplicar um fator por ele mesmo. O algarismo a ser multiplicado é chamado de base e a quantidade de vezes é indicada no expoente. 

Contudo, existem condições de existência e propriedades para casos específicos!

Neste artigo sobre Potenciação você encontrará:

  1. O que é potenciação e quais são seus elementos?
  2. Como se faz a potenciação? Exemplos resolvidos passo a passo!
  3. Quais são as propriedades da potenciação? Multiplicação, divisão, positivo, negativo, fração e decimal!
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O que é potenciação? Definição matemática e elementos

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A potenciação é uma operação matemática utilizada para fazer a multiplicação de números iguais várias vezes, ou seja, quando queremos fazer multiplicações de um número por ele mesmo. 

Sua forma genérica é escrita como “ aⁿ ”. O elemento “a” é chamado de base e é onde escrevemos o número que será multiplicado repetidamente. O elemento “n” é chamado de expoente e nele escrevemos a quantidade de vezes que a base será multiplicada.

  • A potenciação também pode ser chamada de exponenciação porque é o princípio básico das funções exponenciais!

Como se faz a potenciação?

Para elevar um número ao outro, basta saber ler a potência, ou seja, identificar os elementos, interpretá-los e armar a operação para ser resolvida com multiplicação simples.

  • 3² → Lê-se “três elevado a dois” ou “três elevado à segunda potência”. 

O 3 está na base e o 2 no expoente, logo, = 3 x 3 = 9.

  • Lê-se “sete elevado a três” ou “sete elevado à terceira potência”.

O 7 está na base e o 3 no expoente, logo, 7³ = 7 x 7 x 7 = 343.

Condições de Existência e Regras da Potenciação

Para que seja possível existir a potência, foram definidas algumas regras. Elas não possuem um “modo de resolução”, são ordens que devemos saber de cór. É questão de bater o olho e colocar o resultado:

  • Para que uma potência exista, é obrigatório que a base não seja zero a ≠ 0.
  • Sempre que o expoente for 0 (zero), o resultado será 1
  • Sempre que o expoente for 1, o resultado será a própria base.

Volte à imagem já colocada lá em cima para observar os exemplos!

Quais são as propriedades da potenciação? 

Além dessas definições que nos dão resultados prontos, existem as propriedades. Elas  indicam qual o procedimento que deverá ser feito ao se deparar com potências em certos contextos:

Potência com Base Positiva

As potências só não podem ter base igual a zero, mas se elas forem maiores que zero, está tudo bem! Esse é o caso das bases positivas, também representadas por a > 0. Quando a base for positiva, tudo será resolvido normalmente, como já foi ensinado nos tópicos acima.

Independente do expoente ser par ou ímpar, o resultado de uma potência com base positiva sempre será positivo também.

Exemplos

  • 4² = 4 x 4 = 16 → base positiva, expoente par, resultado positivo
  • 4³ = 4 x 4 x 4 = 64 → base positiva, expoente ímpar, resultado permanece positivo

Potência com Base Negativa

Se as bases forem menores que zero, está tudo bem também! Esse é o caso das bases negativas, também representadas por a < 0. Quando a base for negativa, resolvemos normalmente mas sempre mantendo o número da base negativo na sequência multiplicativa

Ao fazer isso, identificamos o padrão: sempre que uma base negativa tiver um expoente par, o resultado será positivo. Por outro lado, sempre que uma base negativa tiver um expoente ímpar, o resultado será negativo.

Exemplos

  • (– 3)² = – 3 x – 3 = 9 → base negativa, expoente par, resultado positivo
  • (– 3)³ = – 3 x – 3 x – 3 = – 27 → base negativa, expoente ímpar, resultado negativo

ATENÇÃO!

Em uma expressão numérica, o parênteses tem a função de indicar que todo aquele número será utilizado na operação. Além disso, um “sinal de menos” na frente de um número sem parênteses indica que está implícita a multiplicação por “-1”. 

Portanto, se aparecer uma mesma potência com e sem parênteses, os resultados podem ser diferentes!

Exemplo: – 3² e (- 3)²

A primeira potência poderia ser reescrita como -1 x 3² e isso resultaria em -1 x 9 que é = – 9. Já a segunda potência resulta em 9.

Potência com Expoente Positivo ou Negativo

Não existem muitas restrições para os expoentes, devemos lembrar apenas daquelas duas regras sobre quando “n” for 0 ou 1, explicadas nos tópicos acima. Portanto, nos restam os seguintes possíveis valores: 

  • Exponentes positivos e diferentes de 1 (n > 0 e n ≠ 1

Quando nos depararmos com isso, resolvemos normalmente, como já foi ensinado nos tópicos anteriores. Afinal, este caso foi usado em todos os exemplos deste artigo até agora!

  • Expoentes negativos (n < 0

Para resolver potências com expoentes negativos, basta inverter a base e eliminar o sinal de negativo do expoente, mantendo o número!

Exemplos

exemplos-de-potencia-negativa-e-potenciação-com-fração

Potenciação com Fração na base e/ou no expoente

Sobre a fração, você só precisa saber que:

  • Se ela estiver na base 

E entre parêntesis, significa que tanto o numerador quanto o denominador estão sob o expoente, individualmente. Assim, resolvemos a conta normalmente. 

Volte à imagem do tópico anterior para relembrar como foi feita a resolução do exemplo!

  • Se ela estiver no expoente

Devemos transformá-la na raiz correspondente! Não sabe como fazer isso? Confira o exemplo!

potenciação-com-expoente-fracionário-fraçaõ-no-expoente-como-converter-para-raiz

ATENÇÃO!

  • As alternativas de uma questão podem conter a fração simplificada. Por isso, caso você não ache exatamente como o resultado da conta, lembre-se de simplificar! 
  • Lembre-se também que se a fração não estiver toda dentro do parêntesis, apenas a parte que contiver o expoente será utilizada na conta!

Potenciação com Decimal na base e/ou no expoente

Já sabemos como lidar com vários expoentes, mas não se esqueça dos valores que estão entre 0 e 1! Eles podem ser representados por (0 < n < 1). Estamos tratando dos números decimais e pode até parecer loucura misturar com potência, mas fica tranquilo que dá certo! 

Para resolver potências cuja base ou expoente contém um número decimal, precisamos transformá-lo em fração! Se você não sabe como converter decimais em fração, confira nosso artigo!

Depois, seguimos resolvendo com a propriedade das frações!

Multiplicação (produto) de potências de mesma base

Se estivermos em uma expressão numérica com multiplicação das potências de bases iguais, basta manter a base e somar os expoentes!

Exemplo: Resolva a expressão 2² x 2¹.

2² x 2¹ = 2³ (soma-se os expoentes: 2 + 1 = 3)

2³ = 2 x 2 x 2 = 8.

Divisão de potências de mesma base 

Se estivermos em uma expressão numérica com divisão entre potências de bases iguais, basta manter a base e subtrair os expoentes!

Exemplo: Resolva a expressão 2² / 2¹.

2² / 2¹ = 2¹ (subtrai-se os expoentes: 2 – 1 = 1)

2¹ = 2.

Potência de Potência

Calma, é mais simples do que parece! se tivermos uma potência elevada a um expoente, teremos uma potência de potência! Para resolver isso, colocamos a potência entre parênteses e o expoente do lado de fora

Agora, é só multiplicar um expoente pelo outro! Ao final, mantemos a base e escrevemos o produto como um novo expoente, já tendo eliminado o parêntesis e os expoentes antigos.

ATENÇÃO!

Não confunda potência de potência com um expoente elevado a outro expoente! Os resultados são diferentes e você pode conferir isso nos exemplos abaixo:

diferença-entre-potencia-de-potencia-e-potencia-no-expoente

Potências grandes e de bases diferentes

Existem alguns casos que poderemos até aplicar as propriedades, mas não será possível desenvolver a potência até chegar a um resultado final, um número só. 

Para auxiliar a resolução de potências grandes ou complicadas, criou-se uma outra ferramenta: o temido logaritmo!

Ele só é temível à primeira vista, pois quando dominamos a sua arte, ele se torna o nosso maior aliado! Confira o nosso artigo para selar essa amizade entre vocês!

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