Matemática

Tudo o que você precisa para entender Logaritmo e saber usá-lo!

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Logaritmo é o nome que se dá à operação matemática utilizada para resolver cálculos relacionados à potenciação, sendo considerado o seu inverso. Nele, buscamos descobrir o valor do expoente que a base deve ter para formar a potência pedida.

Neste artigo sobre Logaritmo você encontrará:

  1. O que é Logaritmo e para quê serve? Introdução para iniciantes!
  2. Como resolver um Logaritmo? Exemplos resolvidos passo a passo + definição e condição de existência!
  3. Quais são as propriedades do Logaritmo? log de quociente, produto, soma, subtração, potência e muito mais!
  4. Casos especiais: log neperiano, mudança de base, etc.
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O que é Logaritmo e para quê serve? 

O Logaritmo é uma ferramenta matemática muito importante na história da humanidade! No século XVII (1600), havia dificuldades na elaboração de cálculos, então essa ferramenta  foi desenvolvida para auxiliar a resolução de cálculos complicados, principalmente os que envolvem potências!

John Napier foi o matemático que desenvolveu esse auxílio muito utilizado na física, biologia, química, computação e até na geografia! Sua aplicação mais conhecida é no cálculo de terremotos, mas também pode aparecer em questões de cálculo de populações!

  • Indo direto ao ponto, o logaritmo é a uma operação que utilizamos para descobrir o expoente de uma base que já foi dada, para que se iguale à potência modelo.

A palavra vem do grego: “Logos – razão” e “arithmos – números”, mas vamos apelidar como Log para facilitar as coisas e ficarmos mais à vontade! 

Como resolver um logaritmo?

Para resolver o log com melhor precisão, outros matemáticos oficializaram definições e propriedades. Para entendê-las, precisamos conhecer os elementos que constituem o  símbolo do log e como lê-los

Além disso, é necessário conhecer as propriedades da potenciação , pois ao traçar o gráfico do Log vemos que ele é o inverso das funções exponenciais, demonstrando que ambas coisas estão estritamente relacionadas.

Por isso, para resolver um log, bastará aplicar a definição literalmente, traduzindo-a em números. E lembrar de recorrer às propriedades quando for o caso adequado!

Vamos aos elementos, definições, exemplos e propriedades:

Definição do Logaritmo e Condições de Existência

A forma genérica de um log qualquer, é composta por três elementos:

  • a → base
  • b → logaritmando
  • x → logaritmo

Os quais são organizados na escrita matemática da seguinte forma:

o-que-é-logarítimo-elementos-do-logaritmo-base-logaritmando-condições-de-existência
  • Portanto, podemos ter uma definição de logaritmo, matematicamente falando, ao considerar dois números “a” e “b” reais positivos, com a ≠ 1. Assim, o logaritmo de “b” na base “a” é o número “x” somente se “a” elevado a “x” for igual ao número “b”.

É preciso que o logaritmando “b” seja positivo, pois se ele for negativo significa que o “a” também era e isso não existe.

É preciso que a base “a” seja positiva e diferente de 1. Caso fosse 0, seria impossível resolver aplicando a definição: em potenciação não existe base 0. Se fosse 1, teríamos sempre o mesmo valor para o log e não seria possível solucionar as diversas questões. Se fosse negativa, daria possibilidade de o “b” também ser, o que não pode.

Exemplo de resolução do Log

Vamos aplicar a definição para resolver os logs com valores numéricos reais:

  1. Descubra o valor de log3 81.

Resolução

Fazemos a seguinte leitura: “log de 81 na base 3 é igual a quanto?”, ou seja, preciso descobrir a qual número devo elevar a base 3 para que resulte em 81”. Usando a definição, temos:

log3 81 = x        3ˣ = 81

Para encontrar esse valor, devemos fatorar o número 81, pois assim saberemos se ele pode ser composto apenas multiplicando o 3 certo número de vezes:

como-resolver-um-logaritmo-fatoração-e-resolução-das-potencias

Como as bases são iguais e ambas as potências estão numa equação de igualdade, então os expoentes também são iguais

Assim, x = 4.

Consequências da definição

Como temos um definição e condições de existências, podemos tirar algumas conclusões óbvias e diretas disso. Veja:

ATENÇÃO!

Nem sempre é possível escrever o log como foi representado nas imagens: com a base menorzinha e em baixo, pois nem todos os sites posicionam estes símbolos. Por isso, atente-e se que log2 7 deve ser lido como “log de 7 na base 2”.

  • Sempre que o logaritmando for 1 o resultado será 0, independentemente da base: log7 1 = x, pois 7ˣ = 1 e as regras da potenciação dizem que todo número elevado a zero resulta em 1, então x = 0.
  • Sempre que o logaritmando for igual à base, o resultado será 1: se log9 9 = x, então 9¹ = 9, logo,  9ˣ = 9¹ e x = 1. Isso também ocorre por causa das regras da potenciação: todo número elevado a 1 resulta nele mesmo.
  • Sempre que houver logaritmando igual à base e esta base possuir um expoente, o resultado será o próprio expoente: log8 8² = x, pois 8ˣ = 8², então x = 2.
  • Sempre que houver 2 logaritmos com bases iguais em uma igualdade, os logaritmandos também serão iguais: log3 b = log3 c, então b = c.

Quais são as propriedades do Logaritmo?

mapa-mental-de-logaritmo-consequencias-da-definição-e-exemplos-das-propriedades

As propriedades nos auxiliam a resolver os logs em certas situações. Elas podem não fazer muito sentido vistas assim, soltas. 

Porém, em alguns exercícios são dados, por exemplo, os valores numéricos de log10 2 e log10 3, pedindo que você ache o log10 6. São nessa situações que utilizamos as propriedades!

Todos os exemplos aqui citados satisfazem a condição de existência. Confira:

Logaritmo de um produto → soma de logaritmos

Quando houver um produto de fatores no logaritmando, o logaritmo corresponde à soma dos logaritmos individuais de cada fator, mantendo-se a mesma base para ambos. 

Exemplo

Log3 (30) → log3 (3 x 10) → log3 3 + log3 10

Logaritmo de um quociente → subtração de logaritmos

Quando houver uma divisão de fatores no logaritmando, o logaritmo corresponde à subtração dos logaritmos individuais de cada fator, mantendo-se a mesma base.

Exemplo

Log3 2 → log3 (6 / 3) → log3 6 – log3 3

Log de logaritmando com potência

Quando o logaritmando for uma potência, o expoente dela passa a multiplicar todo o logaritmo restante.

Exemplo

Log7 b³ →  3 log7 b

Logaritmo de base com potência

Quando a base for uma potência, o expoente dela é invertido e passa a multiplicar todo o logaritmo restante.

Exemplo

Log3² 8 →  ½ log3 8

Logaritmo de Raiz

Vimos no artigo potenciação que um número elevado à uma fração pode ser transformado em raiz: 4 elevado a ½ é o mesmo que fazer a raiz quadrada de 4 e 8 elevado a ⅓ é o mesmo que fazer a raiz cúbica de 8.

Assim, quando houver uma raiz no logaritmando faremos o seu inverso, ou seja, a potência correspondente. Depois, prosseguimos com a propriedade do logaritmo de potência: o expoente passa a multiplicar todo o logaritmo.

Exemplo 

Log2 √4 → ½ log2 4

Casos especiais de Logaritmos

Além das propriedades, você pode se deparar com algumas formas de logaritmo que “assustam”. Vamos entendê-las, pois só teme quem não conhece!

Logaritmo decimal

Quando um logaritmo possui a base igual a 10, será chamado logaritmo decimal. Contudo, definiu-se que quando ele for decimal, não é necessário escrever a base 10.

Portanto, se você se deparar com algo do tipo “log 4”, não ache que está faltando algo! O 10 na base está implícito!

Logaritmo Natural ou Neperiano

John Napier não só desenvolveu o cálculo do logaritmo, como também uma notação específica para quando usarmos a constante de Euler. Assim como usamos o pi “π” na geometria e sabemos que seu valor aproximado é 3,14, existe a constante de Euler cujo símbolo é o “e” e tem valor próximo a 2,7.

Quando a base do logaritmo for o “e”, definiu-se que não se escreveria loge b = x. Mas sim a seguinte notação: in b = x. O “in” deixa implícito que se trata de um log de base “e”.

Potência com log no expoente

Quando uma potência estiver elevada a um expoente que for logaritmo, se a base da potência for a mesma da base do logaritmo, o resultado será o logaritmando.

Exemplo

7 elevado a log7 4 → o resultado será 4.

Logaritmo Negativo ou Colog

O cologaritmo nada mais é que o log negativo. Mantém-se a condição de que base e logaritmando não podem ser negativos, o logaritmo é que pode. 

Assim, quando nos depararmos com colog2 4, basta fazer – log2 4. Isto equivale a dizer que há um “-1” multiplicando o log.

Mudança de base de Logaritmo

Por último, eis um recurso muito utilizado quando não se sabe mais qual propriedade usar já que as bases estão diferentes!

Nesta situação, basta fazer a mudança da base da antiga para aquela que nos é conveniente!

Exemplo

Supondo que temos o seguinte cálculo para ser resolvido: Log3 2, mas foi dado apenas o valor numérico de log 2 e log 3. Isso significa que é conveniente transformar o log inicial para um que tenha a base 10, assim, poderemos substituir os valores que já foram dados!

Para isso, basta armar uma divisão entre dois logs de mesma base (o valor que queremos colocar nela). Depois, no logaritmando do numerador mantemos o logaritmando do log inicial. No logaritmando do denominador, colocamos a antiga base do log original.

Assim, se quisermos fazer uma mudança de base do log3 2 para a base 10, será da seguinte forma:

log 2 / log 3

Como podemos colocar a base que quisermos, poderíamos escrever também: log2 2 / log2 3 ou ainda log3 2 / log3 3. Só que estas mudanças não seriam aproveitáveis nesta questão, visto que os valores numéricos foram dados para logs decimais.

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