Matemática

Tudo o que você precisa para entender Logaritmo e saber usá-lo!

Aprenda Logaritmo de uma vez por todas!Aprenda Logaritmo de uma vez por todas!

Logaritmo é o nome que se dá à operação matemática utilizada para resolver cálculos relacionados à potenciação, sendo considerado o seu inverso. Nele, buscamos descobrir o valor do expoente que a base deve ter para formar a potência pedida.

Neste artigo sobre Logaritmo você encontrará todos os tópicos abaixo. Clique em um deles para ir diretamente ao assunto:

  1. O que é Logaritmo e para quê serve? Introdução para iniciantes!
  2. Como resolver um Logaritmo?
  3. Definição, condição de existência e consequências!
  4. Exemplo de resolução do Log.
  5. Quais são as propriedades do Logaritmo? (log de quociente, produto, soma, subtração, potência e muito mais!)
  6. Casos especiais: log neperiano, mudança de base, etc.

Estudando para as provas? Conheça nosso Simulado gratuito, que pode ser personalizado com as matérias que você mais precisa!

O que é Logaritmo e para quê ele serve? 

O Logaritmo é uma ferramenta matemática muito importante para a humanidade!

No século XVII (1600), essa ferramenta  foi desenvolvida para auxiliar na resolução de cálculos, principalmente os que envolvem potências.

John Napier foi o matemático que desenvolveu esse auxílio muito utilizado na física, biologia, química, computação e até na geografia! Normalmente é usado no cálculo de terremotos, mas também pode ajudar no cálculo de populações.

Indo direto ao ponto:

O logaritmo é a uma operação que utilizamos para descobrir o expoente de uma base que já foi dada. A descoberta de um expoente para essa base deve fazer com que eles se igualem à uma potência modelo.

Esse nome veio do grego: “Logos – razão” e “arithmos – números”. Mas vamos apelidar como Log para facilitar as coisas e ficarmos mais à vontade! 

Como resolver um logaritmo?

Para resolver o log com melhor precisão, outros matemáticos oficializaram definições e suas consequências matemáticas. Para entendê-las, precisamos conhecer os elementos que constituem o símbolo do log e como lê-los. 

Além disso, é necessário conhecer as propriedades da potenciação. Isso porque o gráfico do Log nos mostra que ele é o inverso das funções exponenciais, demonstrando que ambas coisas estão estritamente relacionadas.

Por isso, para resolver um log, bastará aplicar a definição literalmente, traduzindo-a em números. E lembrar de recorrer às propriedades quando for o caso adequado!

Vamos conhecer quais são esses elementos, definições, exemplos e propriedades:

Definição do Logaritmo e Condições de Existência

A forma genérica de um log qualquer, é composta por três elementos:

  • a → base
  • b → logaritmando
  • x → logaritmo

Os quais são organizados na escrita matemática da seguinte forma:

o-que-é-logarítimo-elementos-do-logaritmo-base-logaritmando-condições-de-existência

Matematicamente falando, a definição formal de log é:

Ao considerar dois números “a” e “b” reais positivos, com a ≠ 1, o logaritmo de “b” na base “a” é o número “x” somente se “a” elevado a “x” for igual ao número “b”.

É preciso que o logaritmando “b” seja positivo, pois se ele for negativo significa que o “a” também era e isso não existe.

É preciso que a base “a” seja diferente de 0. Caso fosse 0, seria impossível resolver aplicando a definição. Isso porque na potenciação não existe base 0.

Também é preciso que a base “a” seja positiva. Se fosse negativa, daria possibilidade de o “b” também ser, o que não pode.

Por fim, a base “a” deve ser diferente de 1. Se fosse 1, teríamos sempre o mesmo valor para o log e não seria possível solucionar as diversas questões.

Consequências da definição

Como temos um definição e condições de existências, podemos tirar algumas conclusões óbvias e diretas disso. Veja:

ATENÇÃO!

Nem sempre é possível escrever o log como foi representado nas imagens: com a base menorzinha e em baixo, pois nem todos os sites posicionam estes símbolos.

Por isso, atente-e se que log2 7 deve ser lido como “log de 7 na base 2”.

  • Sempre que o logaritmando for 1 o resultado será 0, independentemente da base. As regras da potenciação também dizem que todo número elevado a zero resulta em 1, então x = 0. Veja:

log7 1 = x, pois 7x = 1

  • Sempre que o logaritmando for igual à base, o resultado será 1. Isso também ocorre por causa das regras da potenciação: todo número elevado a 1 resulta nele mesmo:

se log9 9 = x, então 91 = 9, logo,  9x = 91 e x = 1.

  • Sempre que houver logaritmando igual à base e esta base possuir um expoente, o resultado será o próprio expoente:

log8 8² = x, pois 8x = 82, então x = 2.

  • Sempre que houver 2 logaritmos com bases iguais em uma igualdade, os logaritmandos também serão iguais:

log3 b = log3 c, então b = c.

Exemplo de resolução do Log

Vamos aplicar a definição para resolver os logs com valores numéricos reais:

Descubra o valor de log3 81.

Resolução

Fazemos a seguinte leitura: “log de 81 na base 3 é igual a quanto?”, ou seja, preciso descobrir a qual número devo elevar a base 3 para que resulte em 81”. Usando a definição, temos:

log3 81 = x        3x = 81

Para encontrar esse valor, devemos fatorar o número 81, pois assim saberemos se ele pode ser composto apenas multiplicando o 3 certo número de vezes:

como-resolver-um-logaritmo-fatoração-e-resolução-das-potencias

Como as bases são iguais e ambas as potências estão numa equação de igualdade, então os expoentes também são iguais. Assim:

x = 4

Quais são as propriedades do Logaritmo?

mapa-mental-de-logaritmo-consequencias-da-definição-e-exemplos-das-propriedades

As propriedades nos auxiliam a resolver os logs em certas situações. Elas podem não fazer muito sentido vistas assim, soltas. 

Porém, alguns exercícios funcionam assim:

São dados, por exemplo, os valores numéricos de log10 2 e log10 3, pedindo que você ache o log10 6. São nessa situações que utilizamos as propriedades!

Todos os exemplos citados satisfazem a condição de existência. Agora veja como aplicar essas propriedades:

Logaritmo de um produto → soma de logaritmos

Quando houver um produto de fatores no logaritmando, o logaritmo corresponde à soma dos logaritmos individuais de cada fator, mantendo-se a mesma base para ambos. 

Exemplo

Log3 (30) → log3 (3 x 10) → log3 3 + log3 10

Logaritmo de um quociente → subtração de logaritmos

Quando houver uma divisão de fatores no logaritmando, o logaritmo corresponde à subtração dos logaritmos individuais de cada fator, mantendo-se a mesma base.

Exemplo

Log3 2 → log3 (6 / 3) → log3 6 – log3 3

Log de logaritmando com potência

Quando o logaritmando for uma potência, o expoente dela passa a multiplicar todo o logaritmo restante.

Exemplo

Log7 b³ →  3 log7 b

Logaritmo de base com potência

Quando a base for uma potência, o expoente dela é invertido e passa a multiplicar todo o logaritmo restante.

Exemplo

Log 8 →  ½ log3 8

Logaritmo de Raiz

Vimos no artigo potenciação que um número elevado à uma fração pode ser transformado em raiz: 4 elevado a ½ é o mesmo que fazer a raiz quadrada de 4 e 8 elevado a ⅓ é o mesmo que fazer a raiz cúbica de 8.

Assim, quando houver uma raiz no logaritmando faremos o seu inverso, ou seja, a potência correspondente. Depois, prosseguimos com a propriedade do logaritmo de potência: o expoente passa a multiplicar todo o logaritmo.

Exemplo 

Log2 √4 → ½ log2 4

Casos especiais de Logaritmos

Além das propriedades, você pode se deparar com algumas formas de logaritmo que “assustam”. Vamos entendê-las, pois só teme quem não conhece!

Logaritmo decimal

Quando um logaritmo possui a base igual a 10, será chamado logaritmo decimal. Contudo, definiu-se que quando ele for decimal, não é necessário escrever a base 10.

Portanto, se você se deparar com algo do tipo “log 4”, não ache que está faltando algo! O 10 na base está implícito!

Logaritmo Natural ou Neperiano

John Napier não só desenvolveu o cálculo do logaritmo, como também uma notação específica para quando usarmos a constante de Euler.

Você já deve ter usado o pi “π” na geometria, e sabemos que seu valor aproximado é 3,14. Existe também a constante de Euler, cujo símbolo é o “e” vale aproximadamente 2,7.

Quando a base do logaritmo for o “e”, definiu-se que não se escreveria loge b = x. Mas sim a seguinte notação:

in b = x

O “in” deixa implícito que se trata de um log de base “e”.

Potência com log no expoente

Quando uma potência estiver elevada a um expoente que for logaritmo, se a base da potência for a mesma da base do logaritmo, o resultado será o logaritmando.

Exemplo

7 log7 4 → o resultado será 4.

Logaritmo Negativo ou Colog

O cologaritmo nada mais é que o log negativo. Mantém-se a condição de que base e logaritmando não podem ser negativos, o logaritmo é que pode. 

Assim, quando nos depararmos com colog2 4, basta fazer – log2 4.

Isto equivale a dizer que há um “-1” multiplicando o log.

Mudança de base de Logaritmo

Por último, eis um recurso muito utilizado. Você já pensou o que fazer quando as bases estão diferentes e nenhuma propriedade se aplica?

Nesta situação, basta fazer a mudança da base antiga para aquela que nos convêm!

Exemplo

Supondo que temos o seguinte cálculo para ser resolvido: Log3 2. Mas foi dado apenas o valor numérico de log 2 e log 3.

Isso significa que é conveniente transformar o log inicial para um que tenha a base 10. Assim, poderemos substituir os valores que já foram dados!

Para isso, basta armar uma divisão entre dois logs de mesma base (o valor que queremos colocar nela).

  • No logaritmando do numerador, mantemos o logaritmando do log inicial.
  • No logaritmando do denominador, colocamos a antiga base do log original.

Assim, se quisermos fazer uma mudança de base do log3 2 para a base 10, será da seguinte forma:

log 2 / log 3

Como podemos colocar a base que quisermos, poderíamos escrever também: log2 2 / log2 3 ou log3 2 / log3 3. Só que estas mudanças não seriam aproveitáveis, pois os valores foram dados para logs decimais nesta questão.

Gostou do nosso artigo sobre Logaritmo? Confira outros artigos do nosso blog e se prepare para o Enem da melhor maneira! Você também pode se organizar com o nosso plano de estudos, o mais completo da internet, e o melhor: totalmente gratuito!

Queremos te ajudar a encontrar a FACULDADE IDEAL! Logo abaixo, faça uma pesquisa por curso e cidade que te mostraremos todas as faculdades que podem te atender. Informamos a nota de corte, valor de mensalidade, nota do MEC e muito mais.

Experimente agora!

Sisu

Enem

Matérias

Simulado

Buscador