Matemática

Aprenda o que é Função Afim e toda a matéria envolvida!

Tudo sobre Função Afim - propriedades e exemplos!Tudo sobre Função Afim - propriedades e exemplos!

A Função Afim, também chamada de Função de 1° Grau, é um polinômio descrito pela regra geral y = ax + b. O maior expoente da variável “x” é 1 e o seu gráfico é uma reta inclinada. Ela ainda possui um coeficiente angular “a” e um linear “b”, sendo muito utilizada para resolver problemas matemáticos!

Neste artigo sobre Função Afim você encontrará:

  1. Função Afim: o que é uma função, definição, forma geral e componentes
  2. Gráfico da Função Afim e como resolvê-la
  3. Coeficiente angular e linear
  4. Tipos de função afim: crescente, decrescente, identidade e constante
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O que é uma Função?

Antes de aprender o que é uma Função Afim, precisamos entender o conceito de função! Quando dizemos que “fulano vive em função do seu trabalho”, a primeira ideia que vem à cabeça é de uma relação de dependência. Isso também se aplica à matemática!

Portanto, a função é uma operação matemática que relaciona dois conjuntos que se dependem. Naquele que chamamos de Domínio, há todas as possibilidades de valores para o “x”. No Contradomínio, há as possibilidade de valores para “y”. 

Cada elemento do Domínio só pode se ligar a um do Contradomínio, pois evidencia que só há um resultado para solucionar aquela questão. Essa relação entre os elementos se dá pela lei de formação, que é a lei que define uma função.

Portanto, para cada valor que x tiver na função, pode-se estabelecer um valor de y. Por isso dizemos que “y está em função de x”. Dessa forma, x e y são conhecidos, respectivamente, como variável independente e variável dependente.

O que é Função Afim, Fórmula Geral e Definição

A Função Afim é o tipo mais básico de função, aprendemos ela primeiro para depois continuarmos com as outras (2° grau, exponencial, etc.).

Ela é um polinômio de primeiro grau, isto é, uma expressão matemática com vários algarismos, operações, “letras” para se descobrir seu valor numérico e cujo maior expoente é 1. 

A função afim, também pode ser chamada de função do 1º grau, e é definida como f : ℝ→ℝ, o que significa que seus números devem pertencer ao conjunto dos número Reais.

Sua regra geral é:

  • f(x) = ax + b

Sendo que: 

  • “a” é chamado de coeficiente angular
  • “b” é chamado de coeficiente linear
  • “x” é a variável independente
  • f(x) = y , ou seja, a variável dependente
  • “a” e “b” pertencem aos números reais

Alguns exemplos numéricos desse tipo de função são:

  • f(x) = x + 15
  • h(x) = ⅓ x
  • g(x) = x – 2
  • Y = 2x + 4

O que é Coeficiente Angular e Linear

  • Coeficiente angular (a):

É o “a” da função, o que fica junto do x. No gráfico, é a tangente do ângulo α (alfa) formado pela intersecção entre a reta da função e o eixo x. (veremos no próximo tópico a imagem do gráfico). Este coeficiente é responsável por determinar a inclinação da reta no gráfico.

  • Coeficiente linear (b):

É o “b” da função, o que fica longe do x. No gráfico, é o ponto em que a reta da função corta o eixo Y, ou seja, a interseção desses elementos. 

Como resolver uma Função Afim

Para resolver uma Função Afim, basta saber a sua lei de formação, substituir os valores dados e encontrar os que faltam da mesma forma com que se resolve uma Equação de 1° Grau.

Exemplo 

  1. Carlos é lojista e ganha um salário mensal de R$ 3.000,00. Além disso, a cada produto em destaque vendido, ele ganha uma comissão de 3% do valor deste produto. Se ele vendeu 120 peças em destaque, qual será o seu salário neste mês?

Solução

A primeira coisa que precisamos fazer é definir a regra de formação. Vamos chamar o valor final do salário de “f(x)” e recordar que 3% de cada produto vendido equivale a 0,03x.   Então, podemos escrever que sua lei de formação é:

f(x) = 0,03x + 2000

Agora, basta substituir “120” no “x”, pois foi essa a quantidade de produtos em destaque vendido neste mês. Teremos:

f(x) = 0,03.120 + 2000

f(x) = 3,6 + 2000

f(x) = 2003,6 

Portanto, neste mês o lojista ganhou um total de R$ 2003,60.

Qual é o Gráfico da Função Afim e como achar suas raízes?

O que chamamos de “raiz da função” é o ponto em que ela atravessa o eixo x, isto é, o ponto em que y = 0.  Ache o valor do x para y=0 e você terá encontrado a raiz. 

Portanto, para descobrir a raiz de uma função afim, basta substituir o y por 0. Ao fazer isso, teremos:

f(x) = ax + b

0 = ax + b

ax = -b

x = -b/a

  • Logo, a raiz da Função Afim é o ponto -b/a no eixo x. É importante destacar que as funções de 1º grau têm apenas 1 raiz.
  • O gráfico da função afim é uma reta, então só precisamos de dois pontos para traçá-lo. 

Eles podem ser os pontos que você quiser (pegue a regra geral da função e vá jogando valores no “x” para ver qual o par “y” que satisfaz), mas na falta de tempo e/ou espaço, é mais fácil definir como primeiro ponto a raiz, que você já viu com se calcula. O segundo pode ser o ponto em que a reta atravessa o eixo y, isto é, o b que está indicado na fórmula.

Vamos fazer dos dois modos, veja:


1.Construa o gráfico da função f(x) = 4x +3

A raíz será o ponto em que a função toca o eixo x, ou seja, o seu y deve ser 0. Portanto:

0 = 4x +3

-4x = 3

x = 3 / -4

x = – 0,75

Portanto, o primeiro ponto da reta no gráfico é definido pelo par ordenado (x e y) = (- 0,75 e 0)

Já sabemos pela fórmula que quando a reta toca o eixo y no valor indicado por “b”, portanto temos o segundo par ordenado da reta (0 e 3).

2.Construa o gráfico da função f (x) = 4x + 3.

Para construir o gráfico desta função, vamos atribuir valores arbitrários aleatórios para x, e calcular o valor correspondente para y. Supondo os valores -2, -1, 0, 1 e 2 para x, temos a formação do seguintes pares de pontos na reta:

f (- 2) = 4. (- 2) + 3 = – 8 + 3 = – 5, então (-2 e -5)

f (- 1) = 4 . (- 1) + 3 = – 4 + 3 = -1, então (-1 e -1)

f (0) = 4 . 0 + 3 = 3, então (0 e 3)

f (1) = 4 . 1 + 3 = 7, então (1 e 7)

f (2) = 4 . 2 + 3 = 11, então (2 e 11)

O gráfico de  f (x) = 4x + 3 será:

construção-do-gráfico-de-uma-função-afim (fx)=4x+3

Tipos de função Afim

Existem alguns tipos específicos de função afim que recebem nomes diferentes. Vamos ver quais são as características de cada uma:

Função Afim Crescente e Decrescente

tipos-de-função-afim-crescente-e-descendente
  • Uma Função Afim é crescente quando o seu coeficiente angular é positivo (a > 0), ou seja, ao atribuir valores cada vez maiores para “x”, o “y” também aumenta.
  • Uma Função Afim é decrescente quando o seu coeficiente angular é negativo (a < 0), ou seja, ao atribuir valores cada vez maiores para “x”, o “y” diminui.

Função Linear

Exemplo-do-gráfico-da-função-linear

A Função Afim é chamada de Linear quando b = 0, sendo que a ≠ 0. Nesses casos, o gráfico necessariamente passa pelo ponto de origem (0,0)

Função Identidade

exemplo-do-gráfico-da-função-identidade

A Função Afim é Identidade quando a = 1 e b = 0. Nesses casos, o gráfico necessariamente passa pelo ponto (0,0), e o ângulo α é de 45º.

Além disso, essa reta é bissetriz do 1º e 3º quadrantes, ou seja, divide os quadrantes em dois ângulos iguais, conforme indicado na imagem abaixo:

Função Constante

exemplo-do-gráfico-da-função-constante

A Função Afim é constante quando a = 0. Nesses casos, o gráfico é paralelo ao eixo x

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