Matemática

Resumo de Conjuntos Numéricos

Resumo de conjuntos numéricosResumo de Conjuntos Numéricos

Conjuntos são uniões de elementos que compartilham das mesmas características. No caso dos números, essas uniões são chamadas de conjuntos numéricos. São eles: Naturais, Inteiros, Racionais, Irracionais e Reais.

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O que são Conjuntos Numéricos?

Conjunto é o agrupamento de elementos que partilham de mesmas características. Quando esses elementos são números, essa união passa a ser conhecida como conjunto numérico. Dentro da matemática, pode-se agrupar os números de diversas formas, gerando assim inúmeros conjuntos numéricos.

Porém, alguns desses conjuntos são mais notórios por conta da frequência que aparecem nas soluções e demonstrações matemáticas. São eles: naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais.

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Conjunto dos Números Naturais (N)

O Conjunto dos Números Naturais, representado pela letra N, foi o primeiro conjunto numérico que surgiu, por conta da necessidade de se realizar contagens. Seus elementos são os números inteiros e positivos.

O conjunto dos números naturais possui os seguintes elementos:

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, …}

As chaves ({x}) são utilizadas na representação para dar ideia de conjunto. Os pontos de reticência dão a ideia de infinidade, já que os conjuntos numéricos são infinitos.

O Conjunto dos Números Naturais inicia-se em zero e é infinito.

Subconjuntos dos Números Naturais

  • N* = {1, 2, 3, 4, 5…, n, …} ou N* = N – {0}: conjuntos dos números naturais não-nulos, ou seja, sem o zero;
  • Np = {0, 2, 4, 6, 8…, 2n, …}, em que n ∈ N (pertence à N): conjunto dos números naturais pares;
  • Ni = {1, 3, 5, 7, 9…, 2n+1, …}, em que n ∈ N: conjunto dos números naturais ímpares;
  • P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, …}: conjunto dos números naturais primos.

Conjunto dos Números Inteiros (Z)

O Conjunto dos Números Inteiros, representado pela letra Z, é uma extensão do conjunto dos números naturais. Ele é constituído pela união do conjunto dos números naturais com os números negativos. Portanto, pode-se dizer que o conjunto dos números inteiros, possui os seguintes elementos:

Z = {…, – 4, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, 4, …}

Subconjuntos dos Números Inteiros

  • Z* = {…, –4, –3, –2, –1, 1, 2, 3, 4, …} ou Z* = Z – {0}: conjuntos dos números inteiros não-nulos, ou seja, sem o zero;
  • Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}: conjunto dos números inteiros e não-negativos. Logo, Z+ = N;
  • Z*+ = {1, 2, 3, 4, 5, …}: conjunto dos números inteiros positivos e sem o zero;
  • Z – = {…, –5, –4, –3, –2, –1, 0}: conjunto dos números inteiros não-positivos;
  • Z*– = {…, –5, –4, –3, –2, –1}: conjunto dos números inteiros negativos e sem o zero.

Conjunto dos Números Racionais

O Conjunto dos Números Racionais é o conjunto dos números que podem ser escritos na forma de fração. Representado por Q, o conjunto dos números racionais possui os seguintes elementos:

Q = {x ∈ Q: x = a/b, a ∈ Z e b ∈ N}

A definição acima é lida desta forma: x pertence aos racionais, tal que x é igual a a dividido por b, com a pertencente aos inteiros e b pertencente aos naturais.

Em outras palavras, se é fração ou um número que pode ser escrito na forma de fração, então é um número racional.

Os números que podem ser escritos na forma de fração são:

  • Todos os números inteiros;
  • Decimais finitos;
  • Dízimas periódicas.

Como transformar número decimal em fração?

Os decimais finitos são aqueles que possuem um número finito de casas decimais. Como por exemplo:

  • 0,1
  • 3,5
  • 6,32

Dízimas periódicas são decimais infinitos, mas que repetem a sequência final de suas casas decimais. Por exemplo:

  • 5,22222…
  • 4,45454545….
  • 7,255255255255….

Subconjuntos dos Números Racionais

  • Q* = subconjunto dos números racionais não-nulos, formado pelos números racionais sem o zero;
  • Q+ = subconjunto dos números racionais não-negativos, formado pelos números racionais positivos e o zero;
  • Q*+ = subconjunto dos números racionais positivos, formado pelos números racionais positivos, sem o zero;
  • Q– = subconjunto dos números racionais não-positivos, formado pelos números racionais negativos e o zero;
  • Q*– = subconjunto dos números racionais negativos, formado números racionais negativos, sem o zero.

Conjunto dos Números Irracionais

numeros irracionais

O Conjunto dos Números Irracionais, representado pela letra I, possui como elementos todos os números que NÃO pertencem ao conjunto dos racionais.

Portanto, ou um número é racional ou ele é irracional. Não há possibilidade de um número pertencer a esses dois conjuntos ao mesmo tempo. Desta forma, o conjunto dos números irracionais complementa o conjunto dos números racionais, dentro do universo dos números reais.

Podemos definir também o conjunto dos números irracionais da seguinte forma: Os números irracionais são os que NÃO podem ser escritos na forma de fração. São eles:

  • Decimais infinitos;
  • Raízes não exatas.

Os decimais infinitos são números que possuem infinitas casas decimais e que não são dízimas periódicas. Tais como:

  • 0,1541984561354…
  • √2
  • π

Conjunto dos Números Reais

O Conjunto dos Números Reais, representado por R, é constituído por todos os demais conjuntos citados. Ele pode ser definido pela união do conjunto dos números racionais e o conjunto dos números irracionais. O Conjunto dos Números Reais pode ser escrito matematicamente desta forma:

R = Q U I = {Q + I}

Relação entre Conjuntos Numéricos

conjuntos numéricos

N C Z C Q C R → N está contido em Z, que está contido em Q e que está contido em R

I C R → I está contido em R

Q U I = R → Q união com I, corresponde a R

QI = Ø → Q intersecção com I, corresponde a vazio

I = RQ → I corresponde a R, subtraído de Q

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