Matemática

Resumo de Conjuntos Numéricos: Naturais, Inteiros, Racionais e Reais

Resumo de conjuntos numéricosResumo de Conjuntos Numéricos

Conjuntos numéricos são conjuntos com números que podem ser naturais, inteiros, racionais e irracionais. Estes grupos de números se relacionam e estão um contido no outro. A área da matemática que estuda isto segue a Teoria dos conjuntos.

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O que são Conjuntos Numéricos?

Conjunto é o agrupamento de elementos que partilham de mesmas características. Quando esses elementos são números, essa união passa a ser conhecida como conjunto numérico. Dentro da matemática, pode-se agrupar os números de diversas formas, gerando assim inúmeros conjuntos numéricos.

Porém, alguns desses conjuntos são mais notórios por conta da frequência que aparecem nas soluções e demonstrações matemáticas. São eles: naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais.

Teste os seus conhecimentos com os nossos exercícios sobre conjuntos!

Conjunto dos Números Naturais (N)

O Conjunto dos Números Naturais, representado pela letra N, foi o primeiro conjunto numérico que surgiu, por conta da necessidade de se realizar contagens. Seus elementos são os números inteiros e positivos.

O conjunto dos números naturais possui os seguintes elementos:

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, …}

As chaves ({x}) são utilizadas na representação para dar ideia de conjunto. Os pontos de reticência dão a ideia de infinidade, já que os conjuntos numéricos são infinitos.

O Conjunto dos Números Naturais inicia-se em zero e é infinito.

Subconjuntos dos Números Naturais

  • N* = {1, 2, 3, 4, 5…, n, …} ou N* = N – {0}: conjuntos dos números naturais não-nulos, ou seja, sem o zero;
  • Np = {0, 2, 4, 6, 8…, 2n, …}, em que n ∈ N (pertence à N): conjunto dos números naturais pares;
  • Ni = {1, 3, 5, 7, 9…, 2n+1, …}, em que n ∈ N: conjunto dos números naturais ímpares;
  • P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, …}: conjunto dos números naturais primos.

Conjunto dos Números Inteiros (Z)

O Conjunto dos Números Inteiros, representado pela letra Z, é uma extensão do conjunto dos números naturais. Ele é constituído pela união do conjunto dos números naturais com os números negativos. Portanto, pode-se dizer que o conjunto dos números inteiros, possui os seguintes elementos:

Z = {…, – 4, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, 4, …}

Subconjuntos dos Números Inteiros

  • Z* = {…, –4, –3, –2, –1, 1, 2, 3, 4, …} ou Z* = Z – {0}: conjuntos dos números inteiros não-nulos, ou seja, sem o zero;
  • Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}: conjunto dos números inteiros e não-negativos. Logo, Z+ = N;
  • Z*+ = {1, 2, 3, 4, 5, …}: conjunto dos números inteiros positivos e sem o zero;
  • Z – = {…, –5, –4, –3, –2, –1, 0}: conjunto dos números inteiros não-positivos;
  • Z*– = {…, –5, –4, –3, –2, –1}: conjunto dos números inteiros negativos e sem o zero.

Conjunto dos Números Racionais

O Conjunto dos Números Racionais é o conjunto dos números que podem ser escritos na forma de fração. Representado por Q, o conjunto dos números racionais possui os seguintes elementos:

Q = {x ∈ Q: x = a/b, a ∈ Z e b ∈ N}

A definição acima é lida desta forma: x pertence aos racionais, tal que x é igual a a dividido por b, com a pertencente aos inteiros e b pertencente aos naturais.

Em outras palavras, se é fração ou um número que pode ser escrito na forma de fração, então é um número racional.

Os números que podem ser escritos na forma de fração são:

  • Todos os números inteiros;
  • Decimais finitos;
  • Dízimas periódicas.

Como transformar número decimal em fração?

Os decimais finitos são aqueles que possuem um número finito de casas decimais. Como por exemplo:

  • 0,1
  • 3,5
  • 6,32

Dízimas periódicas são decimais infinitos, mas que repetem a sequência final de suas casas decimais. Por exemplo:

  • 5,22222…
  • 4,45454545….
  • 7,255255255255….

Subconjuntos dos Números Racionais

  • Q* = subconjunto dos números racionais não-nulos, formado pelos números racionais sem o zero;
  • Q+ = subconjunto dos números racionais não-negativos, formado pelos números racionais positivos e o zero;
  • Q*+ = subconjunto dos números racionais positivos, formado pelos números racionais positivos, sem o zero;
  • Q– = subconjunto dos números racionais não-positivos, formado pelos números racionais negativos e o zero;
  • Q*– = subconjunto dos números racionais negativos, formado números racionais negativos, sem o zero.

Conjunto dos Números Irracionais

conjunto dos numeros irracionais

O Conjunto dos Números Irracionais, representado pela letra I, possui como elementos todos os números que NÃO pertencem ao conjunto dos racionais.

Portanto, ou um número é racional ou ele é irracional. Não há possibilidade de um número pertencer a esses dois conjuntos ao mesmo tempo. Desta forma, o conjunto dos números irracionais complementa o conjunto dos números racionais, dentro do universo dos números reais.

Podemos definir também o conjunto dos números irracionais da seguinte forma: Os números irracionais são os que NÃO podem ser escritos na forma de fração. São eles:

  • Decimais infinitos;
  • Raízes não exatas.

Os decimais infinitos são números que possuem infinitas casas decimais e que não são dízimas periódicas. Tais como:

  • 0,1541984561354…
  • √2
  • π

Conjunto dos Números Reais

O Conjunto dos Números Reais, representado por R, é constituído por todos os demais conjuntos citados. Ele pode ser definido pela união do conjunto dos números racionais e o conjunto dos números irracionais. O Conjunto dos Números Reais pode ser escrito matematicamente desta forma:

R = Q U I = {Q + I}

Relação entre Conjuntos Numéricos

resumo de conjuntos numéricos

N C Z C Q C R → N está contido em Z, que está contido em Q e que está contido em R

I C R → I está contido em R

Q U I = R → Q união com I, corresponde a R

QI = Ø → Q intersecção com I, corresponde a vazio

I = RQ → I corresponde a R, subtraído de Q

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Redação Beduka
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4 Comentários

    • Pode copiar o nosso link e informar a data em que acessou o site. Só isso! 🙂
      Se for em meio virtual, basta colocar um link que dê para clicar e chegar ao nosso site.

    • Oi, Mário! O diagrama está correto. Neste texto não abordamos os números complexos e por isso não mencionamos o conjunto dos números Imaginários, representado por “i”. O que você vê no texto é “I”, dos números Irracionais, e eles pertencem ao conjunto Real.

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