Matemática

Entenda de uma vez por todas o que é Função Exponencial!

Tudo sobre o que é Função Exponencial!Tudo sobre o que é Função Exponencial!

Uma Função Exponencial é caracterizada pela presença da variável (x) no expoente de uma base numérica. Como toda função, há uma relação de dependência entre o valor de Y e esse expoente. Além disso, para que seja uma função real, é necessário que a base seja diferente de 1 e alguns outros detalhes… Fique conosco para saber tudo sobre Função Exponencial!

Neste artigo, você encontrará:

  1. O que é Função Exponencial: definição e importância
  2. Propriedades e condições da Função Exponencial
  3. Construção do Gráfico da função
  4. Exemplos
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O que é Função Exponencial: definição

Dizemos que uma função é exponencial quando a variável (x) encontra-se no expoente de uma base (a). Essa base deve ser um número real, maior que zero e diferente de um. Essa condição pode não fazer sentido agora, mas explicaremos o porquê no próximo tópico!

Podemos escrever uma função exponencial qualquer usando a definição geral:

  • f: R→R tal que y = aˣ, sendo que a > 0 e a ≠ 1

Para facilitar, confira exemplos numéricos de funções exponenciais:

  • y = 2ˣ + 1
  • y = 0,3ˣ
  • y = 5ˣ

Como resolvemos essa conta? Calma lá!

Para avançarmos, é preciso que você já tenha alguns conhecimentos sobre: funções (1° grau, 2° grau, constante, afim…), potenciação, raiz quadrada e equações exponenciais! 

Não se esqueça destes detalhes:

  • Ser uma função significa ter dependência, ou seja, o valor da função (y) se modifica à medida que modificamos o valor de x, pois o resultado depende da conta que é feito com o outro número.
  • Como se trata de uma função, um determinado valor de x produzirá um valor de y, logo, devemos resolver as funções pensando nos pares ordenados (x,y) que se adequam àquela regra. Assim, sempre será dado o valor de um deles para que possamos chegar ao outro.
  • Quando usamos a expressão “f(x)” estamos nos referindo ao valor final daquela  função de acordo com o valor que colocamos em x, ou seja, referimo-nos ao valor de Y. Logo,  Y = f(x).
  • Como você pode observar, somar um mesmo número repetidas vezes com ele mesmo é fazer a multiplicação: 2 + 2 + 2 = 2 x 3. Assim, multiplicar um número por ele mesmo repetidas vezes é fazer potenciação: 2 x 2 x 2 = 2³.

Se na multiplicação o resultado cresce de forma linear, dizemos que na potenciação o resultado cresce de forma exponencial. Compare as sequências:

Função-exponencial-o-que-é-potênciação-diferença-para-multiplicação.-Imagem-de-quadro-comparativo-mostrando-sequência-de-potências-e-gráficos-dos-resultados

Importância e aplicabilidade da função exponencial

Como você observou, as contas exponenciais apresentam resultados muito grandes em menos tempo. Por causa disso, é considerada uma importante ferramenta da Matemática e está presente em situações nos cálculos que levariam muito mais tempo se fossem usadas outras operações.

Na área financeira serve para calcular uma aplicação à taxa de juros compostos, na Química calcula-se o decaimento radioativo, na Biologia calcula-se o crescimento de bactérias em uma colônia, na Geografia mede-se o crescimento populacional

Propriedades e condições da Função Exponencial

Vejas as propriedades fundamentais e necessárias para fazer os exercícios em geral. São regras que não podem ser quebradas, ou a função deixará de ser exponencial e os resultados e gráficos darão errado.

1° Condição geral: a base não pode ser negativa

Como estamos falando em exponencialidade, necessariamente falamos sobre potenciação. Assim, se pensarmos na fórmula geral: y = aˣ e quisermos colocar um número negativo, veremos que não há resultado possível!

Exemplo: Vamos supor que o -9 esteja elevado a um número fracionado, como quando o X vale ½. Pelas regras da potenciação, elevar um número a ½ é fazer sua raiz quadrada. Contudo, é impossível tirar a raiz de um número negativo. Por este motivo a base não pode ser menor que zero.

2° condição geral: a base deve ser diferente de 1

De acordo com as regras da potenciação, o número 1 elevado a qualquer número resulta sempre em 1. Portanto, não importa qual valor atribuímos ao X, o resultado Y sempre será 1. Dessa forma, teremos o gráfico de uma função constante e não exponencial.

Exemplo:

Diferença-entre-gráfico-de-função-exponencial-a-esquerda-e-gráfico-de-função-constante-a-direita

3° condição geral: a base não pode ser igual a 0

Novamente, resgatando os conceitos da potenciação, não existe resultado Real para a operação de elevar 0 a algum expoente. Portanto, a base não pode ser 0.

  • 1ª propriedade: se x = 0, então f(x) = 1

As noções de potenciação nos apontam que qualquer número elevado a 0 é sempre igual a 1. 

Exemplo: observe as funções f(x) = 3ˣ e f(x) = 2ˣ:

f(x) = 3ˣ      →      f(0) = 3⁰      →      f(0) = 1      →      Y = 1

f(x) = 2ˣ      →      f(0) = 2⁰      →      f(0) = 1      →      Y = 1

Atenção!

Cuidado para não confundir o fato de o número 0 não poder estar na base mas poder ser a variável (o expoente)!

  • 2ª propriedade: se a > 1, a função será crescente

Uma função tem valores crescentes sempre que a > 1, independente do valor de x. O que importa é identificar que aˣ¹ < aˣ². 

Exemplo: supondo a função f(x) = 3ˣ, neste caso a = 3 e 3 > 1. Vamos atribuir ainda os valores x₁ = 1 e x₂ = 2 seguindo a ordem numérica x₁ < x₂. Teremos:

f(x₁) = 3ˣ¹         e        f(x₂) = 3ˣ²

f(1) = 3¹           e        f(2) = 3²

f(1) = 3            <        f(2) = 9

Então aˣ¹ < aˣ² porque 3 < 9. Logo, f(x) é uma exponencial crescente!

  • 3ª propriedade: se 0 < a < 1, a função será decrescente

Já que a base (a) não pode ser negativa e nem 0 ou 1, o único modo da função ser decrescente é se (a) estiver entre 0 e 1! As condições x₁ < x₂ e 0 < a < 1 também podem ser representadas por uma expressão única: aˣ¹ > aˣ² é típico de uma função decrescente.. 

Exemplo: Vejamos a função f(x) = 0,5ˣ, em que a = 0,5. Atribuindo os valores x₁ = 1 e x₂ = 2, teremos:

f(x₁) = 0,5ˣ¹         e        f(x₂) = 0,5ˣ²

f(1) = 0,5¹           e        f(2) = 0,5²

f(1) = 0,5            >        f(2) = 0,25

Então aˣ¹ > aˣ² porque 0,50 > 0,25. Logo, f(x) é uma exponencial decrescente!

  • 4ª propriedade: sempre que x₁ = x₂, aˣ¹ = aˣ²

Todas as vezes que houver um sinal de igual entre as potências e tivermos a mesma base, as funções devem apresentar o mesmo resultado, ou seja, estão sobre o mesmo expoente.

Exemplo: Suponha que foi dada a função f(x) = 7ˣ. Se o enunciado quiser saber quanto vale x₁ e x₂ e der a informação de que f(x₁) = 49 e f(x₂) = 49, basta organizar e substituir os dados

Teremos que:      49 = 7ˣ¹       e       49 = 7ˣ²

Pela lógica da potenciação, podemos concluir que x₁ = x₂ = 2, pois 7 só será igual a 49 se estiver elevado a 2.

Outras informações importantes

  • Juros compostos é função exponencial!

Quando decoramos as fórmulas da matemática financeira pela primeira vez, lá no Fundamental, não nos damos conta de que ela é uma função exponencial que vemos no Ensino Médio!

Já notou que quanto mais tempo(x) passa, maior é o montante (y)? É porque se trata de uma função exponencial, observe a fórmula:

M=C(1+i)t 

 Viu como é fácil? você já resolvia essas operaçõe sem saber!

  • Função exponencial de base “e” (número neperiano)

Assim como sabemos do π (número pi), que possui um valor constante; também há o número “e”, conhecido como constante de Euler ou número neperiano

Não se assuste! Nós estamos habituados a resolver contas de trigonometria e geometria usando o pi e faremos o mesmo com a constante de Euler. Ou o valor nos é dado e substituímos, ou deixamos na sua forma algébrica e resolvemos a equação normalmente, simplificando os termos quando possível.

Caso você veja algo do tipo f(x)=eˣ, já sabe do que se trata!

Construção do Gráfico da função + exemplo

Como uma função é uma relação de dependência que resolvemos com os valores de pares ordenados; para construir um gráfico é necessário pegar uma função qualquer e estipular valores na variável (X) para encontrar o valor da função Y. Depois, é só colocar no plano cartesiano!

Exemplo: Vamos tomar as funções f(x) = 2ˣ + 2 e f(x) = 0,5ˣ + 3

Como o X é a variável e não há restrições, podemos atribuir qualquer valor a ele. As possibilidades são infinitas, mas procure usar valores pequenos para não complicar sua conta! (Como: -2,-1,0,1,2)

Depois de substituir, é fácil achar o valor de Y em função de x. Resolvemos as contas utilizando as propriedades da potenciação:

Resolução-do-exercício-de-construção-do-gráfico-de-função-exponencial.-a-direita-a-tabela-com-as-coordenadas-e-a-esqurdas-os-cáculos-da-equação
Resolução-do-exercício-de-construção-do-gráfico-de-função-exponencial.-a-direita-a-tabela-com-as-coordenadas-e-a-esqureda-os-cálculos-da-equação

Com os pares ordenados em mãos, podemos construir os gráficos:

Gráficos-da-função-exponencial-construídos-no-exercício-anterior.-a-direita-gráfico-da-função-exponencial-crescente-e-a-esquerda-gráfico-da-função-exponencial-descrescente

Importante:

  • Observe que a primeira função é crescente. Podemos concluir isso tanto pela base ser > 0 quanto pelo desenho que forma no gráfico. Lembre-se que o sentido dessa leitura é sempre da direita para a esquerda.
  • a segunda função é decrescente. Novamente, podemos concluir por causa da base estar entre 0 e 1 e pelo desenho no gráfico.
  • Note ainda que numa função exponencial nunca se chega ao valor Y=0, ou seja, não há nenhum valor da variável que faça a curva tocar o eixo x. Isso acontece porque para a função valer 0 seria preciso que algum número resultasse em 0 após ser elevado. Mas isso não existe!

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