A equação do terceiro grau é aquela que possui a variável independente (o “x“) elevada ao cubo (expoente 3). Por isso, ela também pode ser chamada de equação cúbica ou polinômio de terceiro grau. Para saber como resolvê-las, usamos as Relações de Girard. Leia o resumo e resolva as questões de equação do 3º grau!
Se alguns estudantes já temem as equações de 1° e 2° grau, imagina a de 3°… Mas fique tranquilo! Nossos artigos explicam desde o início, para ajudar os iniciantes. Vamos aprofundando aos poucos e mostrando os exemplos!
Para trabalhar com um polinômio do terceiro grau, vamos te dar macetes! Isso porque a maioria dos vestibulares só tocam nesse assunto para testar as relações entre suas raízes.
Quer seguir diretamente para alguma parte específica? Clique nos tópicos abaixo:
- O que são equações?
- O que é uma equação do 3° grau?
- Como resolver uma equação de 3° grau? (Relações de Girard)
- Lista com questões de equação do 3º grau!
- Gabarito das questões de equação do 3º grau.
Quando você terminar as questões de equação do 3° grau, coloque em prática todo seu conhecimento com O Melhor Simulado Enem do Brasil!
O que são equações?
A palavra “Equação” está originalmente relacionada à palavra igualdade. Portanto, falar em equação é querer tornar as coisas iguais.
Nesta igualdade há números conhecidos e outros desconhecidos. O valor que não sabemos é chamado de incógnita e ele pode ser representado por qualquer letra. O mais comum é utilizarmos “x”,”y”ou “z”.
A solução da equação (o valor que acharmos para a incógnita) é chamada de Raiz. Ela deve ser um número que, ao substituir a incógnita, comprove a igualdade. Dizemos que assim a sentença será verdadeira.
Como dissemos no início, existem diferentes tipos de equações (1º e 2° grau). Elas ainda podem ser transformadas em funções matemáticas, dependendo do que pedir a questão!
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O que é uma equação do 3° grau?
A equação do terceiro grau é aquela que possui sua variável independente (o “x“) elevada ao cubo (expoente 3).
Por isso, ela também pode ser chamada de equação cúbica ou polinômio de terceiro grau.
Como você sabe, toda equação tem uma fórmula geral. A do polinômio de terceiro grau é:
y = ax³ + bx² + cx + d
Em que:
- “a”, “b”, “c” = coeficientes;
- “d” = termo independente;
- “x” = variável independente da função;
- “y” = variável dependente da função.
Da mesma forma que uma equação/função do primeiro grau tem até 1 raiz e que a de segundo grau tem até 2 raízes, a função cúbica pode ter até três raízes!
Por fim, você já deve ter notado que uma das coisas que mais caem nas provas é a interpretação do gráfico das equações. Porém, neste caso, não convém falar sobre ele.
O gráfico de uma equação cúbica é bem complexo, então só é ensinado para os alunos da graduação que fazem “cálculo 1”.
Como resolver uma equação de 3° grau? (Relações de Girard)
Resolver uma equação é encontrar suas raízes, mas as provas pedem coisinhas que vão além disso quando se tratam das equações mais básicas.
No caso da equação cúbica, os vestibulares só costumam exigir os raciocínios que envolvam relações matemáticas entre as raízes.
Por isso, só precisamos entender como funcionam as Relações de Girard para solucionar uma questão envolvendo equação do terceiro grau!
Quais são as 3 Relações de Girard?
Esse é um método (mais usado como macete) que nos dá fórmulas para relacionar os coeficientes ( “a“, “b“, “c” e “d“) com as possíveis raízes (x1, x2 e x3).
São elas:
- x1 + x2 + x3 = – b/a
- ( x1 . x2 ) + ( x1 . x3 ) + ( x2 . x3 ) = c/a
- x1 . x2 . x3 = – d/a.
Exemplo de aplicação
- Observe a equação cúbica y = 2x³ – 4x² + 6x – 8. Determine a soma dos inversos de suas raízes sabendo que elas são x1, x2 e x3.
Solução:
Analisando o polinômio de terceiro grau, vemos que:
a = 2.
b = -4.
c = 6.
d = -8.
Agora que definimos os valores das letras, substituímos-os nas relações de girard:
x1 + x2 + x3 = 2.
( x1.x2 ) + ( x1.x3 ) + ( x2.x3 ) = 3.
x1.x2.x3 = 4.
Se queremos traduzir “soma dos inversos das raízes” para uma linguagem matemática, teremos:
( 1/x1 + 1/x2 + 1/x3 ) = ?
É o resultado dessa conta que buscamos. Do jeito que está, não conseguimos estabelecer nenhuma relação, então precisamos tirar o MMC para achar uma outra forma de escrever a mesma conta:
( 1/x1 + 1/x2 + 1/x3 ) = ( x1.x2 ) + ( x1.x3 ) + ( x2.x3 ) / x1.x2.x3.
Como já definimos pelas Relações de Girard que ( x1.x2 ) + ( x1.x3 ) + ( x2.x3 ) = 3 e x1.x2.x3 = 4, basta substituir os valores. Portanto:
( 1/x1 + 1/x2 + 1/x3 ) = 3/4.
As 10 questões de equação do 3º grau!
Esperamos que, com esse resumo, tudo tenha ficado mais claro para você.
Obrigado por ter lido até aqui!
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Questão 1- (UEL)
Uma das raízes do polinômio x3 + 2x² − 7x − 2 é 2. O produto das outras raízes é:
a) 2.
b) 1.
c) 0.
d) -1.
e) -2.
Questão 2- (FGV)
O polinômio p(x) = x³ – 5x² – 52x + 224 tem três raízes inteiras. Se a primeira delas é o dobro da terceira e a soma da primeira com a segunda é 1, então o produto da primeira e a segunda é:
a) -224.
b) -167.
c) -56.
d) 28.
e) 5.
- Você já fez 20% das questões de equação do 3º grau. Continue assim!
Questão 3- (Planexcon).
Ao resolver equações algébricas de terceiro grau, podemos verificar a importância dos coeficientes das equações e suas possíveis raízes, na articulação da técnica e dos significados destas equações. Assim, uma equação de 3º grau pode ser escrita por: ax3+bx2+cx+d=0, (com a≠0). A equação polinomial cujas raízes são 2, -2 e 3 deve ser escrita como:
a) x3 + 3×2 – 4x + 6 = 0.
b) x3 – 3×2 + 6 = 0.
c) 4×3 – 4×2 + 3x -12 = 0.
d) x3 – 3×2 – 4x + 12 = 0.
e) -4×3 – 3×2 + 2x +6 = 0.
Questão 4- (UFOP)
Sabendo que -1 é raíz da equação polinomial 6x³ + 5x² + kx – 1 = 0 e denominando de “a” e “b” as outras raízes dessa equação, pode-se afirmar que a² + b² vale:
a) 13/36.
b) 1/6.
c) 1.
d) -1.
Questão 5- (aeronautica)
Seja a equação polinomial x³ + bx² + cx + 18 = 0. Se –2 e 3 são suas raízes, sendo que a raiz 3 tem multiplicidade 2, o valor de “b” é
a) 8.
b) 6.
c) -3.
d) -4.
- Muito bem! Você chegou à metade dos exercícios de equação do 3° grau. Continue fazendo o restante.
Questão 6- (EEM–SP – adaptada)
Dada a equação x³ – 9x² + 26x + a = 0, determine o valor do coeficiente a para que as raízes dessa equação sejam números naturais sucessivos.
a) 12.
b) 20.
c) -13.
d) -24.
Questão 7- (AOCP)
A equação polinomial x3 – 147x + 686 = 0 tem por raízes os números m e n, sendo m raiz dupla e n = – 2 m. Nessas condições, o valor de (m + n) é
a) 7.
b) -7.
c) -7 ou 7.
d) 7 – i.
e) -7 + i.
Questão 8- (ITA – adaptada)
Os números “a”, “b” e “c” são raízes da equação x³ – 2x² + 3x – 4 = 0. Nessas condições, calcule o valor de ( 1/a + 1/b + 1/c).
a) 4/3.
b) -4.
c) 4.
d) 3.
e) 3/4.
- Ufa! Agora só faltam mais duas questões de equação cúbica!
Questão 9
Calcule o valor de k na equação (k + 5) * x² – 10x + 3 = 0 de modo que o produto das raízes seja igual a 3/8.
Questão 10
Determine o valor de k na equação x² – kx + 36 = 0, de modo que uma das raízes seja o quádruplo da outra.
- Parabéns, você fez todos os exercícios de equação cúbica. Confira agora o Gabarito:
Gabarito das questões de polinômios do terceiro grau
Exercício resolvido da questão 1 –
Alternativa correta: b) 1.
Exercício resolvido da questão 2 –
Alternativa correta: c) -56.
Exercício resolvido da questão 3 –
Alternativa correta: d) x3 – 3×2 – 4x + 12 = 0.
Exercício resolvido da questão 4 –
Alternativa correta: a) 13/36.
Exercício resolvido da questão 5 –
Alternativa correta: d) -4.
Exercício resolvido da questão 6 –
Alternativa correta: d) -24.
Exercício resolvido da questão 7 –
Alternativa correta: b) -7.
Exercício resolvido da questão 8 –
Alternativa correta: e) 3/4.
Exercício resolvido da questão 9 –
Resposta correta: k = 3.
Exercício resolvido da questão 10 –
Resposta correta: k = 15 ou -15.
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