Matemática

O que são Funções Matemáticas? Matéria completa!

Tudo sobre as Funções Matemáticas!Tudo sobre as Funções Matemáticas!

As funções matemáticas são regras que relacionam dois valores dependentes (x e y). Isso significa que para cada valor colocado em x, será gerado um valor em y. Os possíveis números em x e y são agrupados em conjuntos, respectivamente chamados de domínio e contradomínio. Existem algumas propriedades e certos gráficos para cada tipo de função!

Neste artigo sobre Funções Matemáticas, você encontrará:

  1. O que são funções: definição, exemplos e para quê serve
  2. Elementos da Função: Domínio, Contradomínio e Imagem
  3. Quais são os tipos de função: Bijetora, Sobrejetora, Injetora, Afim, Exponencial, Crescente, Decrescente, 1° Grau, 2° Grau, etc.
  4. Como calcular e resolver uma função
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O que são Funções Matemáticas

As funções matemáticas são expressões numéricas e algébricas (números e letras) que possuem dois lados separados pelo sinal de igual (=) e obedecem uma regra, a lei de formação.

De um lado temos o “f(x)” que representa o valor final da função. Esse valor também pode ser representado por “y”. Do outro lado, temos a regra matemática, ou seja, um conjunto de números que rodeiam o valor “x”

Todos os valores que desconhecemos são chamados de incógnitas e são representados por letras.

Quando usamos a expressão “em função de” gera uma ideia de relação entre as coisas. Portanto, ser uma função significa ter dependência, ou seja, o valor da função “f(x)” ou “y” se modifica à medida que modificamos o valor de “x”

Por isso, devemos resolver as funções pensando nos pares ordenados (x , y) que se adequam àquela regra. A regra define a “cara” de cada função: como será o seu gráfico e qual a proporção que há entre x e y (se um será o dobro do outro, ou o triplo, ou outra razão).

Exemplo:

exemplos-de-funções-matemáticasexemplos-de-funções-matemáticas

Para quê servem as Funções Matemáticas

As Funções servem para nos auxiliar a resolver problemas em que há muitas possibilidades. Elas nos apontam quais são os limites aceitáveis dentre as opções e  também servem para formar previsões e estimar o resultado de um fenômeno.

  • Portanto, o objetivo de se resolver uma função é descobrir os valores de interesse, de acordo com cada contexto dado.

Exemplo de 2 situações que se resolve com funções:

  1. Um biólogo observou que há uma população inicial de x bactérias hoje, e deseja saber qual será a quantidade daqui a 10 anos se elas continuarem se reproduzindo num determinado ritmo.
  1. Um padeiro produz uma quantidade de pães e quer dar descontos a cada grande quantidade vendida. Ele precisa calcular até que ponto esse desconto é vantajoso, pois pode não ser bom para o cliente ou levá-lo a ter prejuízo.

Elementos da função: Domínio, Contradomínio e Imagem

Para entender melhor, precisamos conhecer os componentes das funções. Veja:

  • Os valores que podemos colocar em “x” são agrupados em um conjunto chamado Domínio (D)
  • Todos os valores possíveis de serem gerados a partir disso são chamados de Contradomínio (CD).
  • Mas, aqueles do CD que satisfazem a função (o y de cada x) pertencem ao conjunto chamado Imagem (I).

Observe o desenho abaixo para entender melhor:

elementos-da-função-dominio-contradominio-e-imagem

Existem duas condições para a relação entre conjuntos ser considerada função:

  • O domínio deve ser exatamente igual ao conjunto de partida, ou seja, todo elemento de (D) é ponto de partida “das flechas”, os possíveis valores de “x”. Se houver um elemento de D que não “parta uma flecha”, não é uma função!
  • Cada elemento de D só pode ter uma correspondência no conjunto CD. De forma figurada, só pode “partir 1 flecha” de cada elemento do Domínio. Se um valor em D tiver “duas flechas” saindo de si mesmo, não é uma função!

Quais são as Funções Matemáticas

As funções podem ser classificadas de diversas formas:

  • Quanto aos conjuntos (Injetora, Sobrejetora e Bijetora)
  • Quanto ao desenho do gráfico (Crescente, Decrescente, Constante, Afim)
  • Quanto à lei que a descreve (1° grau, 2° grau, Exponencial, Logarítmica, etc.)

Algumas funções podem ser de dois tipos ao mesmo tempo, ou seja, se completam como nome e sobrenome. Também existem outras que nunca podem ser 2 ao mesmo tempo

Exemplo: 

Funções de Primeiro Grau podem ser decrescentes e outras que são crescentes. Mas nunca existirá uma função exponencial que seja constante, pois uma lei de formação anula a outra.

Complexo não é? Por isso, vamos estudar cada tipo e suas características:

Função Injetora, Sobrejetora e Bijetora

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  • Função Injetora

Cada elemento do Domínio possui um único elemento na Imagem e vice-versa. Porém, podem existir elementos do Contradomínio que não são Imagem, eles sobram no conjunto. Portanto, a Imagem é diferente do Contradomínio.

  • Função Sobrejetora 

Nesta função, cada elemento do Domínio possui um elemento na Imagem, mas pode acontecer de dois elementos do Domínio possuírem uma mesma imagem. O que não pode é um elemento do D possuir 2 imagens. Dessa forma, Imagem e o Contradomínio são iguais, não há sobra.

  • Função Bijetora

Cada elemento do Domínio possui um único elemento na Imagem e vice-versa, só que não há elementos que sobram. Por isso, ela pega um aspecto da Injetora (um elemento da  Imagem só pertence a um elemento do Domínio) e outro aspecto da Sobrejetora (não sobram elementos, imagem é igual ao contradomínio).

Função Constante

Exemplo-de-funçao-constanteExemplo-de-funçao-constante

Na função Constante, qualquer número que colocar em x sempre resultará no mesmo valor de Y. Por esse motivo, o gráfico (resultados possíveis de cada par ordenado) é uma linha horizontal e reta.

Função de Primeiro Grau

Exemplo-de-funçao-do-primeiro-grau

Uma função do primeiro grau é aquela em que a lei de formação pode ser escrita na seguinte maneira:

f(x) = ax + b

Além disso, o expoente que há na incógnita vale no máximo 1. Por isso é chamada de primeiro grau! Como consequência disso, seu gráfico é sempre uma reta.

As funções de primeiro grau podem ser chamadas de Afim e apresentam alguns tipos: Identidade ou Linear. 

Função de Segundo Grau – Quadrática

Exemplo-de-funçao-do-segundo-grau

Uma função do primeiro grau é aquela em que a lei de formação pode ser escrita na seguinte maneira:

f(x) = ax² + bx + c

Além disso, deve haver ao menos um expoente máximo valendo 2, na incógnita . Por isso é chamada de segundo grau! Como consequência disso, seu gráfico é sempre uma parábola.

Observe que o gráfico é composto por um segmento com duas características: uma crescente e outra decrescente. Observe também que ela pode ou não ser simétrica. Se for, pode ser do tipo par ou ímpar!

Função Exponencial

Exemplo-de-função-exponencial

Uma Função Exponencial é caracterizada pela presença da variável (x) no expoente de uma base numérica, em que a lei de formação pode ser escrita na seguinte maneira:

f(x) = aˣ

Por esse motivo, o seu gráfico é como um braço de hipérbole.

Função Logarítmica

exemplo-de-função-logaritmica

É toda função que possuir um logaritmo na sua lei de formação, seguindo as condições de existência:

f(x) = loga x

O Log é tido como operação inversa da exponenciação, da mesma forma, os gráficos também são inversos.

Função Par

exemplo-de-funçõa-par

A função par é toda aquela que for simétrica em relação ao eixo vertical (y) do plano cartesiano. Ao analisar a linha que se forma interligando os possíveis resultados, vemos que elas são como um reflexo de um espelho.

Função Ímpar

exemplo-de-funçõa-ímpar

A função ímpar é toda aquela que for simétrica em relação ao eixo horizontal (x) do plano cartesiano. Imagine que é uma folha de papel e você dobra bem no lugar do eixo indicado. Observe que as figuras de cada face se encontrarão!

Função Crescente e Decrescente

Exemplo-de-função-crescente-e-decrescente
  • Crescente: Função que ao aumentar o valor de x, gera um valor maior de y.
  • Decrescente: Função que ao aumentar o valor de x, reduz o valor de y.

As funções de 1° grau, exponenciais e logarítmicas podem ser de um tipo ou de outro. Já as funções de 2° grau e trigonométricas, apresentam um gráfico que contém segmentos dos dois tipos ao mesmo tempo!

Função Trigonométrica

exemplo-de-funções-trigonométricas

São funções angulares utilizadas no estudo dos triângulos ou fenômenos periódicos. Sua lei de formação sempre terá algum fator trigonométrico:

f(x) = sen x

f(x) = cos x

f(x) = tg x

Seu gráfico depende de qual dos 3 fenômenos se associa!

Como calcular uma função – Resolvendo as funções matemáticas!

Para resolver qualquer função, basta saber a sua lei de formação, substituir os valores dados e encontrar os que faltam. Depois, resolvemos as funções como se fossem equações.

O passo a passo básico de toda resolução é:

  • 1.Substituir valores dados 

Saiba identificar o que cada incógnita representa na conta, leia o enunciado e substitui na lei de formação. Agora, você só terá que pôr a mão na massa e resolver as contas, seguindo as dicas:

  • 2.Eliminar os parênteses fazendo as operações prioritárias

Algumas expressões podem estar escritas dentro de símbolos, como os parênteses ( ) , os colchetes [ ] e as chaves { }. Eles indicam a ordem: 1° resolvemos o que está dentro dos parênteses, 2° o que está dentro dos colchetes e 3° o que está dentro das chaves. 

Se for impossível continuar resolvendo o que está em 1° lugar de prioridade, pulamos para o próximo passo. Apenas depois disso podemos resolver o que está fora.

Uma vez que identificamos as prioridades, podemos efetuar as operações. Elas também têm uma ordem: 1º potenciação e radiciação; 2º multiplicação e divisão e 3º soma e subtração.

Se existir mais de uma operação com a mesma prioridade, elas serão resolvidas da esquerda para direita.

  • 3. Efetuar a transposição de termos

Após isso, para podermos trocar os termos e organizá-los em cada membro, devemos mudar o sinal que ele carregava para o seu oposto:

Aquilo que está negativo passa como positivo e vice-versa

O que está multiplicando passa dividindo e vice-versa

Se havia raiz quadrada, passa como potência de expoente ½ e vice-versa

Ao passar as incógnitas de lado, devemos mantê-las juntas aos seus coeficientes e à base em que está. 

  • 4. Reduzir os termos semelhantes

Depois disso, efetuamos as operações entre os termos semelhantes (número com número, letra com letra). 

  • 5. Isolar a incógnita e encontrar seu valor numérico

Quando não há mais nada a ser feito, aí isolamos a incógnita de um lado e aplicamos as propriedades ou operações para descobrir seu valor.

ATENÇÃO!!!

O que vai diferenciar na resolução de uma função para outra será as condições de existência de cada uma e quais os recursos matemáticos que utilizaremos para prosseguir com as contas.

Exemplo: 

Quando nos depararmos com uma função exponencial, chegará um momento em que precisaremos do conhecimento da potenciação. Já nas funções logarítmicas, precisaremos das propriedades do logaritmo.

  • Agora cabe a você estudar cada link que colocamos para se aprofundar nas propriedades de cada função.

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