A humanidade sempre foi maravilhada com as Pirâmides do Egito. Inclusive, esse sólido é um dos poliedros mais versáteis da geometria, pois sua base pode ter vários formatos. Isso também influencia no cálculo da área, do volume, etc. Aprenda tudo sobre Pirâmides no nosso artigo e desvende seus mistérios!
Neste resumo sobre Pirâmides, você encontrará os tópicos abaixo. Se quiser, clique em um deles para ir diretamente ao conteúdo:
- Introdução: O que é a Geometria Espacial?
- Definição: o que é uma Pirâmide?
- Quais são os elementos da Pirâmide?
- Quais são os tipos de Pirâmide?
- Origem da Pirâmide: Planificação.
- Como são as Seções Transversais e Meridionais?
- O que é o Tronco de Pirâmide?
- Fórmulas da Pirâmide e de seu tronco: áreas e volumes.
Depois você pode testar o que aprendeu. É só fazer o nosso Simulado ENEM gratuito! Ele pode ser personalizado com as matérias que você quiser.
Introdução: o que é a Geometria Espacial?
A Geometria Espacial é a área da matemática que estuda os sólidos geométricos. Estamos falando daquelas formas que construímos com 3 dimensões (3D): altura, largura e profundidade.
Quando pegamos um sólido (que é tridimensional), é preciso girar em várias posições para tatear toda a sua superfície. Quando pegamos uma figura plana, existe uma só superfície.
Os sólidos podem ser classificados em poliedros (faces, arestas e vértices, tudo retinho) ou corpos redondos (possuem alguma superfície curva).
Hoje nós vamos falar da Pirâmide, que é um poliedro. Isso significa que ele pertence ao grupo dos que não “rolam”.
Antes de continuar, vale a pena lembrar da Geometria Plana, a parte que estuda as figuras 2D (largura e altura). É nela que estudamos os conceitos básicos (reta, linha, ponto, plano, altura, etc.) que também usaremos adiante.
Definição da geometria: o que é uma Pirâmide?
Uma pirâmide é um sólido geométrico do tipo poliedro, ou seja, não possui superfície curva. Elas sempre tem uma ponta em cima, de onde partem segmentos de reta até a base onde está apoiada. Sua base pode ter diferentes formatos!
Na verdade, quase todo mundo já viu e ficou fascinado com as pirâmides do Egito, que representam fielmente este sólido!
Agora que já entendemos a definição simples, vamos entender uma mais formal e matemática:
“Seja um plano α, um ponto V, de forma que V ∉ α, uma área poligonal S no plano α, chamamos de pirâmide a união dos segmentos de retas VP onde P ∈ S.”
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Quais são os principais elementos da Pirâmide?
Entender as definições são tarefas trabalhosas, mas conhecer os componentes da Pirâmide vai te ajudar a entendê-la. São eles:
- Faces: são os “lados” ou “paredes” do sólido. Ela é uma superfície reta, ou seja, quando passamos a mão sentimos que está “liso”. Na matemática, são os diferentes planos que compõem a figura.
- Arestas: são os segmentos de reta que unem as faces. Podem ser classificadas em arestas da base (os lados do polígono da base) e arestas laterais (segmentos que unem o vértice superior da pirâmide até sua base).
- Vértice: são as “quinas” ou “pontas” da figura, o encontro entre duas arestas. É interessante notar que a pirâmide tem um vértice único na parte superior, chamado especificamente de ápex.
- Base: é o plano (ou face) em que o sólido está apoiado. No caso das pirâmides, há apenas 1 base e elas podem ter diversos formatos (triângulo, quadrado, etc.).
- Altura (h): é, literalmente, quanto mede a altura do sólido. Na geometria, definimos como um segmento de reta que liga o ápex até superfície da base, fazendo um ângulo de 90°.
- Eixo: é o segmento de reta que liga o vértice ao centro da base. Na maioria das pirâmides, ele coincide com a altura. Adiante, veremos um exemplo de quando isso não acontece.
- Apótema da pirâmide: é o segmento que liga o ápex até a base, passando pela face lateral. Ou seja, corresponde à altura de cada face lateral.
- Apótema da base: é o segmento que une o centro da base até uma de suas extremidades. Se a base fosse circular, diríamos ser o raio. Mas não é, portanto, cada polígono da base terá a sua própria apótema.
Quais são os tipos de Pirâmides e seus nomes?
Como já demos o spoiler antes, você já imagina que há diferentes formatos de pirâmides. Eles dependem da inclinação de seu eixo, da relação entre suas medidas e do formato da base.
Conforme a inclinação
- Pirâmide Reta: quando o eixo e a altura são perpendiculares à base (formam um ângulo de 90º) e todas as apótemas são congruentes (têm o mesmo valor).
- Pirâmide Oblíqua: quando o eixo não é perpendicular à base da figura. Assim, algumas apótemas são maiores que as outras.
Conforme a base
- Pirâmide Triangular: sua base é um triângulo. Então, este sólido terá quatro faces: três faces laterais triangulares e a face da base, também triangular.
- Pirâmide Quadrangular: sua base é um quadrado ou retângulo. Então, terá cinco faces: quatro laterais triangulares e a face da base quadrangular.
- Pirâmide Pentagonal: sua base é um pentágono. Então, terá seis faces: cinco faces laterais triangulares e a face da base pentagonal.
- Pirâmide Hexagonal: sua base é um hexágono. Então, será composta por sete faces: seis faces laterais triangulares e face da base hexagonal.
Observe que o número de lados do polígono da base corresponde ao número de faces laterais da pirâmide. Então, as faces totais sempre serão o número de lados da base + 1.
Inclusive, as bases mudam de formado, mas as faces laterais sempre serão triangulares.
Conforme a relação entre suas medidas
Por fim, há as Pirâmides Regulares, caracterizadas por:
- A base é um polígono regular;
- A projeção ortogonal do vértice é o centro desse polígono.
- Todas as arestas laterais possuem a mesma medida;
- Todas as apótemas possuem a mesma medida;
- Todas as faces laterais são congruentes.
As irregulares não obedecem a todos esses padrões ao mesmo tempo.
Como criamos uma Pirâmide? Planificação!
Na infância, é comum as escolas pedirem que os alunos façam sólidos geométricos. Você já fez isso, não fez?
O que os professores nos pedem é, justamente, montar o sólido a partir de sua planificação. Assim, a planificação é a tentativa de representar todas as partes dos sólidos em duas dimensões.
Para conseguir, é preciso ter boa visão espacial. Isso significa olhar para o conjunto de figuras planas e imaginar que você tirou do papel, cortou, dobrou, colou e conseguiu formar um sólido.
No caso da pirâmide, as planificações são formadas sempre por um polígono e vários triângulos, conforme o número de lados desse polígono. O polígono será a base, enquanto os triângulos formarão a superfície lateral.
Como são as Seções na Pirâmide?
Existe uma prática comum na geometria espacial que é a de fazer seções (cortes) nos sólidos. É como se passássemos uma lâmina em diferentes ângulos para ver qual figura se forma na superfície do corte.
Existem vários possíveis cortes que podemos fazer. Veja:
- Secção Meridional: é a intersecção entre o sólido e um plano vertical (contém o eixo). A figura formada em uma pirâmide sempre será um triângulo.
- Secção Transversal: é a intersecção entre o sólido e um plano horizontal (paralelo às bases). A figura formada em uma pirâmide sempre será um polígono de mesmo formato que a base, só que em dimensões menores.
O que é o Tronco de Pirâmide?
Quando fazemos a seção transversal na pirâmide, a figura formada na superfície do corte é semelhante à da base. Porém, se retirarmos a “tampa” da pirâmide, ou seja, a parte acima do corte e que contêm o ápex, nos restará o tronco de pirâmide.
Assim, passa a ter duas bases: uma com o polígono menor em cima e outra com o polígono maior embaixo. Não confunda com os prismas, pois eles mantêm a apótema da base constante ao longo do sólido. O tronco de pirâmide não.Ele vai “afunilando”.
A fórmula de seu volume é diferente, mostraremos no último tópico desse texto!
Como calcular área e volume da Pirâmide?
Ao lidar com sólidos geométricos, podemos calcular:
- Área da base: valor do preenchimento da superfície das bases.
- Área lateral: valor do preenchimento da superfície que “rola”.
- Área total: soma das duas anteriores.
- Volume: o preenchimento interno do sólido, como o quanto de água que cabe dentro.
Vamos conhecer as fórmulas para calcular as áreas e o volume da Pirâmide:
Fórmula das áreas da Pirâmide
- Área da base: depende do polígono que a formar.
Atri = (b.h) / 2
Aquad = b.h
Apent = P.a ou 5.l.a
Ahex = (P.a) / 2 ou 6 (l.√3) / 2
Em que:
Atri = Área do triângulo.
Aquad = Área de quadriláteros.
Apent = Área do pentágono.
Ahex = Área do hexágono.
b = base do triângulo.
h = altura do triângulo.
P = perímetro da base.
a = apótema da base.
l = lado da base.
- Área Lateral: sempre serão triângulos, tantos quanto o número de lados da base.
Al = n(b.h) / 2
Em que:
Al: área lateral.
n: número de lados da base ou número de faces laterais.
b: base do triângulo.
h: altura do triângulo.
- Área Total: é a soma da área da base e da área lateral.
At = Ab + Al
Em que:
At: área total.
Ab: área da base.
Al: área lateral.
Fórmula do Volume da Pirâmide
O volume de qualquer sólido com uma base e uma ponta em cima, seja poligonal ou corpo redondo, é dado por ⅓ do produto da área da base pela altura.
- Volume da Pirâmide:
Vpir = 1/3 (Ab.h)
Onde:
Vpir = volume.
Ab = área da base.
h = altura.
- Volume do Tronco de Pirâmide
Vtronco = V1 – V2
Em que:
Vtronco = volume do tronco da pirâmide.
V1 = volume da pirâmide original.
V2 = volume da mini pirâmide formada acima do tronco.
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