Matemática

Exercícios de Trigonometria

Exercícios de TrigonometriaExercícios de Trigonometria

Em trigonometria estuda-se quais são as relações existentes entre os ângulos e os lados dos triângulos. Esses triângulos precisam ser retângulos, ou seja, possuir um ângulo de 90° definindo a hipotenusa e os catetos. Comumente na trigonometria aparecem três ângulos notáveis: 30º, 45º e 60º. Veja o nosso resumo e pratique com os exercícios de trigonometria.

A matéria de Trigonometria é cobrada na prova de Matemática e suas Tecnologias no ENEM. Por isso, fazer os exercícios sobre trigonometria e revisar a matéria vai te preparar ainda mais para os principais vestibulares.

Trigonometria

Trigonometria é uma área de estudo da matemática que trata das relações entre os três lados de um triângulo retângulo – aquele que possui um ângulo de 90° como um de seus três ângulos.

As razões seno, cosseno e tangente são encontradas por meio dos lados do triângulo.

Normalmente são encontrados no triângulo retângulo alguns dos três ângulos considerados notáveis por seus valores constantes. São eles: 30º, 45º e 60º, sendo representados pelas relações trigonométricas seno, cosseno e tangente.

Funções Trigonométricas

As funções trigonométricas seno, cosseno e tangente podem sem encontradas por meio dos catetos oposto e adjacente, pela hipotenusa.

Veja o triângulo retângulo e a representação dos catetos:

Exercícios de Trigonometria

Cateto Oposto: É aquele que fica ao lado oposto do ângulo de referência (Ele não toca o ângulo que você está analisando, mas toca o ângulo de 90º).

Cateto Adjacente: É aquele que fica ao lado adjacente do ângulo de referência (Ele toca o ângulo que você está analisando e também toca o ângulo de 90º).

Hipotenusa: É o lado mais longo do triângulo e é oposto ao ângulo reto (Lado que não toca o ângulo de 90º. É o maior lado do triângulo).

O seno pode ser encontrado pela razão (divisão) do cateto oposto sobre a hipotenusa. Veja a fórmula abaixo:

Exercícios de Trigonometria seno

O cosseno pode ser encontrado pela razão (divisão) entre o cateto adjacente sobre a hipotenusa.Veja a fórmula abaixo:

cosseno  Exercícios de Trigonometria

O tangente pode ser encontrado pela razão (divisão) entre o cateto oposto sobre cateto adjacente.Veja a fórmula abaixo:

tangente Exercícios de Trigonometria

Círculo Trigonométrico

O círculo trigonométrico, também conhecido como círculo unitário, é utilizado no estudo das funções trigonométricas. Veja a imagem abaixo:

circulo trigonometrico

Teoria Euclidiana

Saber as teorias euclidianas é importante para realizar os exercícios sobre trigonometria. Baixe também o melhor plano de estudos gratuito que você encontrará na internet.

Lei dos Senos

Essa lei demonstra que um determinado triângulo, terá um valor constante, com a divisão entre o valor de um lado e o seno de seu ângulo posto.

Exemplo:

lei seno

Encontre o valor de x no triângulo abaixo:

sen120º = sen(180º – 120º) = sen60º = √3 ou 0,865

                                         2

sen45º = √2 ou 0,705

2

x    = 100    

sen60°      sen45°

  x =  100

0,866  0,707

0,707x = 86,6

x = 122,5

Lei dos Cossenos

Essa lei demonstra que, o quadrado de um dos lados do triângulo, equivale à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos o dobro do produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo entre eles.

Exemplo:

lei dos cossenos

Usando a lei dos cossenos, encontre o valor do segmento x no triângulo abaixo:

72 = x2 + 32 – 2·3·x·cos60

49 = x2 + 9 – 6·x·0,5

49 = x2 + 9 – 3·x

x2 – 3x – 40 = 0

Lei das Tangentes

Essa lei apresenta a relação entre as tangentes de dois ângulos de um triângulo e os comprimentos dos lados opostos da tangente.

Exemplo:

O triângulo ABC a seguir, inscrito na circunferência, com lados a, b e c:

tangente

A lei das tangentes é representada pela fórmula a seguir:

tangente

Temos um artigo completo sobre Trigonometria, que é importante para responder os exercícios.

Agora que já revisou a matéria, faça os exercícios sobre trigonometria para testar os seus conhecimentos.

Exercícios de Trigonometria

1 – Epcar / 2016As cidades A, B e C situam-se às margens de um rio e são abastecidas por uma bomba situada em P, conforme figura abaixo.

Exercícios de Trigonometria

Sabe-se que o triângulo ABC é retângulo em B e a bissetriz do ângulo reto corta AC no ponto P. Se BC = 6√3 km, então CP é, em km, igual a

a) 6 +√3

b) 6(3 − √3 )

c) 9 √3 − √2

d) 9(√ 2 − 1)

2 – Enem – 2011Para determinar a distância de um barco até a praia, um navegante utilizou o seguinte procedimento: a partir de um ponto A, mediu o ângulo visual α fazendo mira em um ponto fixo P da praia. Mantendo o barco no mesmo sentido, ele seguiu até um ponto B de modo que fosse possível ver o mesmo ponto P da praia, no entanto sob um ângulo visual 2α. A figura ilustra essa situação:

Exercícios de Trigonometria

Suponha que o navegante tenha medido o ângulo α= 30º e, ao chegar ao ponto B, verificou que o barco havia percorrido a distância AB = 2 000 m. Com base nesses dados e mantendo a mesma trajetória, a menor distância do barco até o ponto fixo P será

a) 1000 m

b) 1000 √3 m

c) 2000 √3/3 m

d) 2000 m

e) 2000 √3 m

3 – (UNICAMP – 2013)Ao decolar, um avião deixa o solo com um ângulo constante de 15º. A 3,8 km da cabeceira da pista existe um morro íngreme. A figura abaixo ilustra a decolagem, fora de escala. Podemos concluir que o avião ultrapassa o morro a uma altura, a partir da sua base, de

precipitação-pluviométrica Exercícios de Trigonometria

a) 3,8 tan (15°) km.

b) 3,8 sen (15°) km.

c) 3,8 cos (15°) km.

d) 3,8 sec (15°) km.

4 – (Cesgranrio)Uma escada de 2m de comprimento está apoiada no chão e em uma parede vertical. Se a escada faz 30° com a horizontal, a distância do topo da escada ao chão é de:

a) 0,5 m

b) 1 m

c) 1,5 m

d) 1,7 m

e) 2 m

5 – (Ufjf) A uma tela de computador está associado um sistema de coordenadas cartesianas, com origem no canto inferior esquerdo. Um certo programa gráfico pode ser usado para desenhar na tela somente retas de inclinações iguais a 0°, 30°, 45°, 60° e 90° em relação ao eixo horizontal. Então, considerando-se os pontos a seguir, o único que NÃO pode estar sobre uma reta, A PARTIR DA ORIGEM, desenhada por este programa é:

a) (0, 10Ë3).

b) (10Ë3, 0).

c) (10Ë3, 10Ë3).

d) (10Ë3, 5Ë3).

e) (10Ë3, 10).

6 – (Ufes) Duas circunferências são tangentes entre si e aos lados de um ângulo. Se R é o raio da maior, r é o raio da menor e o ângulo mede 60°, então

a) R = (3Ë3)r/2

b) R = 2Ë3r

c) R = 3Ë3r

d) R = 2r

e) R = 3r

7 – (Ufsm)Um estudante de Engenharia vê um prédio do Campus da UFSM construído em um terreno plano, sob um ângulo de 30°. Aproximando-se do prédio mais 40m, passa a vê-lo sob um ângulo de 60°. Considerando que a base do prédio está no mesmo nível do olho do estudante, então a altura h do prédio é igual a

a) 30Ë3 m

b) 20Ë3 m

c) 30 m

d) 10Ë3 m

e) 28 m

8 – (Ita) Um dispositivo colocado no solo a uma distância d de uma torre dispara dois projéteis em trajetórias retilíneas. O primeiro, lançado sob um ângulo šÆ(0,™/4), atinge a torre a uma altura h. Se o segundo, disparado sob um ângulo 2š, atinge-a a uma altura H, a relação entre as duas alturas será:

a) H = 2hd£/(d£-h£)

b) H = 2hd£/(d£+h)

c) H = 2hd£/(d£-h)

d) H = 2hd£/(d£+h£)

e) H = hd£/(d£+h)

9 – (Fuvest)O valor de (tg 10°+cotg 10°)sen 20° é:

a) 1/2

b) 1

c) 2

d) 5/2

e) 4

10 – (Fuvest)Dentre os números a seguir, o mais próximo de sen50° é:

a) 0,2.

b) 0,4.

c) 0,6.

d) 0,8.

e) 1,0.

11 – (Fuvest) O menor valor de 1/ (3-cos x), com x real, é:

a) 1/6.

b) 1/4.

c) 1/2.

d) 1.

e) 3.

12 – (Unesp)Uma máquina produz diariamente x dezenas de certo tipo de peças. Sabe-se que o custo de produção C(x) e o valor de venda V(x) são dados, aproximadamente, em milhares de reais, respectivamente, pelas funções C(x)=2-cos(x™/6) e V(x)=3(Ë2) sen (x™/12), 0´x´6. O lucro, em reais, obtido na produção de 3 dezenas de peças é

a) 500.

b) 750.

c) 1 000.

d) 2 000.

e) 3 000.

13 – (Puccamp) Sobre a função f, de IR em IR, definida por f(x)=cos 3x, é correto afirmar que

a) seu conjunto imagem é [-3; 3].

b) seu domínio é [0; 2™].

c) é crescente para x Æ [0; ™/2].

d) sua menor raiz positiva é ™/3.

e) seu período é 2™/3.

14 – (Unirio) Seja f: R ë R, onde R denota o conjunto dos números reais, uma função definida por f(x)=[3/(4+cosx)]+1. O menor e o maior valor de f(x), respectivamente, são:

a) 1, 6 e 2

b) 1, 4 e 3

c) 1, 6 e 3

d) 1, 4 e 1,6

e) 2 e 3

Confira as respostas dos exercícios sobre trigonometria. com o nosso gabarito abaixo.

Respostas dos Exercícios de Trigonometria

Exercício resolvido da questão 1

b) 6(3 − √3 )

Exercício resolvido da questão 2

b) 1000 √3 m

Exercício resolvido da questão 3

a) 3,8 tan (15°) km.

Exercício resolvido da questão 4

b) 1 m

Exercício resolvido da questão 5

d) (10Ë3, 5Ë3).

Exercício resolvido da questão 6

e) R = 3r

Exercício resolvido da questão 7

b) 20Ë3 m

Exercício resolvido da questão 8

a) H = 2hd£/(d£-h£)

Exercício resolvido da questão 9

c) 2

Exercício resolvido da questão 10

d) 0,8.

Exercício resolvido da questão 11

b) 1/4.

Exercício resolvido da questão 12

c) 1 000.

Exercício resolvido da questão 13

e) seu período é 2™/3.

Exercício resolvido da questão 14

a) 1, 6 e 2

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