Resumo de equações redutíveis ao 2° grau com exemplo!

As equações biquadradas do tipo ax⁴+ bx² + c = 0 assustam muita gente, porque são de 4° grau. Mas o próprio nome já nos dá uma dica de como lidar com elas… Neste resumo de equações redutíveis ao 2° grau, você aprenderá como transformá-las em quadradas com apenas 3 passos. Leia e veja os exemplos!

Neste resumo de equações redutíveis ao 2° grau, você encontrará os tópicos abaixo. Se quiser, clique em um deles para ir diretamente ao conteúdo:

1. O que é uma equação?
2. Como são as equações do segundo grau?
3. Afinal, o que é uma equação biquadrada?
4. Como reduzir uma equação do segundo grau? Exemplo!
5. Como resolver equações biquadradas em 3 passos? Exemplo!

Depois você pode testar o que aprendeu, é fazer o nosso Simulado Enem gratuito! Ele pode ser personalizado com as matérias que você quiser.

O que é uma equação?

As equações costumam ser polinômios, ou seja, uma expressão matemática formada por letras e números. Além disso, há um sinal central de “igual” (=), que separa os lados da equação em 1°membro (coisas que vêm antes do sinal) e 2°membro (vêm depois do sinal).

A palavra “equação” está relacionada à palavra “igualdade”, portanto, falar em equação é querer tornar as coisas iguais. Neste caso, significa tornar um lado igual ao outro, pois aí poderemos comparar os valores e ver se ela foi escrita de forma correta.

Nesta igualdade há números conhecidos e outros desconhecidos. O valor que não sabemos é chamado de incógnita e ele pode ser representado por qualquer letra. O mais comum é utilizarmos “x”,”y”ou “z”.

Cada tipo de equação possui um conjunto de operações que a representa. Essa  é sua identidade. Os diferentes tipos só interferem no modo como devemos resolvê-las, mas o objetivo é sempre o mesmo: encontrar quanto vale a incógnita.

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Como são as equações do segundo grau?

O formato básico de qualquer equação do segundo grau é:

ax² + bx + c = 0

Nela, o x é a nossa incógnita. Para que seja uma equação de 2°grau, o x deve estar sempre elevado ao expoente 2, ou seja, é “x ao quadrado”. Por isso, ela também pode ser chamada de equação quadrática.

O “a” é chamado de coeficiente primário, o “b” é o coeficiente secundário e o “c” é o termo independente. Você ainda pode encontrá-los como quadrático (a), linear (b) e o constante (c). 

Eles definem algumas características como inclinação, crescimento e posição.

Para continuarmos nosso assunto, só precisamos relembrar até aqui. Mas você pode ler o nosso artigo completo sobre as equações de 2° grau!

Afinal, o que é uma equação biquadrada?

As equações biquadradas são aquelas que seguem ao formato básico:

ax⁴+ bx² + c = 0

A nossa condição de existência é que o “a” seja diferente de 0. Isso porque se ele for zero, o termo terá valor nulo e deixará de existir. E ele está multiplicando o x⁴, então também desapareceria e retornaríamos a uma equação de segundo grau…

Agora você deve estar se perguntando, porque então não chamá-la de equação de 4° grau?

Você pode sim dar esse nome, mas falar “biquadrada” nos dá uma dica do que podemos fazer com ela! Entenda:

Como reduzir uma equação ao 2° grau?

Pense um pouco: elevar a 4 é o mesmo que elevar a 2 duas vezes seguidas. Por esse motivo, ela recebe o nome de biquadrada (quadrada duas vezes)! 

Tendo isso como base, reduzir uma equação ao segundo grau é utilizar as propriedades da potenciação para chegar ao expoente 2.

Não conseguiu visualizar? Vamos ao exemplo para facilitar.

Exemplo

Observe a equação:

2x⁴+ 8x² + 16 = 0

Se elevar a 4 é o mesmo que elevar a 2 duas vezes, podemos reescrevê-la assim:

2(x²)²+ 8x² + 16 = 0

Observe que a equação biquadrada acima possui a incógnita x, ao lado do coeficiente “a”, elevada a 4. Essa mesma incógnita também está elevada a 2, só que ao lado do coeficiente “b”.

Já que queremos reduzir a equação e facilitar as coisas, podemos chamar todos os valores “x²” de “y”. Substituindo x² por y, já que os consideramos iguais, teremos uma nova equação equivalente:

2y²+ 8y + 16 = 0

Agora transformamos nossa equação biquadrada em uma equação de 2° grau, algo que já conhecemos e sabemos lidar!

Lembre-se: você pode usar as letras que quiser para fazer a substituição.

Como resolver equações biquadradas?

Como qualquer equação que precisa ser resolvida, o caminho para a resolução é encontrar as suas raízes. Ou seja, descobrir os valores possíveis para a incógnita, de forma que seja verdadeira e respeite a lei da equação.

Durante a vida escolar, nós não aprendemos fórmulas e teoremas para resolver equações de 4°grau, mas podemos transformá-la em uma de 2° e resolver normalmente!

Sendo assim, só precisamos de 3 passos:

• 1° passo: reduzir a equação biquadrada ao segundo grau (como ensinamos no tópico acima);
• 2° passo: aplicar a fórmula de bháskara;
• 3°Passo: retomar a igualdade e substituir as raízes.

Simples, não é? Vamos trabalhar com mais um exemplo!

Exemplo

1) Tendo a equação x⁶ + 6x³ -7 = 0 como base, descubra quais são os possíveis valores para x.

Resolução:

A sua primeira reação pode até ser se assustar com esse expoente 6, mas você já sabe que o nosso primeiro passo é tentar reduzi-lo para o índice 2!

Sendo assim, podemos reescrever a equação como:

(x³)² + 6x³ -7 = 0

Agora, fica fácil observar que o termo x³ se repete e podemos substituí-lo por qualquer outra incógnita. Vamos fazer x³ = y.

Substituindo, teremos:

y² + 6y -7 = 0

Agora que já temos uma equação de segundo grau bem comum, podemos aplicar o segundo passo.

Usando bháskara, teremos:

a = 1 / b = 6 / c = -7

Δ = b² – 4.a.c

Δ = 36 – 4.1.-7

Δ = 36 + 28

Δ = 64

y = ( -b ± ²√Δ ) / 2.a

y = ( -6 ± ²√64 ) / 2.1

y’ = ( -6 + 8 ) / 2

y’ = ( 2 ) / 2

y’ = 1

y” = ( -6 – 8 ) / 2

y” = ( -14 ) / 2

y” = –7

Sim, as raízes para a equação de segundo grau são {1,-7}. 

Mas não acabou por aqui!

Nós estamos buscando a solução para a equação biquadrada, não para a quadrada. Por isso, precisamos dar o último passo:

Se y = x³, então:

Para y’ = 1 teremos:

1 = x³

x’ = ³√1

x’ = 1

Para y” = -7 teremos:

-7 = x³

x” = ³√-7

x” = número complexo

Agora sim, encontramos as duas raízes possíveis para a equação biquadrada!

• Resolva alguns exercícios de equações redutíveis ao 2° grau para treinar!

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