Teorema de Jacobi é um cálculo para reduzir os valores da fila de uma matriz e facilitar o cálculo do determinante. Ele permite substituir uma fila de uma matriz quadrada qualquer pela soma desta fila com um múltiplo de uma fila paralela, sem alterar o valor final.
Neste artigo sobre Teorema de Jacobi, você encontrará:
- O que é Teorema de Jacobi
- Conceito do teorema com explicação
- Como usar (em 4 passos)
- Exemplo resolvido
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O que é Teorema de Jacobi
O Teorema de Jacobi é como uma propriedade para as matrizes. Isso significa que ele é um conjunto de poucos passos para facilitar o cálculo do determinante.
- É importante já ter lido os dois artigos indicados acima antes de continuarmos!
Esse teorema diminui os valores dos elementos de uma matriz quadrada, deixando o cálculo mais rápido e simples.
Explicação do conceito do Teorema de Jacobi (como fazer em 4 passos)
O seu conceito é um pouco complexo:
“Seja A uma matriz quadrada, se multiplicarmos todos os elementos de uma fila (linha ou coluna) por um mesmo número, e somarmos os resultados dos elementos aos seus correspondentes de outra fila (linha ou coluna), obteremos outra matriz B. Assim podemos afirmar que o det A é igual ao det B”.
Em outras palavras:
- Pegue uma matriz A e indique a soma dos elementos de uma fila com os correspondentes da outra fila. (arme a conta, mas não resolva).
- Indique a multiplicação dos valores de uma linha por um mesmo número.
- Resolva a expressão numérica e obtenha os valores de uma nova matriz B.
- Esses valores da matriz B serão bem menores que os da A, então resolva normalmente o determinante. Não se preocupe, o resultado do detA será igual ao detB.
Assim, o teorema permite substituir uma fila de uma matriz quadrada qualquer, pela soma desta fila com um múltiplo de uma fila paralela. Tudo isso sem alterar o valor do determinante.
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Exemplo e aplicação do Teorema de Jacobi
Vamos ver um exemplo para entender melhor esse teorema.
O primeiro cálculo mostra as contas normais para encontrar o det da matriz A.
Na segunda conta, com a aplicação do Teorema de Jacobi, você deve ter notado que a matriz A foi transformada em B por causa das operações que fizemos, seguindo a regra do teorema.
Por fim, observamos que os elementos da segunda linha na matriz B ficaram com valores menores do que aqueles antes observados em A.
Isso facilita bastante o cálculos e você pode atestar que os resultados encontrados foram os mesmos.
Esse exemplo foi bem simples, então você pode pensar que o “trabalho não vale à pena”. Contudo, lembre-se desse teorema quando se deparar com matrizes com valores gigantescos e ele será um grande aliado!
- Note que esse processo é semelhante à resolução de sistemas lineares, especificamente o método da substituição.
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