Resumo do Cone na Matemática: da definição às fórmulas!

Você já viu uma “pirâmide” arredondada? Na verdade, esse é o Cone! Ele é um sólido do tipo corpo redondo que possui uma base e um vértice, além de elementos próprios (como a geratriz). Além disso, podemos calcular a área e o volume dele e de seu tronco. Confira muito mais neste resumo sobre o Cone na Matemática!

Neste resumo de Cone na Matemática, você encontrará os tópicos abaixo. Se quiser, clique em um deles para ir diretamente ao conteúdo:

1. Introdução: O que é a Geometria Espacial?
2. Definição: o que é um Cone?
3. Quais são os elementos do Cone?
4. Origem do Cone: Planificação e Rotação.
5. Como são as Seções Transversais e Meridionais?
6. O que é o Tronco de Cone?
7. Quais são os tipos de Cones?
8. Fórmulas do Cone e de seu tronco: áreas e volumes.

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Introdução: o que é a Geometria Espacial?

A Geometria Espacial é a área da matemática que estuda os sólidos geométricos. Estamos falando daquelas formas que construímos com 3 dimensões (3D): altura, largura e profundidade.

Quando pegamos um sólido (que é tridimensional), é preciso girar em várias posições para tatear toda a sua superfície. Quando pegamos uma figura plana, existe uma só superfície.

Os sólidos podem ser classificados em poliedros (faces, arestas e vértices, tudo retinho) ou corpos redondos (possui alguma superfície curva).

Hoje nós vamos falar do Cone, que é um dos corpos redondos. Isso significa que ele pertence ao grupo dos que “rolam” ao serem colocados em algum plano inclinado.

Antes de continuar, vale a pena lembrar da Geometria Plana, a parte que estuda as figuras 2D (largura e altura). É nela que estudamos os conceitos básicos (reta, linha, ponto, plano, altura, etc.) que também usaremos adiante.

Definição: o que é um Cone?

O Cone é um sólido geométrico do tipo corpo redondo. Sua característica é ter uma única base circular de onde saem segmentos de reta que se unem em um único vértice logo acima.

Em outras palavras, seu formato é semelhante ao de uma pirâmide, só que com a base e o corpo arredondados.

Simples não é? Mas não para por aí…

É preciso conhecer seus elementos, suas fórmulas, entender as seções e os seus tipos. Só com todas essas informações é que conseguimos resolver os exercícios!

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Quais são os principais elementos do Cone?

Entender as definições são tarefas trabalhosas, mas conhecer os componentes do Cone vão te ajudar a entendê-lo. São eles:

• Base: no caso do cone, é um plano em que está a circunferência. Ela é uma superfície reta, ou seja, quando passamos a mão sentimos que está “liso”.
• Raio (r): o raio da base do cone é a distância entre o centro do cone e a sua face externa.
• Diâmetro (D): é a medida que liga as duas extremidades do círculo da base, passando pelo centro. Na prática, vale o dobro do raio (2r).
• Altura (h): é, literalmente, quanto mede a altura do cone. Na geometria, definimos como um segmento que liga o vértice superior à superfície da base, fazendo um ângulo de 90°.
• Eixo: é o segmento de reta que liga o vértice ao centro da base. Em alguns tipos de cone, ele coincide com a altura.
• Geratriz (g): é o segmento que liga o vértice ao ponto mais externo do círculo da base, só que passando pela superfície do cone. Portanto, não tem o mesmo valor que a altura. Ela é calculada usando pitágoras, junto ao raio e a altura.

Note que o Cone possui 2 faces (uma base e toda a parte curva no meio), 1 vértice e 1 aresta.

Como surgiu o Cone na matemática?

O Cone pode surgir por meio de dois processos: Planificação e Revolução. 

Leia e aprenda sobre cada um deles:

O que é a planificação do cone?

Na infância, é comum as escolas pedirem que os alunos façam sólidos geométricos. Você já fez isso, não fez?

O que os professores nos pedem é, justamente, montar o sólido a partir de sua planificação. Assim, a planificação é a tentativa de representar todas as partes dos sólidos em duas dimensões.

Para conseguir, é preciso ter boa visão espacial. Isso significa olhar para o conjunto de figuras planas e imaginar que você tirou do papel, cortou, dobrou, colou e conseguiu formar um sólido.

No caso do cone, as planificações são formadas pelo círculo e por um setor circular. O círculo é o que forma a base, enquanto o setor “enrolado” formará a superfície curva.

Essa visão nos permite encontrar uma relação importante na hora de resolver os exercícios: 

Na planificação dos cones, o arco do setor (l) mede o mesmo que o comprimento da circunferência.

O que é a Revolução dos Cones?

Alguns dos sólidos geométricos podem receber o nome de “sólidos de revolução”. 

Calma! Você nunca vai ver um batalhão de cones armados lutando por suas ideologias. Isso você vê no nosso artigo sobre Revolução Francesa. Aqui o assunto é outro…

Esse título vem da ideia de que podemos pegar uma figura plana, colocá-la em uma bandeja giratória e rodá-la.

Se colocarmos um triângulo em uma bandeja e girarmos em altíssima velocidade, o vulto que se formará será no formato de um cone. Portanto, o cone é um sólido de rotação que se origina por um triângulo.

Como são as Seções no Cone na matemática?

Existe uma prática comum na geometria espacial que é a de fazer seções (cortes) nos sólidos. É como se passássemos uma lâmina em diferentes ângulos para ver qual figura se forma na superfície do corte.

Existem vários possíveis cortes que podemos fazer no cone. Inclusive, alguns deles formam aquilo que chamamos de Cônicas.

Veja:

• Secção Meridional: é a intersecção entre o sólido e um plano vertical (contém o eixo). A figura formada em um cone será um triângulo.
• Secção Vertical fora do eixo: a figura formada em um cone será uma parábola.
• Secção Vertical Inclinada: a figura formada em um cone será um braço de hipérbole.
• Secção Transversal: é a intersecção entre o sólido e um plano horizontal (paralelo às bases). A figura formada em um cone será um círculo.
• Secção Horizontal Inclinada: a figura formada será uma elipse.

O que é o Tronco de um cone?

Quando fazemos a seção transversal no cone, a figura formada na superfície do corte é uma circunferência. Porém, se retirarmos a “tampa” do cone, ou seja, a parte acima do corte, nos restará o tronco de cone.

Assim, passa a ter duas bases: uma com círculo menor em cima e outra com um círculo maior embaixo. Não confunda com o cilindro, pois ele mantém o diâmetro constante ao longo do sólido, mas o tronco de cone não.

A fórmula de seu volume é diferente, mostraremos no último tópico desse texto!

Quais os tipos de cones que existem na matemática?

Por incrível que pareça, há diferentes formatos de cones, dependendo da inclinação de seu eixo ou da relação entre suas medidas.

Há três tipos principais:

• Cone Reto: quando o eixo e a altura são perpendiculares à base (formam um ângulo de 90º) e todas as geratrizes são congruentes entre si.
• Cone Oblíquo: quando o eixo não é perpendicular à base da figura. Assim, algumas geratrizes podem ser maiores que outras.
• Cone Elíptico: possui base elíptica e pode ser reto ou oblíquo.
• Cone Equilátero: em que a altura é igual ao diâmetro (h=2r).

Como calcular área e volume do Cone na matemática?

Ao lidar com sólidos geométricos, podemos calcular:

• Área da base: valor do preenchimento da superfície das bases.
• Área lateral: valor do preenchimento da superfície que “rola”.
• Área total: soma das duas anteriores.
• Volume: o preenchimento interno do sólido, como o quanto de água que cabe dentro.

Vamos conhecer as fórmulas para calcular as áreas e o volume do cone:

Fórmula das áreas do Cone

• Área da base:

A_b = π.r²

Em que:

A_b: área da base

π: 3,14

r: raio

• Área Lateral:

A_l = π.r.g

Em que:

A_l: área lateral

π: 3,14

r: raio

g: geratriz

• Área Total:

A_t = A_b + A_l

ou

A_t = (π.r²) + (π.r.g)

Onde:

A_t: área total

A_b: área da base

A_l: área lateral

π: 3,14

r: raio

g: geratriz

Fórmula do Volume do Cone

O volume de qualquer sólido com uma base e uma ponta em cima, seja poligonal ou corpo redondo, é dado por ⅓ do produto da área da base pela altura (geratriz). 

• Fórmula do Cone:

V = (A_b.h) / 3

ou

 V = (π.r².h) /3

Onde:

V: volume

A_b: área da base

π: 3,14

r: raio

h: altura

• Fórmula do Tronco de Cone

V = (πh)/3 . (R² + Rr + r²)

Onde:

V: volume

π: 3,14

r: raio menor

R: raio maior

h: altura

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