Matemática

O que é Equação Modular? Aprenda a resolver equações modulares!

O que é Equação Modular?O que é Equação Modular? Descubra com exemplos!

A equação modular é aquela em que há ao menos uma incógnita (x) dentro do módulo, assim: Y = |x|. Ela também pode aparecer fora, mas aí entramos nos diferentes casos e propriedades de equações modulares. É importante saber que o valor de todo módulo é sempre positivo e que o número dentro pode ser positivo ou negativo. Veja como resolver!

Neste texto sobre o que é equação modular, você encontrará os tópicos abaixo. Clique em um deles para ir diretamente ao conteúdo:

  1. O que é equação?
  2. O que é equação modular?
  3. O que é módulo?
  4. Como resolver uma equação modular? Exemplos resolvidos!
  5. Como calcular Inequações modulares?
  6. Como fazer um gráfico das funções modulares?

O que é equação?

A palavra “Equação” está ligada à palavra igualdade. Assim, falar em equação é querer tornar as coisas iguais. O lado esquerdo de uma igualdade (antes do símbolo “=”) é chamado de 1º membro. O lado direito é chamado de 2º membro

São eles que queremos igualar! Mas por que?

Porque os membros das equações são números conhecidos e outros desconhecidos. O valor que não sabemos é a incógnita e ele pode ser representado por qualquer letra, o mais comum é utilizarmos “x”,”y”ou “z”.

A solução da equação (o valor que acharmos para a incógnita) é chamada de raiz. Ela deve ser um número que, ao substituir a incógnita, comprove a igualdade. Dizemos que, assim, a sentença será verdadeira.

Há vários tipos de equações: 1° grau, 2° grau… Enfim, se você já souber resolvê-las, ficará mais tranquilo entender as outras.

O que é equação modular?

A equação modular é aquela equação em que a incógnita está dentro do módulo. Portanto, precisamos saber lidar com as propriedades do módulo para depois achar a raiz da equação.

Sendo assim, a fórmula geral de uma equação modular será do tipo:

Y = |x|

Porém, nós sabemos que o módulo pode conter outras operações dentro ou fora dele. Portanto, veja alguns outros exemplos do que são equações modulares:

| x + 1 | = 4| x | = 5| x + 1 | = 2x – 1

Calma! Nós vamos te explicar o que é módulo:

O que é módulo?

O módulo também é chamado de valor absoluto e é representado quando colocamos um número qualquer entre duas barras, assim: 

|n|

Ele tem esse nome porque é o valor que representa a distância que o valor entre barras está do zero, na reta numérica. Como estamos falando de distância, e não existe “distância negativa”, o valor do módulo de um número sempre será positivo. 

Resolver problemas com equação modular requer a aplicação da definição. De modo geral, podemos dizer que há duas situações determinantes para o cálculo do módulo e das equações modulares:

  • Quando o valor dentro do módulo é positivo: o valor de |n| será igual ao próprio n, quando ele for um número positivo ou igual a zero.
  • Quando o valor dentro do módulo é negativo: o valor de |-n| será igual ao oposto de n, pois o oposto de um número negativo é sempre positivo.

Veja alguns exemplos com números para facilitar:

|4| = 4

e

|-32| = 32 , porque -(-32) = 32

Propriedades do módulo

Realmente, o valor do módulo sempre será positivo! E isso nos indica 2 propriedades importantes:

  • 1° Propriedade: sempre que houver uma incógnita no módulo, haverá duas possibilidades para x, uma negativa e outra negativa.

Entenda:

Se |x| = 5

Então x pode ser +x ou -x

Porque |5| = 5 e |-5| = 5

Logo, x = {5 ou -5}

  • 2° Propriedade: sempre que houver uma igualdade entre módulos, isso nos dá duas possibilidades: serem realmente iguais ou um ser oposto do outro. 

Entenda:

Se |a| = |b|

Então a = b ou a = -b

  • Atenção 1 !!!

Se houver um módulo em que há uma incógnita no denominador de uma fração, lembre-se que o seu valor final não pode ser 0 (a fração deixaria de existir). 

Portanto, encontre o valor de x que zere o denominador e guarde ele. Resolva normalmente a equação. Antes de dar a resposta, confira se um dos valores encontrados é igual ao valor proibido. Se for, não poderá entrar no conjunto solução!

  • Atenção 2 !!!

Se você se deparar com qualquer equação modular que a igualdade resulte em número negativo, ela não existe! O conjunto solução será vazio, pois é impossível resolver isso já que contraria a regra do módulo.

|x| = -n 

(Não existe)

Como resolver uma equação modular?

Para resolver uma equação modular, é necessário analisar cada uma das possibilidades, ou seja, se o valor entre barras for negativo ou positivo. Depois, aplicamos os conceitos que já devemos saber: a definição de módulo e como calcular equações polinomiais.

Vamos resolver os exemplos que colocamos mais acima:

1° Exemplo de equação modular

Calcule o valor de | x + 1 | = 4

Resolução: se o resultado do módulo é 4, significa que que o valor que está dentro dele pode ser 4 ou -4. Por isso, precisamos igualar o valor entre barras para cada uma das duas possibilidades, e resolver normalmente:

1° possibilidade: x + 1 = 4

                              x = 4 – 1

                              x = 3

2° possibilidade: x + 1 = -4

                              x = -4 – 1

                              x = -5

Portanto, temos um conjunto solução para x, em que S = {-5, 3}

Será que é verdade mesmo? Não custa verificar… Substitua a incógnita x da equação pelos valores encontrados:

| x + 1 | = 4 para x = -5   →   | -5 + 1 | = 4   →   | -4 | = 4

| x + 1 | = 4 para x = 3   →   | 3 + 1 | = 4   →   | 4 | = 4

2° Exemplo de equação modular

Calcule o valor de | x + 1 | = 2x – 1

Resolução: nos casos em que existe uma expressão algébrica no 2° membro, precisamos garantir que seu resultado não seja um valor negativo, pois o módulo de qualquer número sempre será positivo! Então a condição de existência será:

2x – 1 ≥ 0

2x ≥ 1

x ≥ 1/2

Agora, precisamos igualar o valor entre barras para cada uma das duas possibilidades, e resolver normalmente. Se o resultado do módulo é 2x – 1, significa que o valor que está dentro dele pode ser 2x – 1 ou – (2x – 1), desde que x seja maior ou igual a 1/2!

1° possibilidade: x + 1 = 2x – 1

                              x = 2x -1 -1

                              x = 2x -2

                              x -2x = -2

                              -x = -2 (-1)

                              x = 2

2° possibilidade: x + 1 = – (2x – 1)

                              x + 1 = -2x +1

                              x = -2x +1 -1

                              x = -2x

                              ???

Portanto, vemos que só existe uma solução para x, em que S = {2}.

Será que é verdade mesmo? Não custa verificar… Substitua a incógnita x da equação pelo valor encontrado:

| x + 1 | = 2x – 1 para x = 2   →   | 2 +1 | = 2(2) – 1   →   | 3 | = 4 -1   →   | 3 | = 3

3° Exemplo de equação modular

Calcule o valor de | 2x – 7 | = | x + 4 |

Resolução: se o resultado do módulo é | x + 4 |, significa que que o valor que está dentro dele pode ser x + 4 ou – (x + 4), lembre da propriedade! Por isso, precisamos igualar o valor entre barras para cada uma das duas possibilidades, e resolver normalmente:

1° possibilidade: 2x – 7 = x + 4

                              2x – x = 4 + 7

                              x = 11

2° possibilidade: 2x – 7 = – (x + 4)

                              2x – 7 = -x -4

                              2x + x = -4 +7

                              3x = 3

                              x = 1

Portanto, temos um conjunto solução para x, em que S = {1, 11}

Será que é verdade mesmo? Não custa verificar… Substitua a incógnita x da equação pelos valores encontrados:

| 2x – 7 | = | x + 4 | para x = 1   →   | 2(1) – 7 | = | 1 + 4 |   →   | 2 – 7 | = | 5 |   →   |-5| = | 5 |

| 2x – 7 | = | x + 4 | para x = 11   →  | 2(11) – 7 | = | 11 + 4 |   →   | 22 – 7 | = |15|   →   |15| = |15|

Como calcular inequações modulares?

A Inequação é o contrário da equação, ou seja, ela é uma sentença matemática que  expressa uma desigualdade. Os demais elementos são semelhantes, como a presença de um valor desconhecido (incógnita).

Por esse motivo, no lugar do sinal “=”, usamos os seguintes símbolos na inequação:

“>” , que lemos como “maior que”

“<” , que lemos como “menor que”

“≥” , que lemos como “maior ou igual que”

“≤” , que lemos como “menor ou igual que”

No caso de uma inequação modular, podemos utilizar as propriedades a seguir:

  • |x| > a   →   x < – a ou x > a.
  • |x| < a   →   – a < x < a.
  • |x| ≤ a   →   – a ≤ x ≤ a.
  • |x| ≥ a   →   x ≤ – a ou x ≥ a.
  • |x – a| ≤ b   →   – b ≤ x – a ≤ b   →   a – b ≤ x ≤ a + b.

Como fazer um gráfico das funções modulares?

As funções matemáticas são um modo diferente de aplicar equações. De um lado, temos o “f(x)” que representa o valor final da função (também pode ser representado por “y”). Do outro lado, temos a regra matemática, ou seja, um conjunto de números dos possíveis “x”. 

Quando usamos a expressão “em função de” significa ter dependência, ou seja, o valor da função “f(x)” ou “y” se modifica à medida que modificamos o valor de “x”. 

Por isso, devemos resolver as funções pensando nos pares ordenados (x , y) que se adequam.

Agora que você já entendeu o que são equações modulares, é muito fácil montar um gráfico da função modular:

  • 1° Trace um plano cartesiano.
  • 2° Tome uma função modular como exemplo e estipule valores para colocar em “x”.
  • 3° Calcule os resultados “y” para cada valor “x” que você colocou e foi possível resolver.
  • 4° Pontue os pares ordenados no plano.
  • 5° Ligue os pontos para formar seu gráfico.

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