Matemática

Exercícios sobre Progressão Aritmética (P.A) com Gabarito

exercícios sobre progressão aritméticaExercícios sobre progressão aritmética
Mentoria para o Enem

Progressão aritmética é a diferença entre um número e seu antecessor, resultando sempre num mesmo valor, chamado razão. Há muitos níveis de dificuldades para exercícios sobre P.A, por isso é importante treinar.

Um assunto de matemática muito importante e que costuma cair em diversos vestibulares é a progressão aritmética. Por isso, que tal aprender a resolver alguns exercícios sobre o tema? Veja o que é progressão aritmética, suas propriedades e classificações, além de exercícios sobre progressão aritmética.

O Beduka também possui outros conteúdos de matemática que podem te ajudar a se preparar para o ENEM e outros vestibulares. Veja o que são sólidos geométricos, saiba quais são as fórmulas de trigonometria no triângulo retângulo e aprenda a transformar número decimal em fração.

Você também pode testar os seus conhecimentos no nosso simulado. É grátis! Baixe o nosso Plano de Estudos para se organizar melhor.

O que é Progressão Aritmética?

A progressão aritmética (P.A) é um tipo de sequência numérica em que a diferença entre um termo e seu antecessor resulta sempre em um mesmo valor, chamado de razão (r).

Considere a sequência a seguir:

(5,7,9,11,13,15,17)

Essa sequência é uma progressão aritmética, pois os seus elementos são formados pela soma do seu antecessor com a constante 2. Ou seja, essa constante é a razão que havíamos mencionado.

Definimos o tamanho de uma sequência pelo número de termos que ela possui, o que nos traz a possibilidade de que ela seja infinita ou finita.

Dependendo do valor de r a progressão aritmética pode ser crescente, constante ou decrescente.

P.A crescente: r > 0, então os elementos estarão em ordem crescente.

P.A constate: r = 0, então os elementos serão todos iguais.

P.A decrescente: r < 0, então os elementos estarão em ordem decrescente.

Termo Geral de uma Progressão Aritmética

A partir do 2º termo da sequência, todos são obtidos com a soma de um número fixo. Vejamos a sequência dos números naturais: Cada termo, iniciando com 0 (a1) é obtido somando 1 ao seu anterior.

Veja abaixo:

a2 = a1 + 1 = 1

a3 = a2 + 1 = (a1+1)+1 = 2

a4 = a3 + 1 = (a2+1)+1 = [(a1+1)+1]+1 = 3

E assim, sucessivamente.

Vamos agora reescrever os termos da sequência em função de r (razão). Veja:

a2 = a1 + r

a3 = a2 + r = (a1+r)+r  = a1+2r

a4 = a3 + r = (a2+r)+r = [(a1+r)+r]+r = a1+3r

E assim, sucessivamente.

Se continuarmos realizando esta operação para os próximos termos, encontramos então a FÓRMULA DA P.A, para determinar o termo geral de uma progressão aritmética, que será dado por:

an = a1 + (n-1)r

E supondo um caso em que não sabemos qual é o seu primeiro termo, podemos usar uma forma generalizada do termo geral da P.A. Sejam m e n posições quaisquer dos termos, temos:

an = am + (n-m)r

Imagine que seja necessário obter o 500º termo da sequência dos números naturais. Como a1 = 0, r = 1 e buscamos o termo a500, pela fórmula teremos:

a500 = a1+(500-1)r

a500 = 0+(500-1) . 1

Sala do saber - melhor plataforma online para estudar

a500 = 499

O termo da 500ª posição dos números naturais é o número 499.

Propriedades da Progressão Aritmética

A P.A  tem algumas propriedades importantes que devem ser levadas em consideração na hora de estudar:

1ª propriedade

Em uma P.A finita, a soma de dois termos equidistantes, ou seja, que apresentam a mesma distância dos extremos é igual a soma dos extremos.

Exemplo:

1ª propriedade

2ª propriedade

Se considerarmos 3 termos consecutivos de uma P.A, o termo do meio será igual a média aritmética dos outros dois termos.

Exemplo:

2ª propriedade

3ª propriedade

Em uma P.A finita com número de termos ímpar, o termo central será igual a média aritmética do primeiro termo com o último termo.

Exemplo:

3ª propriedade

Exercícios sobre Progressão Aritmética – gabarito ao final

Faça essas questões sem olhar a resposta. Tente de verdade.

1- (PUC-RIO) – Numa progressão aritmética de razão r e primeiro termo 3, a soma dos primeiros n termos é 3n², logo, a razão é:

a) 2
b) 3
c) 6
d) 7
e) 9

2- (ENEM) – Jogar baralho é uma atividade que estimula o raciocínio. Um jogo tradicional é a Paciência, que utiliza 52 cartas. Inicialmente são formadas sete colunas com as cartas. A primeira coluna tem uma carta, a segunda tem duas cartas, a terceira tem três cartas, a quarta tem quatro cartas, e assim sucessivamente até a sétima coluna, a qual tem sete cartas, e o que sobra forma o monte, que são as cartas não utilizadas nas colunas. A quantidade de cartas que forma o monte é:

a) 21
b) 24
c) 26
d) 28
e) 31

3. (Unicamp) – Se (a1, a2,…, a13) é uma progressão aritmética (P.A) cuja soma dos termos é igual a 78, então a7 é igual a

a) 6
b) 7
c) 8
d) 9

4. (ENEM) – Sob a orientação de um mestre de obras, João e Pedro trabalharam na reforma de um edifício. João efetuou reparos na parte hidráulica nos andares 1, 3, 5, 7, e assim sucessivamente, de dois em dois andares. Pedro trabalhou na parte elétrica nos andares 1, 4, 7, 10, e assim sucessivamente, de três em três andares. Coincidentemente, terminaram seus trabalhos no último andar. Na conclusão da reforma, o mestre de obras informou, em seu relatório, o número de andares do edifício. Sabe-se que, ao longo da execução da obra, em exatamente 20 andares, foram realizados reparos nas partes hidráulica e elétrica por João e Pedro. Qual é o número de andares desse edifício?

a) 40
b) 60
c) 100
d) 115
e) 120

Siga o Beduka no Instagram para não perder as novidades!

Abaixo apresentamos mais exercícios resolvidos nos quais você pode se aprofundar mais:

O Beduka é um buscador gratuito de cursos e faculdades, particulares ou públicas, que surgiu em 2017. Através de uma pesquisa simples você encontra informações detalhadas sobre todas as instituições de ensino superior registradas no Ministério da Educação (MEC). Experimente agora!

Agora que você conferiu alguns exercícios sobre progressão aritmética, aproveite para ver conteúdos de outras matérias. Saiba a importância dos biomas brasileiros, veja as palavras que enriquecem uma dissertação e descubra um pouco mais sobre o aquecimento global.

Fez os exercícios sobre progressão aritmética? Confira o gabarito:

1 – c
2 – b
3 – a
4 – d

Agora que você já fez os exercícios sobre progressão aritmética, aproveite e confira alguns resumos de livros importantes para o vestibular:

Gostou dos nossos exercícios sobre progressão aritmética? Compartilhe com os seus amigos e comente abaixo sobre áreas que você deseja mais explicações.

Queremos te ajudar a encontrar a FACULDADE IDEAL! Logo abaixo, faça uma pesquisa por curso e cidade que te mostraremos todas as faculdades que podem te atender. Informamos a nota de corte, valor de mensalidade, nota do MEC, avaliação dos alunos, modalidades de ensino e muito mais.

Experimente agora!

Sala do saber - notão no Enem
Redação Beduka
Redação Beduka
Este conteúdo foi criado e validado por uma equipe multidisciplinar, formada por especialistas em cada área do conhecimento. O Beduka está presente no Instagram, YouTube, LinkedIn e em diversos outros ambientes digitais. O site foi criado em 2017 e, desde a sua fundação, atua para fornecer materiais de qualidade para facilitar a vida de estudantes de todo o Brasil, ajudando-os a se preparar para os principais vestibulares e o Enem.