Matemática

Exercícios sobre Progressão Aritmética (P.A)

exercícios sobre progressão aritméticaExercícios sobre progressão aritmética

Progressão aritmética é a diferença entre um número e seu antecessor, resultando sempre num mesmo valor, chamado razão. Há muitos níveis de dificuldades para exercícios sobre P.A, por isso é importante treinar.

Um assunto de matemática muito importante e que costuma cair em diversos vestibulares é a progressão aritmética. Por isso, que tal aprender a resolver alguns exercícios sobre o tema? Veja o que é progressão aritmética, suas propriedades e classificações, além de exercícios sobre progressão aritmética.

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O que é Progressão Aritmética?

A progressão aritmética (P.A) é um tipo de sequência numérica em que a diferença entre um termo e seu antecessor resulta sempre em um mesmo valor, chamado de razão (r).

Considere a sequência a seguir:

(5,7,9,11,13,15,17)

Essa sequência é uma progressão aritmética, pois os seus elementos são formados pela soma do seu antecessor com a constante 2. Ou seja, essa constante é a razão que havíamos mencionado.

Definimos o tamanho de uma sequência pelo número de termos que ela possui, o que nos traz a possibilidade de que ela seja infinita ou finita.

Dependendo do valor de r a progressão aritmética pode ser crescente, constante ou decrescente.

P.A crescente: r > 0, então os elementos estarão em ordem crescente.

P.A constate: r = 0, então os elementos serão todos iguais.

P.A decrescente: r < 0, então os elementos estarão em ordem decrescente.

Termo Geral de uma Progressão Aritmética

A partir do 2º termo da sequência, todos são obtidos com a soma de um número fixo. Vejamos a sequência dos números naturais: Cada termo, iniciando com 0 (a1) é obtido somando 1 ao seu anterior.

Veja abaixo:

a2 = a1 + 1 = 1

a3 = a2 + 1 = (a1+1)+1 = 2

a4 = a3 + 1 = (a2+1)+1 = [(a1+1)+1]+1 = 3

E assim, sucessivamente.

Vamos agora reescrever os termos da sequência em função de r (razão). Veja:

a2 = a1 + r

a3 = a2 + r = (a1+r)+r  = a1+2r

a4 = a3 + r = (a2+r)+r = [(a1+r)+r]+r = a1+3r

E assim, sucessivamente.

Se continuarmos realizando esta operação para os próximos termos, encontramos então a FÓRMULA DA P.A, para determinar o termo geral de uma progressão aritmética, que será dado por:

an = a1 + (n-1)r

E supondo um caso em que não sabemos qual é o seu primeiro termo, podemos usar uma forma generalizada do termo geral da P.A. Sejam m e n posições quaisquer dos termos, temos:

an = am + (n-m)r

Imagine que seja necessário obter o 500º termo da sequência dos números naturais. Como a1 = 0, r = 1 e buscamos o termo a500, pela fórmula teremos:

a500 = a1+(500-1)r

a500 = 0+(500-1) . 1

a500 = 499

O termo da 500ª posição dos números naturais é o número 499.

Propriedades da Progressão Aritmética

A P.A  tem algumas propriedades importantes que devem ser levadas em consideração na hora de estudar:

1ª propriedade

Em uma P.A finita, a soma de dois termos equidistantes, ou seja, que apresentam a mesma distância dos extremos é igual a soma dos extremos.

Exemplo:

1ª propriedade

2ª propriedade

Se considerarmos 3 termos consecutivos de uma P.A, o termo do meio será igual a média aritmética dos outros dois termos.

Exemplo:

2ª propriedade

3ª propriedade

Em uma P.A finita com número de termos ímpar, o termo central será igual a média aritmética do primeiro termo com o último termo.

Exemplo:

3ª propriedade

Exercícios sobre Progressão Aritmética

1- (PUC-RIO) – Numa progressão aritmética de razão r e primeiro termo 3, a soma dos primeiros n termos é 3n², logo, a razão é:

a) 2
b) 3
c) 6
d) 7
e) 9

2- (ENEM) – Jogar baralho é uma atividade que estimula o raciocínio. Um jogo tradicional é a Paciência, que utiliza 52 cartas. Inicialmente são formadas sete colunas com as cartas. A primeira coluna tem uma carta, a segunda tem duas cartas, a terceira tem três cartas, a quarta tem quatro cartas, e assim sucessivamente até a sétima coluna, a qual tem sete cartas, e o que sobra forma o monte, que são as cartas não utilizadas nas colunas. A quantidade de cartas que forma o monte é:

a) 21
b) 24
c) 26
d) 28
e) 31

3. (Unicamp) – Se (a1, a2,…, a13) é uma progressão aritmética (P.A) cuja soma dos termos é igual a 78, então a7 é igual a

a) 6
b) 7
c) 8
d) 9

4. (ENEM) – Sob a orientação de um mestre de obras, João e Pedro trabalharam na reforma de um edifício. João efetuou reparos na parte hidráulica nos andares 1, 3, 5, 7, e assim sucessivamente, de dois em dois andares. Pedro trabalhou na parte elétrica nos andares 1, 4, 7, 10, e assim sucessivamente, de três em três andares. Coincidentemente, terminaram seus trabalhos no último andar. Na conclusão da reforma, o mestre de obras informou, em seu relatório, o número de andares do edifício. Sabe-se que, ao longo da execução da obra, em exatamente 20 andares, foram realizados reparos nas partes hidráulica e elétrica por João e Pedro. Qual é o número de andares desse edifício?

a) 40
b) 60
c) 100
d) 115
e) 120

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Fez os exercícios sobre progressão aritmética? Confira o gabarito:

1 – c
2 – b
3 – a
4 – d

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