Matemática

Progressão Aritmética e Geométrica (PA e PG)

Progressão Aritmética e GeométricaProgressão Aritmética e Geométrica

Progressão aritmética e geométrica: a progressão é uma sequência de números no qual a diferença entre um termo e seu precedente é sempre uma constante. Progressão geométrica é uma sequência de números em que o quociente entre um termo e seu precedente é sempre uma constante.

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O que é Progressão?

O termo progressão se relaciona com a ideia de sucessividade. Na matemática, a progressão é caracterizada como uma sequência numérica de quantidades, isto é, que acontece de maneira sucessiva. Uma progressão é estabelecida por uma lei de formação, que se define em uma fórmula matemática.

sequencia númerica

A posição de um termo em uma sequência pode ser chamada de n (1ª, 2ª, 3ª, …, nª). Dizemos também que o primeiro e o último termo de uma sequência finita ( e ) são chamados de extremos de uma sequência. Podemos então representá-la da seguinte forma:

(a1, a2, a3, a4, … an)

Existem dois tipos de progressão: a Aritmética e a Geométrica.

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Progressão Aritmética (PA)

A Progressão Aritmética (PA) é a sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é determinado pela soma do termo antecessor por uma constante r, chamada de razão. Utiliza-se a seguinte fórmula para determinar os termos da sequência:

an = a1 + (n – 1) . r

an = n-ésimo termo da sequência (n-ésimo é o número que ou o que ocupa a posição n em uma sequência)

a1 = primeiro termo

n = posição do termo na sequência

r = razão

Para determinar a soma dos n primeiros termos de uma PA, utiliza-se a fórmula:

Sn= n . (a1 + an) /  2

Sn = soma dos n primeiros termos de uma PA

n = posição do termo na sequência

a1 = primeiro termo da sequência

an = n-ésimo termo da sequência

Termo Central da Progressão Aritmética

Em uma PA com número ímpar de termos, o termo central pode ser definido como sendo o termo que divide a PA em dois conjuntos de números de elementos iguais. O cálculo do termo central de uma PA é obtido através da média aritmética dos extremos da PA.

Tc= (a1 + an) / 2

Tc = soma dos n primeiros termos de uma PA

a1 = primeiro termo da sequência

an = último termo da sequência

Lembrando que o termo central só poder ser calculado em Progressões Aritméticas que são finitas.

Tipos de Progressão Aritmética

  1. Progressão Aritmética Finita;
  2. Progressão Aritmética Infinita;
  3. Progressão Aritmética Crescente;
  4. Progressão Aritmética Decrescente;
  5. Progressão Aritmética Constante.

1. Progressão Aritmética Finita

É a PA que tem um número definido de termos. Por exemplo, uma PA de cinco termos na qual o termo inicial é 0 e a razão é 2:

PA (0, 2, 4, 6, 8)

2. Progressão Aritmética Infinita

A PA é infinita quando o domínio onde ela está é infinito. Veja o exemplo abaixo:

PA (10, 11, 12, 13, 14…)

3. Progressão Aritmética Crescente

Uma PA é crescente quando a razão entre os termos é positiva, ou seja, r > 0. Assim, cada novo termo é maior que o anterior.

4. Progressão Aritmética Decrescente

Quando a razão é negativa (r < 0), então a PA é decrescente, pois cada novo termo é menor que o anterior.

5. Progressão Aritmética Constante

A PA pode ser constante, se r = 0. Nessa situação, os termos são todos iguais.

Progressão Geométrica (PG)

Progressão Geométrica (PG) pode-se definir como uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, pode ser determinado através da multiplicação do termo anterior por uma razão q. A fórmula utilizada para a determinação dos termos de uma PG é:

an = a1 . qn – 1

an = n-ésimo termo da sequência

a1 = primeiro termo da sequência

q = razão

n = posição do termo da sequência

Para determinar a soma dos n primeiros termos de uma PG, utiliza-se a fórmula:

Sn = a1 . (qn 1) / q – 1

Sn = soma dos n primeiros termos de um PG

a1 = primeiro termo da sequência

q = razão

n = posição do termo na sequência

As progressões geométricas também pode ser classificadas em finitas, infinitas, decrescentes, crescentes e constantes. Além dessas classificações, as progressões geométricas que possuem a razão negativa são chamadas de alternadas, porque seus termos são alternadamente positivos e negativos.

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