Física

Decomposição de Vetores: o que você precisa para se dar bem!

Entenda de uma vez por todas como fazer Decomposição Vetorial!Entenda de uma vez por todas como fazer Decomposição Vetorial!

A Decomposição de Vetores é uma operação matemática para encontrar as componentes verticais e horizontais de um vetor. A partir dela, descobrimos a projeção no eixo x e y do plano cartesiano. Usando a trigonometria, podemos determinar até mesmo o módulo!

Neste artigo sobre Decomposição de Vetores, você encontrará:

  1. O que são vetores e grandezas vetoriais
  2. Operações de soma (4 casos) e subtração com vetores
  3. Método poligonal, paralelogramo e lei dos cossenos
  4. Decomposição de Vetores: como fazer e utilidade
  5. Exemplo resolvido

O que são vetores e grandezas vetoriais

Você já deve ter ouvido falar em grandezas da química ou grandezas da física. No meio científico, a palavra grandeza se refere a tudo o que pode ser medido. 

Na física, dizemos que existem 2 tipos de grandezas:

  • Grandezas escalares: basta um número e sua unidade de medida para entendermos o que é medido. A massa (50 kg) ou a distância (50 m) são exemplos disso.
  • Grandezas vetoriais: além do valor e sua unidade, precisamos também da direção e do sentido para entender a informação completa do que se mede. As forças físicas  são exemplos disso.

Para representar as informações completas das grandezas vetoriais criou-se os vetores. Os vetores são segmentos de reta orientados que possuem:

  • Módulo: corresponde à intensidade da força, ou seja, o seu valor numérico. 
  • Direção: é a própria direção em que o corpo se move ou que a força atua. Pode ser na horizontal ou vertical. 
  • Sentido: equivale ao lado onde a força é aplicada. Cada direção possui dois sentidos, sendo eles esquerda e direita quando falamos em horizontal, positivo e negativo quando falamos em vertical.

Todos os vetores são definidos com essas três características ao mesmo tempo, é como um  “nome completo”, permitindo sua identificação e diferenciação dos outros. 

Operações com vetores

Em algum momento da sua vida escolar você já se trombou com as leis de Newton, com a cinemática e todas aquelas imagens cheias de setinhas. 

Pois bem, as fórmulas que você encontra foram deduzidas através de vários fatores, incluindo a análise de vetores.

Mas nem tudo são fórmulas! Por isso, você deve ter feito algum exercício de Empuxo ou Atrito em que era preciso desenhar, encontrar a resultante e depois calcular!

Tudo o que você tem feito, mesmo sem perceber, são operações de soma ou subtração de vetores!

Soma vetorial

Somar é unir elementos… essa é fácil não é? Pois bem, você também pode juntar vetores e ver qual é o resultado final. Vamos explicar com exemplos para ficar mais fácil:

Caso 1: soma com mesma direção e sentido

Vamos supor que um funcionário colocou um caixote sobre o chão. Já sabemos que o objeto exerce a força peso na superfície em que está posicionado. Se o caixote tem massa de 10 kg, sabemos que o peso gerado será de 100 N, vertical e para baixo. 

Agora imagine que eu acrescentei um vaso em cima do caixote, de massa 5kg. Se eu quero saber qual é a força resultante no chão, eu preciso calcular a soma dos pesos do vaso com o do caixote.

Simples, não é? Só tem um detalhe que muda tudo:

Como estamos tratando de grandezas vetoriais, não basta somar os módulos, é preciso ver o que acontece com a direção e o sentido.

No exemplo acima, falamos de duas forças peso que sempre têm a mesma direção e sentido. Por isso, tínhamos dois vetores verticais para baixo, somando-os, obtemos o resultado igual a um vetor vertical para baixo de módulo 150 N.

Caso 2: soma com direção ou sentido diferente

soma-vetorial-com-sentido-ou-direçao-diferentes

Quando você está com os braços estendidos tentando levantar um haltere de 2kg (pezinhos de metal) na academia, temos duas forças opostas atuando. 

O haltere exerce um peso vertical para baixo (20 N) na sua mão e você exerce uma força vertical para cima (superior a 20N, vamos supor 30N) para conseguir levantá-lo.

Assim como no plano cartesiano, o que está para cima do eixo x é positivo e o que está abaixo dele é negativo. Também temos que à direita do eixo y é positivo e à esquerda dele é negativo.

Seguindo esse raciocínio, para realizar a soma vetorial de uma força vertical para baixo com uma vertical para cima, nós mantemos o módulo positivo da que aponta para cima e o somamos com um valor negativo da que aponta para baixo:

(+30N) + (-20N) = 10N

Assim, podemos dizer que a força resultante é de 10N vertical para cima, significando que o haltere está sendo levantado. 

Não se preocupe se uma conta der um valor negativo, lembre-se que o sinal aponta apenas qual é o sentido!

Caso 3: soma com direção e sentido diferentes

soma-vetorial-com-direçao-e-sentido-diferentes

Para ilustrar esse exemplo, vamos supor que 2 crianças estão brigando por uma boneca: Maria puxa para cima e Joana puxa para a direita. 

Observe que os vetores são perpendiculares entre si, ou seja, formam um ângulo de 90°.

Nesse caso, nós precisaremos usar um dos dois métodos:

  • Método da linha ou poligonal

Colocamos os vetores conectados, ou seja, a cabeça de um vetor encostará na origem do outro vetor e assim por diante.

Esse método pode ser feito usando vários vetores, o que importa é não alterarmos o seu tamanho, sentido e direção. 

Depois de uní-los corretamente, o primeiro vetor colocado terá o seu final livre e o último terá a cabeça livre. Basta traçar uma linha partindo do rabo até a cabeça para descobrir qual é o sentido e direção do vetor resultante.

Normalmente eles são feitos em malhas quadriculadas, então você pode contar o número/ medida de quadradinhos para descobrir o módulo final.

  • Regra do paralelogramo

Esse método é mais prático, rápido e ocupa menos espaço, mas só pode ser aplicado com 2 vetores por vez, quando formam um ângulo de 90° graus (perpendiculares).

Nesse caso, primeiro unimos as duas origens dos vetores. Depois, traçamos uma linha pontilhada perpendicular às cabeças dos vetores. Na realidade, elas representam a projeção de um vetor sobre o outro.

Esses prolongamentos se encontrarão e aí podemos traçar o resultado. O vetor resultante partirá da origem dos dois e sua cabeça terminará onde os prolongamentos se encontram.

Caso 4: Soma de vetores de qualquer direção com cálculo do módulo

como-descobrir-o-modulo-de-uma-soma-vetorial-com-qualquer-direçao-e-sentido-de-vetor-usando-a-lei-dos-cossenos

Como calcular qualquer par de vetores de qualquer direção e ainda saber o módulo por meio de contas? Primeiro usamos o método dos paralelogramos e depois aplicamos a Lei dos Cossenos!

Observe a imagem acima!

Note que, no caso das grandezas vetoriais, precisamos mudar o sinal original da lei (era negativo e passou a ser positivo).

Por que mudou o sinal? Porque esses vetores deveriam formar um triângulo como o indicado no original, e aí usaríamos a fórmula original.

Mas, aplicando o método do paralelogramo e deslocando os vetores para formar um triângulo, o ângulo de referência será superior a 90° e inferior a 180°.

Isso significa que, nessa faixa de valores, o cosseno de um número é sempre negativo. Por isso, invertemos o sinal da equação original.

Subtração vetorial

Se você já entendeu tudo da soma, certamente saberá fazer a subtração. Tudo o que você precisa lembrar é que a subtração é o oposto da soma.

Portanto, você pode manter o sinal de negativo para um dos vetores e realizar uma soma de acordo com o tipo de caso que se encaixar melhor!

  • Você é uma daquelas pessoas que tem fome de conhecimento? Então siga o Beduka no Instagram para conteúdos diários!

Decomposição de vetores

Como-fazer-a-decomposição-de-vetores

Você observou que a soma vetorial ocorre quando temos dois vetores e buscamos encontrar um resultante ao final. A decomposição vetorial é o processo inverso: temos um vetor e queremos descobrir quais os outros 2 que o geraram.

Assim, a decomposição é uma das operações realizadas com os vetores. Nela, definimos os seus componentes originais tendo como base os eixos x e y do plano cartesiano. 

Por fim, entendemos que o nosso vetor V pode ser decomposto em vetores Vx e Vy. Se aplicarmos a soma vetorial pela regra do paralelogramo nos vetores Vx e Vy, ele nos trará de volta o V.

Como fazer decomposição de vetores?

Agora vamos aos cálculos!

Para decompor um vetor (determinar as componentes perpendiculares) basta seguir 4 passos:

  • Posicionar o vetor no plano cartesiano, de modo que sua origem coincida com a origem do plano.
  • Traçar uma linha pontilhada que sai da cabeça do vetor e é paralela ao eixo x.
  • Traçar outra linha pontilhada paralela ao eixo y, que sai da cabeça do vetor. 
  • Ver até onde vai a projeção do vetor horizontal (Vx) e do vertical (Vy).

E se precisarmos saber os módulos?

Para isso, podemos mudar o vetor Vy de lugar para formar um triângulo retângulo. Depois, recorremos à Trigonometria do triângulo retângulo para resolver os cálculos e encontrar os valores!

Assim, chegamos às fórmulas:

Vy = V. senθ

e

Vx = V. cosθ

Como vou saber qual é a fórmula certa de usar? 

Se um determinado lado do triângulo está com o ângulo, usamos a fórmula do cosseno. Se estiver sem (for cateto oposto), usa-se a fórmula do seno.

Por fim, sabemos que o Teorema de Pitágoras é aplicado em triângulos retângulos. Então podemos estabelecer mais uma fórmula:

V² = Vx² + Vy²

Quando a decomposição de vetores é útil?

A decomposição de vetores é usada quando lidamos com uma força ou grandezas vetoriais que estão “inclinadas”. Assim, forma-se um ângulo entre o vetor e o eixo x em que ele se apoia.

Com esses cálculos, descobrimos suas componentes e facilita nossos cálculos nas questões envolvendo atrito, cinemática, tração, empuxo, etc.

Exemplo resolvido de exercício com decomposição vetorial

exercicio-com-decomposiçao-vetorial-resolvido

Imagine que Pedro aplicou uma força  F de 100N em um bloco de 2kg que estava parado sob uma superfície plana. Essa força foi aplicada fazendo um ângulo de 30°, pois a posição da mão dele assim o fez. 

Determine qual é o peso resultante que o bloco exerce na superfície, no momento em que Pedro aplica a força no bloco.

O cálculo de resolução é o seguinte:

Se o objeto pesava 2k, ele já exercia uma força peso de 20N naturalmente. Porém, Pedro pressionou o objeto com uma força de 100N. 

Não podemos dizer que o peso resultante foi 120 porque a força aplicada por Pedro não era vertical para baixo, era inclinada em 30°.

Por isso, preciso somente do valor da componente vertical Fy do vetor F. Assim saberemos qual parte dessa força pressiona o objeto para baixo.

Fy = F. sen 30°

Fy = 100. Sen30º

Fy = 100 x 0,5

Fy = 50 N

Por isso, o peso resultante que o chão sofre enquanto Pedro pressiona o objeto, vale 50 + 20 = 70N.

Gostou do nosso artigo sobre Decomposição de Vetores? Confira outros artigos do nosso blog e se prepare para o Enem da melhor maneira! Você também pode se organizar com o nosso plano de estudos, o mais completo da internet, e o melhor: totalmente gratuito!

Queremos te ajudar a encontrar a FACULDADE IDEAL! Logo abaixo, faça uma pesquisa por curso e cidade que te mostraremos todas as faculdades que podem te atender. Informamos a nota de corte, valor de mensalidade, nota do MEC, avaliação dos alunos, modalidades de ensino e muito mais.

Experimente agora!

Sisu

Enem

Matérias

Simulado

Buscador