Entenda o que é Combinação, tipos e fórmulas com exemplos!

A Combinação (C n,p) é um tipo de agrupamento da análise combinatória que calcula quantos subconjunto de “p” elementos podemos formar partindo de um conjunto inicial com “n” elementos. Nesse caso, a ordem das combinações não importa, pois trocá-la gera o mesmo resultado. Há 2 tipos de Combinações que possuem suas próprias fórmulas.

Ficou confuso? 

Calma, nós vamos te explicar desde o início! 

Neste texto sobre Combinação, você encontrará os tópicos abaixo. Clique em um deles para ir diretamente ao conteúdo:

1. Introdução à Análise Combinatória.
2. O que é Combinação?
3. Características das Combinações.
4. Símbolo das Combinações.
5. Fórmula da Combinação Simples.
6. Tipos de Combinação e quando usá-las.
7. Combinação Simples + Exemplo de questão resolvida.
8. Combinação Composta + Exemplo de questão resolvida.
9. Diferença entre Permutação, Arranjo e Combinação.
10. Curiosidade.

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Introdução à Análise Combinatória

A Análise Combinatória é a área da Matemática que estuda as formas de resolver problemas com contagem de elementos ou possibilidades de algo ocorrer. Ela vai nos dizer quais as técnicas e métodos para cada tipo de situação. 

O Princípio Fundamental da Contagem (PFC) e o Fatorial são contas que aprendemos a fazer desde o Ensino Fundamental, pois eles são a base da análise combinatória e seu raciocínio. Não deixe de ler antes de continuar!

Em outras situações, os cálculos tendem a se tornar complexos. Para facilitar o desenvolvimento das ideias, nós dividimos as técnicas de acordo com as situações. Elas podem ser um caso de Permutação, Arranjo ou Combinação.

O que é Combinação?

Combinação é a quantidade de grupos que podemos fazer com “p” elementos retirados de um conjunto de “n” elementos. Nessa contagem, buscamos identificar todos os subconjuntos com n elementos de um conjunto inicial p.

Quando escolhemos alguns elementos de um conjunto, podemos organizá-los em grupos menores. Neste caso, a ordem desses elementos dentro do grupo não interfere. Isso significa que trocar a posição dos elementos nos dá os mesmos resultados.

Exemplo

Vamos tomar como base um conjunto “n” formado por 4 elementos (José, Maria, Gabriel e Ana). Se nós queremos agrupar-los em subconjuntos de 2 elementos (2 a 2), teremos 6 resultados de combinações diferentes e possíveis: 

José e Maria / José e Gabriel / José e Ana / Maria e Gabriel / Maria e Ana / Gabriel e Ana. 

Cada uma dessas 6 duplas é uma combinação diferente dentre os 4 elementos do conjunto organizados em grupos de 2 elementos. 

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Quais as Características da Combinação?

É importante notar que as Combinações levam em conta somente a natureza dos elementos. Vamos explicar:

Olhando as duplas acima, você é capaz de perceber que uma dupla feita por “Ana e João” é exatamente a mesma feita que “João e Ana”, porque envolve as mesmas pessoas.

O critério para organizar combinações é ter uma natureza diferente (ser pessoas, números ou cores diferentes). Por isso dizemos que, na Combinação, a ordem com que os elementos estão dispostos não importa.

É interessante saber que o ramo da genética na biologia utiliza combinações como ferramentas para estudar os possíveis genótipos e fenótipos dos seres. Para engenheiros da computação, o desenvolvimento de senhas e códigos também depende. 

O estudo das combinações está mais presente no nosso dia a dia do que percebemos!

Qual o símbolo da Combinação?

O símbolo que representa a definição de Combinação é:

Lemos assim: “Combinação de n elementos, de p em p.”

Em que:

• n = número de elementos do conjunto inicial.
• p = número de elementos do subconjunto.
• C = quantidade de combinações possíveis nessas condições.

Isso é válido desde que n ≥ p, pois é impossível eu querer combinar 3 números em grupos de 4 algarismos, por exemplo.

Dessa forma, representamos o exemplo do primeiro tópico como C 4,2 = 6 (4 pessoas organizadas em duplas que resultam em 6 opções diferentes).

Qual a fórmula da Combinação Simples e Composta?

Você viu no tópico anterior que é trabalhoso ficar montando combinações manualmente. Imagina se a questão pedisse um C 40,3… Além de dar trabalho e poder fazer confusão, quanto mais elementos maior o tempo gasto.

Pensando justamente nas questões de vestibulares, há fórmulas que nos poupam tempo e trabalho! Basta substituir cada elemento na posição correta e resolver como uma equação normal. 

Assim, não é necessário gastar tempo montando todas as combinações possíveis, basta aplicar a fórmula de Combinação Simples: C n,p = n! / p!(n – p)! Ela deve ser usada em situações em que a ordem não importa e seguindo a condição n ≥ p.

Para a Combinação Composta há outra fórmula. Falaremos sobre essas diferenças e daremos exemplos no próximo tópico!

Lembre-se:

• A exclamação (!) na frente do número/letra indica a operação de Fatorial.
• O espaço entre “p!” e o parênteses (no denominador), indica uma multiplicação.

Quais os tipos de combinações e quando usá-las?

Nós sempre usaremos a Combinação quando a questão não der importância à ordem. Ainda assim, existem várias situações diferentes que esse fator aparece. É daí que surgem os 2 tipos de Combinações: Simples ou Composta.

Vamos conhecê-los!

O que é uma Combinação Simples? [Exemplo]

A Combinação Simples é um tipo de agrupamento da análise combinatória em que a ordem não importa e não há repetição de elementos no conjunto inicial.

De uma maneira mais formal, a combinação simples pode ser definida como:

“Dados n elementos distintos, chama-se combinação desses n elementos tomados p a p (com p ≤ n) qualquer subconjunto formado por p elementos distintos, escolhidos entre os n.”

Exemplo

1) Em um congresso há 50 homens e 30 mulheres. Quantas comissões de 6 pessoas podemos formar, obedecendo a condição de que cada uma tenha 4 mulheres e 2 homens?

Solução

O primeiro passo é notar que trocar a ordem das pessoas que fazem parte de uma comissão não a torna diferente. Além disso, cada pessoa é um indivíduo, é único. Portanto, temos certeza que se trata de uma Combinação Simples.

O segundo passo é perceber que, no grupo de 6 membros, é preciso haver 4 mulheres e 2 homens. Isso nos mostra que faremos duas combinações diferentes (uma para cada sexo). Depois, basta multiplicar os resultados para saber a combinação total de comissões.

• Para homens:

C 50,2 = 50! / 2!(50-2)!

C 50,2 = 50.49.48! / 2!.48!

C 50,2 = 50.49 / 2.1

C 50,2 = 25.49

C 50,2 = 1225

• Para mulheres:

C 30,4 = 30! / 4!(30-4)!

C 30,4 = 30.29.28.27.26! / 4!.26!

C 30,4 = 30.29.28.27 / 4.3.2.1

C 30,4 = 10.29.7.27 / 2

C 30,4 = 27 405

• Comissões totais:

C30,4 . C50,2 =

27 405 . 1225 =

33 571 125 possibilidades de comissões.

• Atenção: Se no enunciado não houvesse a condição de 4 mulheres e 2 homens em cada subconjunto de 6, bastaria fazer um C 80,6 para achar as possibilidades.

Combinação Composta + Exemplos

A Combinação Composta, também chama de “com Repetição”, é um tipo de agrupamento da análise combinatória em que a ordem não importa e há a repetição de elementos no conjunto inicial.

Exemplo

1) Ângela foi à sorveteria para comprar um sorvete com quatro sabores. Chegando lá, viu que só tinha 3 disponíveis: chocolate, baunilha e morango. Quantas são as possibilidades que ela tem para montar um sorvete?

Solução

O primeiro passo é notar que se trata de uma combinação composta porque: a ordem dos sabores não interfere nas possibilidades e ela deverá repetir um sabor se quiser ter 4 bolas. Esse é um caso de combinação em que p > n.

Por causa disso, teremos de usar a fórmula própria:

C composta 3,4 = (3 + 4 – 1)! / 4! (3 – 1)!

C composta 3,4 = 6! / 4! . 2!

C composta 3,4 = 6.5.4! / 4! . 2.1

C composta 3,4 = 3.5

C composta 3,4 = 15 possibilidades.

Qual a diferença entre Permutação, Arranjo e Combinação?

Nós te dissemos que a análise combinatória é a área que estuda diferentes métodos para diferentes casos, sendo eles: Arranjo, Permutação e Combinação.

A essa altura, você já entendeu o que é Combinação: apenas a natureza importa, a ordem não.

Resumidamente, os Arranjos são agrupamentos em que a ordem importa, bem como a natureza. Imagine uma senha numérica: o número 23 é diferente do número 32, porque mesmo contendo os mesmos elementos (natureza), a ordem produz números distintos. 

Já a Permutação é um caso específico de Arranjo. Nela, só a ordem importa (a natureza não). Isso porque o número de elementos do conjunto é igual ao número de elementos agrupados, ou seja, n = p.

Curiosidade

Você sabia que os Números Binomiais podem ser representados por Combinações? 

É isso mesmo, esses temíveis números são expressos pela mesma fórmula que a Combinação Simples…

Se você entendeu esse artigo, com certeza é capaz de dar o próximo passo e enfrentar esse medo dos binomiais!

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