Matemática

Inequação – Resumo completo com definições, exemplos e imagens!

Entenda de uma vez por todas o que é Inequação!

Inequação é uma sentença matemática que é o oposto da equação. Por isso, ela possui uma incógnita e representa uma desigualdade. Por isso, no lugar do “=”, utilizamos os símbolos: >, <, ≥ e ≤. Sua solução é um conjunto numérico que pode ser representado no gráfico, na reta real ou no conjunto solução.

Neste artigo sobre Inequação, você encontrará:

  1. Como identificar uma inequação?
  2. Como resolver uma Inequação? Quando se muda o sinal?
  3. O que é inequação de primeiro e segundo grau?
  4. Sistema de Inequações
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Como identificar uma inequação? O que é e exemplos!

A Inequação é o contrário da equação, ou seja, ela é uma sentença matemática que  expressa uma desigualdade. Os demais elementos são semelhantes, como a presença de um valor desconhecido (incógnita).

Por esse motivo, no lugar do sinal “=”, usamos os seguintes símbolos na inequação:

  • “>” , que lemos como “maior que”
  • “<” , que lemos como “menor que”
  • “≥” , que lemos como “maior ou igual que”
  • “≤” , que lemos como “menor ou igual que”

Exemplos

  • 3x – 5 > 62
  • 3x – 2 < 34
  • 2x + 4 ≥ 2
  • 10 + 2x ≤ 20

Como resolver uma Inequação?

O objetivo de resolver uma inequação é descobrir quais os valores para “x” que atendem à condição (menor que, maior que…).

De modo geral, o modo de resolução das inequações é semelhante ao das equações, por seguirem os princípios básicos. Mas ao final ocorrem mudanças e pode haver uma situação em que devemos trocar o sinal para o seu oposto.

Cada tipo de inequação terá seu diferencial, portanto, vamos analisá-las individualmente nos próximos tópicos.

Quando se muda o sinal da inequação?

Numa equação, há momentos em que a incógnita está negativa e precisamos multiplicar toda a sentença por -1. Isso também pode ocorrer em uma inequação, mas nesse caso também precisamos inverter o sinal da desigualdade para o seu oposto!

  • Sempre inverteremos o sinal da inequação quando ela for multiplicada ou dividida por um número negativo. Haverá um exemplo no próximo tópico!

O que é inequação de primeiro grau e como resolvê-la?

Uma inequação do 1º grau segue as mesmas condições da equação de primeiro grau, só muda o sinal da igualdade por uma desigualdade

Sendo a e b números reais e a ≠ 0, além de o maior expoente da incógnita ter de ser 1, temos a forma genérica:

  • ax + b >0
  • ax + b < 0
  • ax + b ≥ 0
  • ax + b ≤ 0

Como resolver uma inequação de primeiro grau?

Seguimos aquela lógica básica que foi detalhada no artigo das equações:

1.Eliminar os parênteses (se houver) e fazer as operações prioritárias

2. Efetuar a transposição de termos

3. Reduzir os termos semelhantes

4. Isolar a incógnita 

Depois, encontraremos o valor numérico e analisaremos a condição de desigualdade.

Exemplo: resolva a inequação 15 – 7x ≥ 2x – 30

15 – 7x ≥ 2x – 30

– 7x – 2x ≥ – 30 -15

– 9x ≥ – 45

9x ≤ 45 (observe que invertemos o símbolo ≥ para ≤, pois multiplicamos a equação por -1)

x ≤ 45/9

x ≤ 5

Podemos ainda resolver a equação da seguinte forma:

1- Substituir o sinal da desigualdade pelo da igualdade

2 – Passar todos os números para o primeiro membro, zerar o segundo e resolver a equação normalmente

3 – Fazer o estudo do sinal da equação no gráfico, identificando os valores de x que representam o símbolo da inequação.

Como a solução da equação é qualquer número menor ou igual a cinco, trata-se de um conjunto de números, podendo ser representado de três formas: conjunto solução, plano cartesiano ou reta real. Observe:

como-resolver-uma-inequação-de-primeiro-grau-tres-formas-de-dar-a-resposta-reta-real-solução-conjunto-ou-gráfico-com-estudo-de-sinais

Atenção!

Note que a função pode assumir valor negativo (menor ou igual a zero) com o x tendo valores positivos (1, 2, 3, 4 e 5). Não confunda o sinal da variável e o sinal da função!

Note que a bolinha que contém o 5, na reta real, está colorida / fechada. Isso significa que aquele número pode fazer parte da solução (menor ou igual a 5). A bolinha só estará aberta / incolor se o número não fizer parte da solução (ex: menor que cinco, não inclui o 5).

Sistema de Inequações

Bem como existem os sistemas de equações, também existem os sistemas de inequações!

Nele, precisamos analisar e responder cada inequação separadamente. Depois, comparamos as retas reais de cada uma e encontrar o conjunto solução que satisfaz as duas ao mesmo tempo.

Exemplo:

como-resolver-um-sistema-de-inequação

Então, vamos resolver a “inequação I”:

2x + 6 ≥ 2

2x ≥ 2 – 6

2x ≥ -4

x ≥ –4⁄2

x ≥ -2

Portanto, para qualquer valor maior ou igual a -2 satisfaz essa inequação.

Agora vamos resolver a “inequação II”:

x + 3 < 2

x < 2 – 3

x < -1

Portanto, neste problema temos que qualquer valor menor que -1 satisfaz essa inequação.

Então, temos a seguinte solução para o sistema de inequações:

como-resolver-um-sistema-de-inequação-de-primeiro-grau-duas-formas-de-dar-a-resposta-reta-real-e-solução-conjunto-

Inequação de segundo grau e como resolvê-la

Uma inequação do 2º grau segue as mesmas condições da equação do segundo grau, só muda o sinal da igualdade por uma desigualdade. 

Sendo a, b e c números reais e a ≠ 0, além de ter de haver uma incógnita com expoente 2, temos a forma genérica:

  • ax² + bx + c > 0
  • ax² + bx + c  < 0
  • ax² + bx + c  ≥ 0
  • ax² + bx + c ≤ 0

Como resolver uma inequação de segundo grau?

Neste caso usamos aquela lógica dita acima:

1- Substituir o sinal da desigualdade pelo da igualdade

2 – Resolver a equação normalmente (usando a fórmula de bháskara)

3 – Fazer o estudo do sinal da equação no gráfico, identificando os valores de x que representam o símbolo da inequação.

Exemplo: resolva a inequação x² -x -6 < 0

Note que, pelo sinal da desigualdade, é preciso encontrar valores negativos, cuja expressão do lado esquerdo do sinal < dê uma solução menor do que 0.

Primeiro, identifique os coeficientes:

a = 1 / b = – 1 / c = – 6

Utilize a fórmula de Bhaskara (Δ = b2 – 4ac):

Δ = (- 1)2 – 4 . 1 . (- 6)

Δ = 1 + 24

Δ = 25

Continuando na fórmula de Bhaskara, substituindo o discriminante para encontrar as raízes:

x = (1 ± √25) / 2

x = (1 ± 5) / 2

x’ = (1 + 5)/ 2        e        x” = (1 – 5) / 2

x’ = 6 / 2                          x” = – 4 / 2

x’ = 3                               x” = – 2

Como o coeficiente “a” dessa equação é positivo, seu gráfico terá a concavidade voltada para cima. Traçamos as raízes ( -2 e 3) e observamos a região que condiz com o sinal da inequação: valores negativos da equação.

como-resolver-uma-inequação-de-segundo-grau-tres-formas-de-dar-a-resposta-reta-real-solução-conjunto-ou-gráfico-com-estudo-de-sinais

Atenção!

Note que a função pode assumir valor negativo (menor ou igual a zero) com o x tendo valores positivos (1 e 2). Não confunda o sinal da variável e o sinal da função!

Note que as bolinhas que contém o -2 e o 3, na reta real estão incolores / abertas. Isso significa que aquele número não faz parte da solução. A bolinha só estará fechada / colorida se o número poder fazer parte da solução. 

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