Progressão Aritmética e Geométrica (PA e PG)

Progressão aritmética e geométrica: a progressão é uma sequência de números no qual a diferença entre um termo e seu precedente é sempre uma constante. Progressão geométrica é uma sequência de números em que o quociente entre um termo e seu precedente é sempre uma constante.

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O que é Progressão?

O termo progressão se relaciona com a ideia de sucessividade. Na matemática, a progressão é caracterizada como uma sequência numérica de quantidades, isto é, que acontece de maneira sucessiva. Uma progressão é estabelecida por uma lei de formação, que se define em uma fórmula matemática.

A posição de um termo em uma sequência pode ser chamada de n (1ª, 2ª, 3ª, …, nª). Dizemos também que o primeiro e o último termo de uma sequência finita ( e ) são chamados de extremos de uma sequência. Podemos então representá-la da seguinte forma:

(a₁, a₂, a₃, a₄, … a_n)

Existem dois tipos de progressão: a Aritmética e a Geométrica.

Progressão Aritmética (PA)

A Progressão Aritmética (PA) é a sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é determinado pela soma do termo antecessor por uma constante r, chamada de razão. Utiliza-se a seguinte fórmula para determinar os termos da sequência:

a_n = a₁ + (n – 1) . r

a_n= n-ésimo termo da sequência (n-ésimo é o número que ou o que ocupa a posição n em uma sequência)

a₁ = primeiro termo

n = posição do termo na sequência

r = razão

EXEMPLO:

(4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25…)

Essa é uma sequência que pode ser classificada como progressão aritmética, pois a razão r = 3 e o primeiro termo é 4.

(1, 2, -2, 3, -3, 4, -4…)

Essa sequência não é uma progressão aritmética. Apesar de ter regularidade e seja possível prever os próximos termos, não há uma soma de uma razão que gere o próximo termo.

Para determinar a soma dos n primeiros termos de uma PA, utiliza-se a fórmula:

S_n= n . (a₁ + a_n) /  2

S_n = soma dos n primeiros termos de uma PA

n = posição do termo na sequência

a₁ = primeiro termo da sequência

a_n = n-ésimo termo da sequência

Termo Central da Progressão Aritmética

Em uma PA com número ímpar de termos, o termo central pode ser definido como sendo o termo que divide a PA em dois conjuntos de números de elementos iguais. O cálculo do termo central de uma PA é obtido através da média aritmética dos extremos da PA.

T_c= (a₁ + a_n) / 2

T_c = soma dos n primeiros termos de uma PA

a₁ = primeiro termo da sequência

a_n = último termo da sequência

Lembrando que o termo central só poder ser calculado em Progressões Aritméticas que são finitas.

Tipos de Progressão Aritmética

1. Progressão Aritmética Finita;
2. Progressão Aritmética Infinita;
3. Progressão Aritmética Crescente;
4. Progressão Aritmética Decrescente;
5. Progressão Aritmética Constante.

1. Progressão Aritmética Finita

É a PA que tem um número definido de termos. Por exemplo, uma PA de cinco termos na qual o termo inicial é 0 e a razão é 2:

PA (0, 2, 4, 6, 8)

2. Progressão Aritmética Infinita

A PA é infinita quando o domínio onde ela está é infinito. Veja o exemplo abaixo:

PA (10, 11, 12, 13, 14…)

3. Progressão Aritmética Crescente

Uma PA é crescente quando a razão entre os termos é positiva, ou seja, r > 0. Assim, cada novo termo é maior que o anterior.

4. Progressão Aritmética Decrescente

Quando a razão é negativa (r < 0), então a PA é decrescente, pois cada novo termo é menor que o anterior.

5. Progressão Aritmética Constante

A PA pode ser constante, se r = 0. Nessa situação, os termos são todos iguais.

Progressão Geométrica (PG)

Progressão Geométrica (PG) pode-se definir como uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, pode ser determinado através da multiplicação do termo anterior por uma razão q. A fórmula utilizada para a determinação dos termos de uma PG é:

a_n = a₁ . q^{n – 1}

a_n = n-ésimo termo da sequência

a₁ = primeiro termo da sequência

q = razão

n = posição do termo da sequência

EXEMPLO:

PG de razão 3 em que o primeiro termo é 2.

Os termos da sequência são representados por (a₁, a₂, a₃, a₄, a₅ …).

a₁ = 2

a₂ = 2.3 = 6

a₃ = 6.3 = 18

a₄ = 18.3 = 54

a₅ = 54.3 = 162.

A PG do exemplo é, portanto, (2,6,18,54,162…).

Para determinar a soma dos n primeiros termos de uma PG, utiliza-se a fórmula:

S_n = a₁ . (qⁿ – 1) / q – 1

S_n = soma dos n primeiros termos de um PG

a₁ = primeiro termo da sequência

q = razão

n = posição do termo na sequência

As progressões geométricas também pode ser classificadas em finitas, infinitas, decrescentes, crescentes e constantes. Além dessas classificações, as progressões geométricas que possuem a razão negativa são chamadas de alternadas, porque seus termos são alternadamente positivos e negativos.

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