As pirâmides são sólidos muito interessantes, não é atoa que foram usadas nas construções mais curiosas da humanidade. Mas não basta saber só sobre elas; as provas sempre gostam de um desafio. Então é bom que você entenda também sobre o tronco de pirâmide, afinal, isso pode fazer a diferença no meio de uma questão!
Você está procurando as fórmulas de Área e Volume do tronco de pirâmide? Ou precisa saber dos elementos, como a Apótema?
Seja qual for sua dúvida, nós temos a resposta. Para te ajudar a ir direto ao ponto, você pode clicar em um dos tópicos abaixo:
- O que é um tronco de pirâmide e de onde ele vem?
- Quais são os elementos do tronco de pirâmide?
- Propriedades do tronco de pirâmide regular
- Como achar a apótema de um tronco?
- Como calcular a área de um tronco de pirâmide?
- Qual o volume de um tronco de pirâmide?
Faça um ótimo proveito do conteúdo e lembre-se de que é preciso treinar aquilo que aprendemos. E é por isso que nós temos um artigo cheio de exercícios sobre troncos, é só buscar na lupa no cantinho da tela.
Agora vamos ao principal.
O que é um tronco de pirâmide e de onde ele vem?
Pelo próprio nome desse sólido já fica bem óbvio que ele veio de uma Pirâmide. Então o nosso conhecimento sobre essa figura precisa estar em dia se quisermos entender o que é um tronco.
Vou até te dar uma mãozinha: as pirâmides têm uma ponta em cima e uma base embaixo, formando uma figura que se alarga de cima para baixo. A base pode ter diferentes formatos, mas as faces laterais sempre serão triangulares!
Agora imagine que pegamos uma pirâmide e fizemos cortes.
A secção transversal é só o nome que damos para dizer que pegamos uma pirâmide em pé e “passamos uma faca” no meio dela, cortando horizontalmente.
Dessa forma, nós vamos ter duas partes:
- A de cima, com a pontinha da pirâmide (que será uma mini-pirâmide).
- A de baixo, sem pontas e com duas bases (que é o tronco).
Explicando assim fica fácil de entender, não é? Agora que você já conhece os nomes, vamos resumir tudo isso em uma definição mais formal:
“O tronco da pirâmide é um sólido obtido pela secção transversal de um plano (paralelo à base) na pirâmide, independente da altura. Assim, o tronco formado corresponde à parte de baixo e sempre terá duas bases de mesmo formato e diferentes tamanhos.”
Viu como um corte muda tudo? Não é à toa que esse sólido tem fórmulas próprias de volume e área.
Ah, a informação no final dessa definição é nova. Então, antes de falarmos das fórmulas, vamos só dar uma olhada nos conceitos sobre as partes do tronco de pirâmide.
Quais são os elementos do tronco de pirâmide?
Alguns deles você já conheceu quando falamos aí em cima sobre a formação dos troncos de pirâmide. Agora vamos só resumir as partes e as características mais importantes:
- Base maior (B): é a base original que restou da pirâmide de origem, costuma ser a face inferior. Pode ter vários formatos.
- Base menor (b): é a face formada pela secção transversal, que costuma ficar em cima. Apesar de ser menor, tem o mesmo formato da base maior.
- Faces laterais: serão sempre no formato trapezoidal.
- Arestas: são os segmentos de reta onde as faces se encontram.
- Vértices: são as quinas onde as arestas se encontram.
- Altura (h): é o segmento de reta vertical que liga a base menor à base maior, sempre formando um ângulo reto (90°).
- Apótema (a): é a “altura” de uma das faces laterais.
Você notou como esses elementos são comuns a quase todos os sólidos da Geometria Espacial? Só que cada um deles vai ter suas próprias particularidades no seu contexto.
Atenção: uma questão pode dar, em uma mesma imagem, a pirâmide seccionada mostrando o tronco e a mini-pirâmide da ponta. Cuidado para não confundir as medidas!
Normalmente, haverá traços no desenho indicando a qual parte cada número pertence ou as letras estarão em diferentes formatações. A altura da pirâmide, por exemplo, costuma vir indicada por H, a do tronco por h e a da mini-pirâmide por h’.
Resumindo, podemos dizer que H = h + h`.
Propriedades do tronco de pirâmide regular
Outro ponto importante é lembrar que as pirâmides podem ser classificadas quanto ao seu formato e proporção, então o mesmo acontece com os troncos da pirâmide.
O tipo mais comum de tronco de pirâmide é o regular, onde:
- Todas as arestas laterais são congruentes entre si (posssuem mesmo valor);
- As bases tem o mesmo formato e são polígonos regulares;
- Todas as faces laterais são formadas por trapézios isósceles (altura e laterais opostas congruentes);
- A altura de uma face lateral qualquer é chamada de apótema e todas elas são congruentes entre si.
É muita coisa para aprender, né? Por isso é que o Beduka faz um Plano de Estudos a cada ano. Assim você consegue ir se organizando para ver todas as matérias sem surtar!
Afinal, como achar a apótema de um tronco?
Umas das principais dúvidas dos alunos é quanto ao cálculo da apótema do tronco de uma pirâmide.
Isso acontece porque as questões clássicas pedem a área e o volume, que é só usar a fórmula. Já o cálculo da apótema exige um pouco mais de raciocínio e visão espacial. Daí surge a dificuldade de muitos alunos.
Só que não é nenhum bicho de sete cabeças. Vamos lá:
- Imagine o tronco de trapézio e trace a sua altura h;
- Agora trace a apótema do lado que você busca;
- Repare que é possível traçar um segmento de reta ligando a ponta de cima da altura à ponta de cima da apótema, passando pela base menor.;
- Também é possível traçar um segmento ligando a ponta de baixo da altura à ponta de baixo da apótema, passando pela base maior;
- Agora você formou a figura de um trapézio retângulo, como se fosse a fatia de um pudim;
- A apótema é o lado lateral não reto do trapézio, então é só aplicar os valores e calcular normalmente;
- Se você não se lembrar das fórmulas do trapézio, note que o lado oposto à apótema é a altura do trapézio, já que ele é do tipo retângulo. Então você pode deslocar a altura para o lado e formar um triângulo retângulo. É só usar Pitágoras!
Agora que você já aprendeu a calcular o mais complexo, as fórmulas de área e volume do tronco de pirâmide ficarão fáceis de entender!
Como calcular a área de um tronco de pirâmide?
Quando falamos em calcular a área de uma figura plana é simples, estamos falando do preenchimento daquela figura de 2 dimensões. Ou seja, o “colorido” de um quadrado, por exemplo.
Só que a área de um sólido geométrico, que é tridimensional, não é o preenchimento da figura. Neste caso, seria o volume.
Afinal, o que é a área do tronco de pirâmide? A área do tronco da pirâmide será dada pela soma das áreas das faces!
Então precisamos calcular a área de cada polígono (lados e bases) e somá-las para dar a área total do tronco de pirâmide. Se falarmos em área lateral, é só excluir as bases da operação.
Só que a conta dá menos trabalho do que você imagina:
- As bases têm o mesmo formato, então você só precisa lembrar de uma fórmula e calcular para cada tamanho de base.
- Já as faces laterais são sempre trapezoidais, então é só usar a fórmula da área do trapézio uma vez e multiplicar o resultado pelo número de lados daquele tronco.
- Por fim é só somar os três valores.
Traduzindo tudo isso para uma expressão, teremos:
At = AB + Ab + Al
Sendo que:
At = área total do tronco.
AB = área da base maior.
Ab = área da base menor.
Al = área lateral da pirâmide.
Qual o volume de um tronco de pirâmide?
O volume do tronco de pirâmide é o preenchimento dela, como se fossemos encher um recipiente de água.
O jeito mais prático de calcular o volume do tronco da pirâmide é calcular o volume da pirâmide original e subtrair o volume da mini-pirâmide formada acima do corte transversal. O restante corresponde justamente ao volume do tronco.
É com base nesse raciocínio que chegamos à expressão da fórmula:
Vt = VP – Vp
Sendo que:
Vt = volume do tronco
VP = volume da pirâmide original
Vp = volume da pirâmide menor
Ah, você não está lembrando da fórmula de volume da pirâmide? Bem que eu te disse que precisávamos estar com esse assunto em dia para continuarmos neste artigo… Vou te relembrar, a fórmula é essa aqui:
VP = 1/3 (AB.H)
Lembre-se: H é a altura da pirâmide de origem e AB é a base maior.
Para calcular o Vp, é só usar a mesma estrutura e trocar pelas medidas da menorzinha:
Vp = ⅓ (Ab.h’)
Lembre-se: h’ é a altura da mini-pirâmide e Ab é a base menor.
Curiosidade…
Sinceramente, eu acho difícil algum estudante decorar, mas existe sim uma fórmula prontinha para ser usada e que chegue no volume do tronco da pirâmide.
É essa aqui:
V = {h[AB + √(AB·Ab) + Ab]} / 3
Lembre-se: h é a altura do tronco; Ab é a base menor e AB é a base maior.
Incrível né? Você pode escolher qual delas quer usar, mas o importante mesmo é entender o raciocínio que tem por trás. É isso que vai dar aquela luz no meio de uma questão.
Acontece que só conseguimos fixar todos esse conteúdo quando colocamos a mão na massa. Então é bom que você personalize o Simulado do Beduka com questões de Exatas e faça tudo de geometria que vier pela frente! (Sim, ele é online e gratuito).
Você achou que a explicação foi fácil de entender? Eu espero que tenha te ajudado, pois agora você já sabe tudo o que é essencial para acertar as questões de tronco de pirâmide.
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