Desvendando os segredos da Potenciação: eleve seu conhecimento ao potencial máximo

Você já deve estar pensando para quê estudar isso se não vai mudar sua vida… Mas a potenciação vai sim, principalmente quando estiver lidando com seu dinheiro e com juros. Isso porque a potenciação é uma operação que nos ajuda a compactar números muito grandes ou muito pequenos.

Não é nenhum monstro de sete cabeças, é apenas a conta que expressa a multiplicação de um número por ele mesmo, várias vezes. E ela vai aparecer em quase todas as matérias de matemática: álgebra, geometria, análise combinatória, funções…

Mesmo sendo algo simples, existem algumas condições, regras e propriedades para casos bem específicos. Então, neste resumo de Potenciação, vamos começar do básico e ir avançando até sanar todas as suas dúvidas!

Dá uma olhada em tudo o que você vai encontrar por aqui e já clica em um deles para ir direto ao conteúdo:

1. O que é potenciação? (Definição matemática + seus elementos)
2. Como ler e resolver uma potência?
3. Quais são as condições de existência da potência?
4. Quais são as propriedades da potenciação? (multiplicação, divisão, positivo, negativo, fração, decimal e potência de potência)

Quando terminar esse artigo, é bom testar seu conhecimento com exercícios de potenciação. Já deixa essa página aberta em outra aba e bora seguir com os estudos!

O que é potenciação? Veja a definição matemática e os seus elementos

Como nós te explicamos lá na introdução, a potenciação é apenas uma operação matemática básica. Essa conta é usada para simbolizar a multiplicação de um número por ele mesmo, repetidas vezes.

O símbolo de uma potência qualquer é escrito como “ aⁿ ” e isso tem um motivo: o elemento “a” é chamado de base e é onde colocamos o número que será multiplicado por ele mesmo. Já o elemento “n” é chamado de expoente e é a quantidade de vezes que a multiplicação acontecerá.

Imagine que é preciso resolver uma conta onde o número 6 está multiplicado por ele mesmo 8 vezes. Seria muito cansativo escrever tudo isso (6 x 6 x 6 x 6 x 6 x 6 x 6 x 6). Então utilizamos a potência para resumir esse cálculo: 6⁸ .

Potenciação é a mesma coisa que exponenciação! Esse outro nome surgiu porque as potências formam as funções exponenciais!

Como ler e resolver uma potência?

Quais são as condições de Existência da Potenciação?

Toda vez que falamos em multiplicação, chega um ponto em que precisamos fazer contas com o número 0 e com o número 1. Esses números são um pouco polêmicos, então foram definidas algumas regras.

Nas situações abaixo, não há como demonstrar uma conta que chegue no resultado. São ordens que devemos saber de cór, bater o olho e colocar a resposta:

• Para que uma potência exista, é obrigatório que a base não seja zero → a ≠ 0.
• Sempre que o expoente for 0, o resultado será 1 → a⁰ = 1.
• Sempre que o expoente for 1, o resultado será a própria base → a¹ = a.

Exemplos

• 0³ = ?

Resposta: não existe, porque uma potência só existe quando a ≠ 0.

• 4⁰ = ? 23⁰ = ? 1⁰ = ?

Resposta: todas as potências acima resultam em 1, porque todo número elevado a 0 é igual a 1.

• 4¹ = ? 23¹ = ? 1¹ = ?

Resposta: a primeira potência resulta em 4, depois 23 e depois 1, porque todo número elevado a 1 é igual a ele mesmo.

Quais são as propriedades da potenciação? 

Além dessas definições que nos dão resultados prontos, existem também as propriedades. Nesse caso você não vai decorar as respostas, mas terá que memorizar o procedimento que deve ser feito em determinadas situações.

Vamos lá:

Potência com base positiva e expoente positivo

A gente já viu que as potências não podem ter base igual a zero, mas se elas forem maiores que zero está tudo bem! Esse é o caso das bases positivas, também representadas por a > 0.

Para os expoentes, a gente viu que quando for igual a 0 ou 1 tem aquelas regrinhas. Mas se ele for qualquer outro número positivo, está tudo certo. Representamos assim: n > 0 e n ≠ 1

Nesse caso, não importa se a base e o expoente são par ou ímpar. Tudo será resolvido normalmente!

Exemplo

• 4² = 4 x 4 = 16 → base positiva, expoente positivo, resultado positivo.

Potência com base positiva e expoente negativo

Aqui vai aparecer nossa primeira propriedade: para resolver potências com expoentes negativos, basta inverter a base e eliminar o sinal de negativo do expoente. Depois disso, você segue resolvendo normalmente.

Exemplo

• 4^-3 = (1/4)³ = 1/4 x 1/4 x 1/4 = 1/64 → base positiva, expoente negativo, resultado positivo.

ATENÇÃO: em uma potência de base positiva, o resultado sempre será positivo.

Potência com Base Negativa e expoente positivo

Se as bases forem menores que zero, está tudo bem também! Esse é o caso das bases negativas, também representadas por a < 0.

Quando a base for negativa, resolvemos normalmente. Só é preciso tomar o cuidado de não ignorar os sinais na hora da conta!

Exemplos

• (– 3)² = – 3 x – 3 = 9 → base negativa, expoente positivo e par, resultado positivo.

• (– 3)³ = – 3 x – 3 x – 3 = – 27 → base negativa, expoente positivo e ímpar, resultado negativo.

ATENÇÃO: perceba que existe um padrão! Se uma base negativa tiver um expoente par, o resultado será positivo. Se uma base negativa tiver um expoente ímpar, o resultado será negativo.

ATENÇÃO 2: o parênteses tem a função de indicar que todo aquele número será utilizado na operação. Portanto, se aparecer uma mesma potência com e sem parênteses, os resultados podem ser diferentes!

Em – 3² o sinal não entra na conta, então deixamos ele lá quietinho e colocamos o resultado na frente, virando um – 9.

Já em (-3)² o sinal entra na conta e teremos= -3 x -3 = 9.

Potência com Base Negativa e expoente negativo

Pode parecer que está complicando, mas é simples:

Você já aprendeu que o expoente negativo pede para inverter a base, também já aprendeu que a base negativa só exige um cuidado com o sinal.

Pronto, agora é só fazer as duas coisas e você resolverá uma potência de base e expoente negativos!

Exemplo

• (-2)^-3 = (1/-2)³ = -1/2 x -1/2 x -1/2 = -1/8

Potenciação com Fração na base

Calma, é bem simples. Quando aparecer fração na base e entre parêntesis, significa que tanto o numerador quanto o denominador devem ser elevados ao expoente, individualmente. 

Exemplo

• (2/5)² = 2²/5² = 2 x 2/5 x 5 = 4/25

ATENÇÃO!

Caso você esteja resolvendo uma questão e não ache o resultado nas alternativas, lembre-se de simplificar a fração!

Lembre-se também que se a fração não estiver toda dentro do parêntesis, apenas a parte que contiver o expoente será utilizada na conta!

Potenciação com fração no expoente

Se a fração estiver no expoente, devemos transformá-la em uma raiz correspondente!

Isso significa que o denominador vai virar o índice da raiz e o numerador vai virar o expoente da base dentro da raiz.

Exemplo

• 4^1/2 = ²√4¹ = ²√4 = 2

Potenciação com Decimal na base e/ou no expoente

Já sabemos como lidar com vários expoentes, mas não se esqueça dos valores que estão entre 0 e 1, os decimais! Eles podem ser representados por (0 < n < 1).

Pode até parecer loucura misturar isso com potência, mas dá certo! O decimal é apenas uma outra forma de escrever fração e você acabou de aprender a lidar com isso. Então, basta transformá-lo em fração e seguir normalmente.

Se você não sabe como converter decimais em fração, confira nosso artigo!

Potência de Potência – com parêntesis

Veja só, se tivemos uma potência elevada a um expoente, teremos uma potência de potência! O importante é apenas verificar se a potência original está entre parênteses e se o expoente extra está do lado de fora.

Se sim, então você só precisa multiplicar um expoente pelo outro e resolver normalmente!

Exemplo

(4²)³ = 4⁶ (multiplicamos os expoentes 2 x 3 = 6)

4⁶ = 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 = 4096

Expoente elevado a outro expoente – sem parêntesis

É muito importante não confundir o caso anterior com este. Quando falamos em Potência de potência necessariamente está com parêntesis.

Se não estiver, será este caso de expoente elevado a expoente. E os resultados são bem diferentes!

Primeiro resolvemos a potência que está no lugar do expoente. Depois é que resolveremos a potência da base.

Exemplo

4²^³ = 4⁸ (porque 2³ = 8)

4⁸ = 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4= 65536

Agora compare com o resultado do tópico anterior e veja como é diferente!

Multiplicação de potências de mesma base

Se estivermos em uma expressão numérica, pode acontecer de haver o produto (multiplicação) de potências com bases iguais.

Neste caso é muito simples: mantenha a base e some os expoentes!

Exemplo

2² x 2¹

2² x 2¹ = 2³ (soma os expoentes: 2 + 1 = 3)

2³ = 2 x 2 x 2 = 8

Divisão de potências de mesma base 

Novamente, se estivermos em uma expressão numérica, e pedirem uma divisão entre potências de mesma base, basta manter a base e subtrair os expoentes!

Exemplo

2² / 2¹

2² / 2¹ = 2¹ (subtrai os expoentes: 2 – 1 = 1)

2¹ = 2.

Até aqui, vimos os casos que mais caem no Enem. E falando nisso, você está a poucos cliques de baixar o nosso Plano de Estudos!

Potências grandes e de bases diferentes

Existem alguns casos que poderemos até aplicar as propriedades, mas não será possível desenvolver a potência até chegar a um resultado final, um número só. 

Para auxiliar a resolução de potências grandes ou complicadas, criou-se uma ferramenta chamada Logarítimo. Ela só é temível à primeira vista, mas nós temos um artigo explicando Logarítimo para selar a amizade entre vocês!

Gostou do nosso resumo sobre Potenciação? Compartilhe com os seus amigos e comente abaixo sobre algo que você deseja mais explicações.

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