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Cada um no seu… Quadrilátero!

Cada um no seu... Quadrilátero! Desvende o mundo dessas figuras!Cada um no seu... Quadrilátero! Desvende o mundo dessas figuras!

Pense em um quadrilátero. Já vem logo aquela imagem de algo simples, infantil ou que tem a ver com os pixels dos games? Não é bem assim… essas figuras vão além. Elas possuem algumas propriedades que costumam ser esquecidas pelos alunos, mas podem fazer toda a diferença na hora da prova. Confira nesse resumo!

Neste artigo sobre quadrilátero, você encontrará todos os tópicos abaixo. Clique em um deles para ir direto ao assunto:

  1. O que são quadriláteros?
  2. Os 5 elementos dos quadriláteros.
  3. Como os quadriláteros podem ser agrupados?
  4. Quais são as propriedades comuns a todos os quadriláteros?
  5. Quais são as duas classificações de quadriláteros? 
  6. O que são quadriláteros notáveis e quais são suas propriedades?
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O que são quadriláteros?

De acordo com a geometria plana, os quadriláteros são polígonos que possuem 4 lados

É muito conceito? Vamos explicar melhor:

Figuras geométricas são figuras planas, porque pertencem ao plano cartesiano. Logo, elas têm apenas 2 dimensões (altura e largura).

Ser um polígono significa ser formado por segmentos de retas (linhas com início e fim) que não se cruzam. Elas apenas encostam as extremidades e formam uma figura fechada. No caso dos quadriláteros, há 4 segmentos de retas que chamamos de lados.

É isso mesmo que você está pensando. São os clássicos: retângulo, losango, quadrado…

Os 5 elementos de um quadrilátero

Todos os quadriláteros são formados por alguns componentes básicos. São eles:

  • Lados: são os segmentos de reta que formam o contorno do quadrilátero. Costumamos dar nomes genéricos para eles, como “lado a”. Mas a forma matemática de representá-los é escrever a letra dos vértices das suas extremidades juntos, com um traço em cima.
  • Vértices: são os pontos que marcam o encontro de dois lados. Essas quinas também recebem nomes genéricos, como “vértice A”.
  • Ângulos internos: são os ângulos que estão do lado de dentro do polígono, então são formados por dois lados seguidos do quadrilátero.
  • Ângulos externos: são ângulos que estão do lado de fora do polígono, então são  formados pelo prolongamento de um lado do quadrilátero. Um ângulo externo é suplementar ao interno adjacente. Isso significa que se somarmos o externo e o interno ao seu lado, eles resultam em 180°.
  • Diagonais: são segmentos de reta imaginários que passam por dentro do polígono e não são lados. Suas extremidades são 2 vértices não consecutivos. Por ser um quadrilátero, podemos dizer que são vértices opostos.

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Como os quadriláteros podem ser agrupados?

Citar o nome de alguns quadriláteros já deve ser do seu conhecimento. O que talvez seja novidade é:

Os quadriláteros podem ser agrupados em três grandes conjuntos, de acordo com a presença e quantidade de paralelismo:

  • Trapézios: possuem ao menos um par de lados paralelos.
  • Paralelogramos: possuem ao menos dois pares de lados paralelos.
  • Outros: não possuem nenhum par de lados paralelos.

Parece estranho, mas é isso mesmo! Um trapézio é uma categoria de quadriláteros, não uma figura em si. Há os trapézios paralelogramos e há os paralelogramos retangulares ou losangulares.

Porém, é verdade que existem diversos tipos de trapézios que são sim figuras próprias. A mesma coisa acontece com os paralelogramos. 

Antes de falar dessas figuras, vamos esclarecer uma coisa:

Paralelismo é quando temos dois lados paralelos entre si, ou seja, duas retas que são perfeitamente opostas. Assim, elas nunca se cruzarão, nem mesmo se prolongarmos sua extensão. Resumindo, são lados que não tem nenhum ponto em comum.

Para você entender melhor o que estamos dizendo, veja a representação no diagrama de Venn:

Diagrama-de-venn-com-o-agrupamento-de-quadrilateros

No qual:

  • C: quadriláteros.
  • T: trapézios.
  • P: paralelogramos.
  • R: retângulos.
  • L: losangos.
  • Q: quadrados.

Quais são as propriedades comuns a todo quadrilátero?

Como qualquer polígono, todos os quadriláteros também possuem características e propriedades básicas: 

  • Todos os quadriláteros possuem apenas 2 diagonais.
  • A soma dos ângulos internos é sempre igual a 360°.
  • A soma dos ângulos externos também é igual a 360°.
  • Quadrilátero Circunscrito: significa que há um círculo dentro dele, perfeitamente encaixado. Para isso acontecer, os seus quatro lados devem ser tangentes à circunferência. Assim, a soma de quaisquer dois lados opostos é igual a soma dos outros dois lados opostos.

Não se engane, essas não são as únicas propriedades que um quadrilátero pode ter. Citamos acima apenas o comum, portanto, são as coisas gerais.

Cada tipo de quadrilátero notável tem suas propriedades únicas, além dessas. Vamos conhecê-las adiante!

Quais são as duas classificações de quadriláteros? 

Você pensou que nós já iríamos falar das características de cada quadrilátero né? Calma, isso é no próximo tópico!

Só precisamos ver uma coisinha antes: as categorias de formato. De modo geral, os polígonos podem ser do tipo regular ou irregular, côncavo ou convexo. 

Difícil? Vamos te explicar:

  • Regulares ou Irregulares: depende da presença ou ausência de simetria. Os que são simétricos são regulares e, automaticamente, todos os seus lados são iguais (mesma medida). Os irregulares não têm essa propriedade.
  • Côncavos ou Convexos: os côncavos são aqueles com lados que formam um “amassado para dentro”. Se traçarmos retas entre seus vértices, veremos que algumas delas não passam por dentro da figura. Já nos convexos, todas as retas traçadas entre os vértices são parte da figura.

Em quase todos os casos, trabalhamos com os quadriláteros convexos. Eles são clássicos nos vestibulares! E isso nos leva ao nosso último tópico…

O que são quadriláteros notáveis e quais são suas propriedades?

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Quando usamos o termo “notável” na matemática, significa que é algo importante e principal. Existem muitas figuras com quatro lados, mas há aquelas que utilizamos mais no dia a dia e para estudar na matemática.

Portanto, os quadriláteros notáveis são os polígonos de 4 lados mais importantes de se estudar!

Agora sim, vamos falar das principais características dos clássicos. Mas é de forma resumida e sem as informações especiais… Por isso, não deixe de conferir o resumo COMPLETO sobre quadriláteros notáveis!

Trapézios

Os Trapézios são quadriláteros que possuem ao menos 1 par de lados paralelos. Existem três tipos de trapézios que variam conforme a simetria e os ângulos, cada um com suas propriedades específicas:

  • Trapézio Escaleno;
  • Trapézio Isósceles;
  • Trapézio Retângulo.

A área de qualquer trapézio é sempre dada pela soma das bases multiplicada pela altura dividida por 2. Assim:

A = (B+b).h/2

Sendo

  • b: base menor (paralela menor)
  • B: base maior (paralela maior)
  • h: altura (fora ou dentro, o importante é fazer ângulo reto com um dos lados paralelos)

Paralelogramos

Os Paralelogramos são quadriláteros que possuem ao menos 2 pares de lados paralelos. Como consequência de ser um quadrilátero e estar nestas condições, todos os seus lados são paralelos. Então, podemos chamá-los de paralelogramos.

Existem três tipos famosos de paralelogramos:

  • Retângulos;
  • Losangos.
  • Quadrados.

Todos os paralelogramos acima apresentam as seguintes propriedades específicas:

  • Ângulos opostos são congruentes (mesmo valor).
  • Possui duas diagonais que se cruzam em um ponto central. Este é o ponto médio, que divide cada diagonal em 2 segmentos congruentes.
  • 2 ângulos internos e consecutivos são suplementares (somados, formam 180°).

Retângulos

Os retângulos são paralelogramos que possuem todos os ângulos internos retos, ou seja, valendo 90°. Como o retângulo é um polígono quadrilátero, ele “já vem” com as propriedades mencionadas anteriormente.

A área de um retângulo é dada pelo lado vezes a altura:

 A = l . h

Sendo

  • l: lado da base
  • h: altura (fora ou dentro, o importante é fazer ângulo reto com um dos lados paralelos)

Losangos

Os losangos são paralelogramos que possuem todos os lados congruentes (mesma medida). Como ele é um polígono quadrilátero, “já vem” com as propriedades que dissemos acima. 

A área de um losango é dada pela diagonal maior vezes a menor, dividido por 2. Assim:

 A = D . d / 2

Sendo

  • d: diagonal menor
  • D: diagonal maior

Quadrados

Os quadrados são paralelogramos que possuem todos os lados congruentes e todos os ângulos retos. Isso significa que ele é um caso particular, porque mistura as características do losango + retângulo

Como ele é um polígono quadrilátero, “já vem” com as propriedades mencionadas anteriormente, bem como as do losango e as do retângulo.

A área de um quadrado é calculada com a mesma fórmula do retângulo (lado vezes altura). Como todos os lados são iguais, lado e altura possuem o mesmo valor. Então, a fórmula é: lado².

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