Boa parte da matemática que usamos hoje começou a ser organizada na Grécia Antiga. Inclusive, o Teorema de Pitágoras só ganhou uma fórmula nessa época, e olha que é usada até hoje! Porém, povos mais antigos já tinham percebido essa relação… Hoje ela é cobrada de você na prova do Enem, então fizemos um resumo sobre o Teorema de Pitágoras com o essencial.
Neste resumo, você encontrará os tópicos abaixo. Se quiser, clique em um deles para ir diretamente ao conteúdo:
- O que é o Teorema de Pitágoras?
- Quais são as características do triângulo retângulo?
- O que diz o Teorema de Pitágoras?
- Qual é a fórmula do teorema?
- Quando usar o Teorema de Pitágoras?
- O que é um Triângulo Pitagórico?
- Por que esse nome “Pitágoras”?
- Como provar e demonstrar o teorema? Experimento!
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O que é o teorema de pitágoras?
“O quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos”.
Não entendeu? O que você acabou de ler é a frase que define uma das relações métricas mais importantes da história: o Teorema de Pitágoras.
Ele é a base de muitos cálculos que irão nos acompanhar na geometria.
Os triângulos retângulos possuem algumas relações métricas exclusivas. O Teorema de Pitágoras é uma delas, e ele foca nos valores dos lados.
Só para esclarecer: relações métricas são leis matemáticas que sempre funcionam. Cada figura tem suas próprias leis e elas nos ajudam a achar valores. É só jogar os dados na equação certa e resolver!
Antes de saber o que o teorema diz, vamos relembrar o que são triângulos retângulos. Precisamos conhecer os nomes de seus elementos para conseguir usar a fórmula!
Quais são as características do triângulo retângulo?
O triângulo é um polígono (figura plana sem linhas) que possui três lados. O sobrenome “retângulo” nos aponta que, além dos 3 lados, é preciso que um dos ângulos valha 90°(seja reto)!
Como consequência, nós teremos uma figura igual a da imagem acima. Além disso, podemos fazer outras observações e dar nomes aos elementos:
- Hipotenusa (a): é o maior lado de um triângulo retângulo, sempre oposto ao ângulo de 90º.
- Catetos (c e b): são os outros dois lados restantes. Quando tomamos como referência um dos dois ângulos que não é o reto, podemos classificar os catetos. Ele será “adjacente” se ajudar a formar o ângulo junto a hipotenusa. Será “oposto” se estiver do lado contrário ao ângulo escolhido como referência.
- Altura (h): todo segmento que parte de um ponto e forma um ângulo reto (90°) com um lado.
Agora que você já conhece as partes dos triângulos, saiba que é com elas que iremos trabalhar para descobrir os valores!
O que diz o Teorema de Pitágoras?
Em resumo, o enunciado do Teorema de Pitágoras é:
“Em um triângulo retângulo, a soma dos quadrados de seus catetos é igual ao quadrado de sua hipotenusa.”
Viu como é importante saber o nome dos elementos do triângulo retângulo? Agora você já entendeu tudo: quando elevamos o maior lado de um triângulo retângulo ao quadrado, o resultado será igual a soma dos quadrados dos outros dois lados!
Essa frase toda pode ser resumida em uma simples fórmula:
Como é a Fórmula do Teorema de Pitágoras?
a² = b² + c²
Sendo:
- a= hipotenusa;
- b= cateto;
- c= cateto.
Se você preferir, pode escrever direto com as abreviações. Assim:
hip² = cat² + cat²
Afinal, para que serve o Teorema de Pitágoras?
Você já entendeu que esse tempo todo só estávamos falando sobre uma fórmula pequenininha e simples. Então, pode estar se perguntando: para que tudo isso?
Vamos te explicar:
O Teorema de Pitágoras é uma fórmula que sempre aparece nos vestibulares. A descoberta dessa relação é tão antiga que foi usada para chegar a outros cálculos que usamos na geometria.
Ele é usado na hora de:
- Calcular a altura do triângulo equilátero;
- Comprovar se um triângulo é mesmo do tipo retângulo;
- Usar trigonometria no triângulo retângulo;
- Descobrir um valor que falte no triângulo retângulo;
- Estudar a origem dos números irracionais.
Então, se um dia você estiver no meio de um exercício e faltar um valor, ou se você esquecer a fórmula da altura do triângulo equilátero, é só usar o Teorema de Pitágoras!
Exemplo
- Qual é a medida da diagonal de um retângulo cujo lado maior mede 60 cm e o lado menor mede 30 cm?
Solução:
A diagonal de um retângulo divide-o em dois triângulos retângulos iguais, sendo que essa diagonal mede exatamente a hipotenusa do triângulo formado.
Como já temos o valor dos catetos, basta aplicar a regra do Teorema de Pitágoras para descobrir quanto vale a hipotenusa (que, nesse caso, é a diagonal):
a² = b² + c²
a² = 30² + 60²
a² = 900 + 3600
a² = 4500
a = √4500
a = 67,08 (aproximadamente)
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O que é um Triângulo Pitagórico?
Achou que o resumo do Teorema de Pitágoras tinha acabado, né? Não mesmo!
O mais legal desse teorema é que ele é cheio de coisas interessantes e até um macete. Falando nisso…
Você já observou que, na maioria das vezes, os resultados do teorema de pitágoras são valores decimais (não inteiros)? Você viu isso no exemplo acima!
Contudo, quando obtemos valores inteiros e positivos para todos os lados de um triângulo retângulo, ele é chamado de triângulo pitagórico!
Aí vão aparecer outros nomes também: a hipotenusa e seus dois catetos serão chamados de “terno pitagórico” ou “trio pitagórico”.
Eis que surge o macete: se você decorar alguns valores de lados que obedecem a essa condição, basta ver um triângulo retângulo com dois valores que já irá deduzir o terceiro!
O mais conhecido é representado pelos números: 3, 4, 5. Obviamente, a hipotenusa tem que ser o valor 5. Inclusive, qualquer valor que seja múltiplo, na mesma proporção, também torna a condição verdadeira!
- Exemplo: Uma questão nos apresenta a figura de um triângulo retângulo de catetos 6 e 8, pedindo o valor da hipotenusa. Oras, esses são o dobro do terno pitagórico 3,4,5. Então o valor faltante só pode ser 10, que realmente é o lado maior, portanto, a hipotenusa!
Existem outros ternos pitagóricos que é bom ficar de olho:
- 5, 12 e 13.
- 7, 24 e 25.
- 8,15 e 17.
- 20, 21 e 29.
- 12, 35 e 37.
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Por que esse nome “Pitágoras”?
Pitágoras, pitagórico, pit… Sempre esse cara!
É, ele é bem famoso mesmo. Muitas coisas que usamos nos dias de hoje, foi ele quem descobriu lá na época da Grécia Antiga.
Pitágoras de Samos (570 a.C. – 495 a.C.) foi um filósofo pré-socrático que também era matemático. Ele desenvolveu seus trabalhos no sul da Itália e também contribuiu para a Astronomia e a Música!
Porém, não foi exatamente ele quem descobriu as relações métricas…
O que ele fez foi sistematizar essas medidas em uma fórmula e dar o nome oficial. Graças a ele, esse saber foi oficializado, aperfeiçoado e divulgado por todo o mundo. Por isso recebeu seu nome.
Mas se não foi ele quem criou, foi quem?
Para saber isso, precisamos falar sobre a comprovação do teorema:
Como comprovar o Teorema de Pitágoras?
Na matemática da escola, nós costumamos receber as fórmulas prontas, decorar e usar. Mas alguém criou essa fórmula ou percebeu a relação entre os valores, não é mesmo?
Para os nerds, os matemáticos e os curiosos, saber como provar ou demonstrar uma fórmula é investigar qual o raciocínio que deu origem a ela!
Segundo o historiador Walter Carnielli, da Universidade Estadual de Campinas, é possível fazer mais de 300 experimentos que comprovam a relação do Teorema de Pitágoras!
Cada um deles foi feito por diferentes pessoas em diferentes épocas. Os registros mais antigos são de povos indianos, egípcios e babilônios. A fórmula ainda não existia, mas eles usavam métodos manuais para separar 3 números que formassem um ângulo reto!
Incrível isso, né? Eles nem sabiam definir ângulos, mas já percebiam os formatos e a relação entre os valores. Por isso conseguiram fazer as construções que impressionam o mundo até hoje!
- O vídeo a seguir é um resumo super legal de tudo o que dissemos sobre o Teorema de Pitágoras. Ele também mostra como esses povos antigos faziam matemática, como provar a fórmula de diferentes jeitos… Tem até uma sugestão de experimento no final (4:30)!
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